A級基礎通關一、選擇題1(2018·全國卷)若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.15，則不用現(xiàn)金支付的概率為()A0.3B0.4C0.6D0.7解析：依題意P1(0.150.45)0.4.答案：B2在長為16 cm的線段MN上任取一點P，以MP，NP的長為鄰邊的長作一矩形，則該矩形的面積大于60 cm2的概率為()A. B. C. D.解析：設MPx cm，則NP(16x)cm，0<x<16，由x(16x)>60，得6<x<10.所以所求概率為P.答案：A3(2019·全國卷)生物實驗室有5只兔子，其中只有3只測量過某項指標若從這5只兔子中隨機取出3只，則恰有2只測量過該指標的概率為()A. B. C. D.解析：設5只兔子中測量過某項指標的3只為a1，a2，a3，未測量過這項指標的2只為b1，b2，則從5只兔子中隨機抽出3只的所有可能情況為(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10種可能其中恰有2只測量過該指標的情況為(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6種可能故恰有2只測量過該指標的概率為.答案：B4博覽會安排了分別標有序號為“1號”“2號”“3號”的三輛車，等可能隨機順序前往酒店接嘉賓某嘉賓突發(fā)奇想，設計兩種乘車方案方案一：不乘坐第一輛車，若第二輛車的車序號大于第一輛車的車序號，就乘坐此車，否則乘坐第三輛車；方案二：直接乘坐第一輛車記方案一與方案二坐到“3號”車的概率分別為P1，P2，則()AP1·P2 BP1P2CP1P2 DP1<P2解析：三輛車的出車順序可能為：123、132、213、231、312、321，共6種方案一坐到“3號”車的可能：132、213、231，所以P1；方案二坐到“3號”車的可能：312、321，所以P2；所以P1P2.答案：C5(2019·廣東廣州綜合測試)劉徽是我國魏晉時期的數(shù)學家，在其撰寫的九章算術注中首創(chuàng)“割圓術”、所謂“割圓術”，是用圓內接正多邊形的面積去無限逼近圓面積并以此求取圓周率的方法，如圖所示，圓內接正十二邊形的中心為圓心O，圓O的半徑為2，現(xiàn)隨機向圓O內投放a粒豆子，其中有b粒豆子落在正十二邊形內(a，bN*，b<a)，則圓周率的近似值為()A. B. C. D.解析：由題意可得，易求S正十二邊形12××2×2×sin 30°12，S圓4，所以，即.答案：C二、填空題6(2019·長郡中學模擬)已知某運動員每次投籃命中的概率都為40%.現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計算器算出0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三個隨機數(shù)為一組，代表三次投籃的結果經隨機模擬產生了20組隨機數(shù)：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989據(jù)此估計，該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為_解析：三次投籃恰有兩次命中的事件有：191，271，932，812，393，所以該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率P0.25.答案：0.257(2019·安徽合肥一模)部分與整體以某種相似的方程呈現(xiàn)稱為分形謝爾賓斯基三角形是一種分形，由波蘭數(shù)學家謝爾賓斯基1915年提出具體操作是取一個實心三角形，沿三角形的三邊中點連線，將它分成4個小三角形，去掉中間的那一個小三角形后，對其余3個小三角形重復上述過程逐次得到各個圖形，如圖現(xiàn)在圖(3)中隨機選取一個點，則此點取自陰影部分的概率為_解析：設題圖(3)中一個小陰影三角形的面積為S，則整個三角形的面積為16S，陰影部分的面積為9S，由幾何概型，在題圖(3)中隨機選取一個點，則此點取自陰影部分的概率為.答案：8(2019·江蘇卷)從3名男同學和2名女同學中任選2名同學參加志愿者服務，則選出的2名同學中至少有1名女同學的概率是_解析：法1：設3名男同學分別為A，B，C，2名女同學分別為a，b.則所有等可能事件分別為(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)，共10個，選出的2名同學中至少有1名女同學包含的基本事件分別為(A，a)，(A，b)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)，共7個故所求事件的概率P.法2：同法1，得所有等可能事件共10個，選出的2名同學中沒有女同學包含的基本事件分別為(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3個故所求概率為1.答案：三、解答題9(2018·北京卷)電影公司隨機收集了電影的有關數(shù)據(jù)，經分類整理得到下表：電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評率0.40.20.150.250.20.1好評率是指：一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值(1)從電影公司收集的電影中隨機選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率；(2)隨機選取1部電影，估計這部電影沒有獲得好評的概率；(3)電影公司為增加投資回報，擬改變投資策略，這將導致不同類型電影的好評率發(fā)生變化假設表格中只有兩類電影的好評率數(shù)據(jù)發(fā)生變化，那么哪類電影的好評率增加0.1，哪類電影的好評率減少0.1，使得獲得好評的電影總部數(shù)與樣本中的電影總部數(shù)的比值達到最大(只需寫出結論)?解：(1)設“從電影公司收集的電影中隨機選取1部，這部電影是獲得好評的第四類電影”為事件A.電影公司共收集電影140503002008005102 000(部)第四類電影中獲得好評的有200×0.2550(部)，故P(A)0.025.(2)設“隨機選取1部電影，這部電影沒有獲得好評”為事件B.沒有獲得好評的電影共有140×0.650×0.8300×0.85200×0.75800×0.8510×0.91 628(部)，故P(B)0.814.(3)增加第五類電影的好評率，減少第二類電影的好評率10(2019·湖南郴州第三次質量檢測)某市環(huán)保部門對該市市民進行了一次垃圾分類知識的網絡問卷調查，每位市民僅有一次參加機會，通過隨機抽樣，得到參與問卷調查的100人的得分(滿分：100分)數(shù)據(jù)，統(tǒng)計結果如下表所示組別40，50)50，60)60，70)70，80)80，90)90，100男235151812女051010713(1)若規(guī)定問卷得分不低于70分的市民稱為“環(huán)保關注者”，請完成下面的2×2列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤概率不超過0.05的前提下，認為是不是“環(huán)保關注者”與性別有關；分類非“環(huán)保關注者”是“環(huán)保關注者”總計男女總計(2)若問卷得分不低于80分的人稱為“環(huán)保達人”現(xiàn)在從本次調查的“環(huán)保達人”中利用分層抽樣的方法隨機抽取5名市民參與環(huán)保知識問答，再從這5名市民中抽取2人參與座談會，求抽取的2名市民中，既有男“環(huán)保達人”又有女“環(huán)保達人”的概率附表及公式：K2，nabcd，P(K2k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解：(1)2×2列聯(lián)表如下：分類非“環(huán)保關注者”是“環(huán)保關注者”合計男104555女153045合計2575100將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算得K23.03<3.841，所以在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下，不能認為是不是“環(huán)保關注者”與性別有關(2)由題可知，利用分層抽樣的方法抽得男“環(huán)保達人”3人，女“環(huán)保達人”2人設3個男“環(huán)保達人”分別為A，B，C；2個女“環(huán)保達人”分別為D，E.從中抽取2人的所有情況為(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10種情況既有男“環(huán)保達人”又有女“環(huán)保達人”的情形有(A，D)，(A，E)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)共6種所以所求事件的概率P.B級能力提升11定義min(a，b)，由集合(x，y)|0x2，0y1確定的區(qū)域記作，由曲線C：yminx，2x3和x軸圍成的封閉區(qū)域記作M，向區(qū)域內投擲12 000個點，則落入?yún)^(qū)域M的點的個數(shù)為()A4 500 B4 000 C3 500 D3 000解：依題設(如圖)，區(qū)域確定的面積SS矩形2×12.又曲線C和x軸圍成的封閉區(qū)域M的面積SMSOAB×1×.所以落入?yún)^(qū)域M的概率為P，從而落入?yún)^(qū)域M的點的個數(shù)為12 000×4 500.答案：A12某書店為了了解銷售單價(單位：元)在8，20)內的圖書銷售情況，從2018年上半年已經銷售的圖書中隨機抽取100本，獲得的所有樣本數(shù)據(jù)按照8，10)，10，12)，12，14)，14，16)，16，18)，18，20)分成6組，制成如圖所示的頻率分布直方圖已知樣本中銷售單價在14，16)內的圖書數(shù)是銷售單價在18，20內的圖書數(shù)的2倍(1)求出x與y，再根據(jù)頻率分布直方圖估計這100本圖書銷售單價的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)；(2)用分層抽樣的方法從銷售單價在8，20)內的圖書中共抽取40本，分別求出單價在各組樣本數(shù)據(jù)中的圖書銷售的數(shù)量；(3)從(2)中價格低于12元的書中任取2本，求這2本書價格都不低于10元的概率解：(1)樣本中圖書的銷售單價在14，16內的圖書數(shù)是x×2×100200x，樣本中圖書的銷售單價在18，20內的圖書數(shù)是y×2×100200y，依據(jù)題意，有200x2×200y，即x2y，根據(jù)頻率分布直方圖可知(0.1×20.025x0.05y)×21，由得x0.15，y0.075.根據(jù)頻率分布直方圖估計這100本圖書銷售單價的平均數(shù)為9×0.025×211×0.05×213×0.1×215×0.15×217×0.1×219×0.075×20.451.12.64.53.42.8514.9(元)(2)因為銷售單價在8，10)，10，12)，12，14)，14，16)，16，18)，18，20)的圖書的分層抽樣比為124643，故在抽取的40本圖書中，銷售單價在8，10)，10，12)，12，14)，14，16)，16，18)，18，20)內的圖書分別為40×2(本)，40×4(本)，40×8(本)，40×12(本)，40×8(本)，40×6(本)(3)這40本書中價格低于12元的共有6本，其中價格低于10元的2本，記這2本為A1，A2，另外4本記為B1，B2，B3，B4，從中抽取2本的基本事件有：(A2，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)，共15個，其中價格都不低于10元的有(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)，共6個故這2本書價格都不低于10元的概率P.