A級(jí)基礎(chǔ)通關(guān)一、選擇題1函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(1)3，對(duì)任意xR，f(x)<3，則f(x)>3x6的解集為()Ax|1<x<1 Bx|x>1Cx|x<1 DR解析：設(shè)g(x)f(x)(3x6)，則g(x)f(x)3<0，所以g(x)為減函數(shù)，又g(1)f(1)30，所以根據(jù)單調(diào)性可知g(x)>0的解集是x|x<1答案：C2已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，4，部分對(duì)應(yīng)值如下表：x10234f(x)12020f(x)的導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示當(dāng)1<a<2時(shí)，函數(shù)yf(x)a的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A1 B2 C3 D4解析：根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象，知2是函數(shù)的極小值點(diǎn)，函數(shù)yf(x)的大致圖象如圖所示由于f(0)f(3)2，1<a<2，所以yf(x)a的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4.答案：D3若函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，且滿足f(x)xf(x)0，則()A3f(1)f(3) B3f(1)f(3)C3f(1)f(3) Df(1)f(3)解析：由于f(x)xf(x)，則0恒成立，因此y在R上是單調(diào)減函數(shù)，所以，即3f(1)f(3)答案：B4已知函數(shù)f(x)exln x，則下面對(duì)函數(shù)f(x)的描述正確的是()Ax(0，)，f(x)2Bx(0，)，f(x)2Cx0(0，)，f(x0)0Df(x)min(0，1)解析：因?yàn)閒(x)exln x的定義域?yàn)?0，)，且f(x)ex，令g(x)xex1，x0，則g(x)(x1)ex0在(0，)上恒成立，所以g(x)在(0，)上單調(diào)遞增，又g(0)·g(1)(e1)0，所以x0(0，1)，使g(x0)0，則f(x)在(0，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，)上單調(diào)遞增，則f(x)minf(x0)ex0ln x0，又ex0，x0ln x0，所以f(x)minx02.答案：B5(2019·天津卷改編)已知aR，設(shè)函數(shù)f(x)若關(guān)于x的不等式f(x)0在0，上恒成立，則a的取值范圍為()A0，1 B0，2C0，e D1，e解析：當(dāng)0x1時(shí)，f(x)x2aa，由f(x)0恒成立，則a0，當(dāng)x>1時(shí)，由f(x)xaln x0恒成立，即a恒成立設(shè)g(x)(x>1)，則g(x).令g(x)0，得xe，且當(dāng)1<x<e時(shí)，g(x)<0，當(dāng)x>e時(shí)，g(x)>0，所以g(x)ming(e)e，所以ae.綜上，a的取值范圍是0ae，即0，e答案：C二、填空題6做一個(gè)無蓋的圓柱形水桶，若要使其體積是27 dm3，且用料最省，則圓柱的底面半徑為_dm.解析：設(shè)圓柱的底面半徑為R dm，母線長(zhǎng)為l dm，則VR2l27，所以l，要使用料最省，只需使圓柱形水桶的表面積最小S表R22RlR22·，所以S表2R.令S表0，得R3，則當(dāng)R3時(shí)，S表最小答案：37對(duì)于函數(shù)yf(x)，若其定義域內(nèi)存在兩個(gè)不同實(shí)數(shù)x1，x2，使得xif(xi)1(i1，2)成立，則稱函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P.若函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_解析：依題意，xf(x)1，即1在R上有兩個(gè)不相等實(shí)根，所以axex在R上有兩個(gè)不同的實(shí)根，令(x)xex，則(x)ex(x1)，當(dāng)x1時(shí)，(x)0，(x)在(，1)上是減函數(shù)；當(dāng)x1時(shí)，(x)0，(x)在(1，)上是增函數(shù)因此(x)極小值為(1).在同一坐標(biāo)系中作y(x)與ya的圖象，又當(dāng)x0時(shí)，(x)xex0.由圖象知，當(dāng)a0時(shí)，兩圖象有兩個(gè)交點(diǎn)故實(shí)數(shù)a的取值范圍為.答案：三、解答題8已知函數(shù)f(x)axln x，x1，e(e2.718 28是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))(1)若a1，求f(x)的最大值；(2)若f(x)0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：(1)若a1，則f(x)xln x，f(x)1.因?yàn)閤1，e，所以f(x)>0，所以f(x)在1，e上為增函數(shù)，所以f(x)maxf(e)e1.(2)因?yàn)閒(x)0，即axln x0對(duì)x1，e恒成立所以a，x1，e令g(x)，x1，e，則g(x).當(dāng)x1，e時(shí)，g(x)0，所以g(x)在1，e上遞減所以g(x)ming(e)，所以a.因此實(shí)數(shù)a的取值范圍是.9(2019·天津卷節(jié)選)設(shè)函數(shù)f(x)excos x，g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)x時(shí)，證明：f(x)g(x)0.(1)解：由已知，有f(x)ex(cos xsin x)因此，當(dāng)x(kZ)時(shí)，有sin x>cos x，得f(x)<0，則f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x(kZ)時(shí)，有sin x<cos x，得f(x)>0，則f(x)單調(diào)遞增所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(kZ)，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(kZ)(2)證明：記h(x)f(x)g(x).依題意及(1)，有g(shù)(x)ex(cos xsin x)，從而g(x)2exsin x.當(dāng)x時(shí)，g(x)<0，故h(x)f(x)g(x)g(x)(1)g(x)<0.因此，h(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減，進(jìn)而h(x)hf0.所以當(dāng)x時(shí)，f(x)g(x)0.B級(jí)能力提升10已知函數(shù)f(x)ln x，g(x)xm(mR)(1)若f(x)g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)已知x1，x2是函數(shù)F(x)f(x)g(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，且x1<x2，求證：x1x2<1.(1)解：令F(x)f(x)g(x)ln xxm(x>0)，則F(x)1(x>0)，當(dāng)x>1時(shí)，F(xiàn)(x)<0，當(dāng)0<x<1時(shí)，F(xiàn)(x)>0，所以F(x)在(1，)上單調(diào)遞減，在(0，1)上單調(diào)遞增F(x)在x1處取得最大值1m，若f(x)g(x)恒成立，則1m0，即m1.(2)證明：由(1)可知，若函數(shù)F(x)f(x)g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，則m<1，0<x1<1<x2，要證x1x2<1，只需證x2<，由于F(x)在(1，)上單調(diào)遞減，從而只需證F(x2)>F，由F(x1)F(x2)0，mln x1x1，即證lnmlnx1ln x1<0，令h(x)x2ln x(0<x<1)，則h(x)1>0，故h(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，h(x)<h(1)0，所以x1x2<1.11(2019·廣州調(diào)研)設(shè)函數(shù)f(x)x2(a1)xaln x.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)已知函數(shù)f(x)有極值m，求證：m<1.(已知ln 0.50.69，ln 0.60.51)(1)解：f(x)x(a1)(x>0)，當(dāng)a0時(shí)，f(x)>0恒成立，所以f(x)在(0，)上單調(diào)遞增當(dāng)a>0時(shí)，解f(x)>0得x>a，解f(x)<0得0<x<a.所以f(x)在(0，a)上單調(diào)遞減，在(a，)上單調(diào)遞增綜上，當(dāng)a0時(shí)，f(x)在(0，)上單調(diào)遞增當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在(0，a)上單調(diào)遞減，在(a，)上單調(diào)遞增(2)證明：由(1)知，a>0時(shí)，f(x)的極值mf(a)a2aaln a.所以f(a)aln a，f(a)0有唯一實(shí)根a0.因?yàn)閘n 0.5<0.5，ln 0.6>0.6，所以a0(0.5，0.6)且f(a)在(0，a0)上遞增，在(a0，)上遞減所以mf(a)f(a0)aa0a0ln a0<aa0aaa0<×0.620.60.78<1.故m<1成立