2014 -2015學(xué)年度第二學(xué)期數(shù)學(xué)分析2A試卷 學(xué)院 班級(jí) 學(xué)號(hào)（后兩位） 姓名 題號(hào)一二三四五六七八總分核分人得分一. 判斷題（每小題3分，共21分）(正確者后面括號(hào)內(nèi)打?qū)?，否則打叉) 1.若在連續(xù)，則在上的不定積分可表為（ ）. 2.若為連續(xù)函數(shù)，則（ ）. 3. 若絕對(duì)收斂，條件收斂，則必然條件收斂（ ）. 4. 若收斂，則必有級(jí)數(shù)收斂（ ） 5. 若與均在區(qū)間I上內(nèi)閉一致收斂，則也在區(qū)間I上內(nèi)閉一致收斂（ ）. 6. 若數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)條件收斂，則一定可以經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)闹嘏攀蛊浒l(fā)散于正無(wú)窮大（ ）. 7. 任何冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間上存在任意階導(dǎo)數(shù)，并且逐項(xiàng)求導(dǎo)后得到的新冪級(jí)數(shù)收斂半徑與收斂域與原冪級(jí)數(shù)相同（ ）.二. 單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共15分）1.若在上可積，則下限函數(shù)在上（ ）A.不連續(xù) B. 連續(xù) C.可微 D.不能確定 2. 若在上可積，而在上僅有有限個(gè)點(diǎn)處與不相等，則（ ） A. 在上一定不可積； B. 在上一定可積,但是； C. 在上一定可積，并且； D. 在上的可積性不能確定. 3.級(jí)數(shù) A.發(fā)散 B.絕對(duì)收斂 C.條件收斂 D. 不確定 4.設(shè)為任一項(xiàng)級(jí)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（ ） A.若，則級(jí)數(shù)一定收斂； B. 若，則級(jí)數(shù)一定收斂； C. 若，則級(jí)數(shù)一定收斂； D. 若，則級(jí)數(shù)一定發(fā)散； 5.關(guān)于冪級(jí)數(shù)的說(shuō)法正確的是（ ） A. 在收斂區(qū)間上各點(diǎn)是絕對(duì)收斂的； B. 在收斂域上各點(diǎn)是絕對(duì)收斂的； C. 的和函數(shù)在收斂域上各點(diǎn)存在各階導(dǎo)數(shù)； D. 在收斂域上是絕對(duì)并且一致收斂的；三.計(jì)算與求值（每小題5分，共10分） 1. 2. 四. 判斷斂散性（每小題5分，共15分） 1. 2. 3. 五. 判別在數(shù)集D上的一致收斂性（每小題5分，共10分） 1. 2. 六已知一圓柱體的的半徑為R，經(jīng)過(guò)圓柱下底圓直徑線并保持與底圓面 角向斜上方切割，求從圓柱體上切下的這塊立體的體積。（本題滿10分）七. 將一等腰三角形鐵板倒立豎直置于水中（即底邊在上），且上底邊距水表面距離為10米，已知三角形底邊長(zhǎng)為20米，高為10米，求該三角形鐵板所受的靜壓力。(本題滿分10分)八. 證明：函數(shù)在上連續(xù)，且有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù).（本題滿分9分） 2014 -2015學(xué)年度第二學(xué)期數(shù)學(xué)分析2B卷 答案 學(xué)院 班級(jí) 學(xué)號(hào)（后兩位） 姓名 題號(hào)一二三四五六七八總分核分人得分一、 判斷題（每小題3分，共21分，正確者括號(hào)內(nèi)打?qū)?，否則打叉）1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 二.單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共15分） 1. B ; 2.C ; 3.A ; 4.D; 5.B三.求值與計(jì)算題（每小題5分，共10分）1.解：由于-3分 而 -4分 故由數(shù)列極限的迫斂性得： -5分2. 設(shè) ，求解：令 得 =-2分= -4分=-5分四.判別斂散性（每小題5分，共10分） 1. 解： -3分 且 ，由柯西判別法知， 瑕積分 收斂 -5分 2. 解： 有 -2分 從而 當(dāng) -4分 由比較判別法 收斂-5分五.判別在所示區(qū)間上的一致收斂性（每小題5分，共15分） 1. 解：極限函數(shù)為-2分 又 -3分 從而故知 該函數(shù)列在D上一致收斂. -5分2. 解：因當(dāng) 時(shí)，-2分而 正項(xiàng)級(jí)數(shù) 收斂， -4分由優(yōu)級(jí)數(shù)判別法知，該函數(shù)列在D上一致收斂.-5分3. 解：易知，級(jí)數(shù)的部分和序列一致有界，-2分而 對(duì) 是單調(diào)的，又由于，-4分所以在D上一致收斂于0，從而由狄利克雷判別法可知，該級(jí)數(shù)在D上一致收斂。-5分六. 設(shè)平面區(qū)域D是由圓，拋物線及x軸所圍第一象限部分，求由D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的旋轉(zhuǎn)體的體積（本題滿分10分）解：解方程組得圓與拋物線在第一象限的交點(diǎn)坐標(biāo)為：， -3分則所求旋轉(zhuǎn)體得體積為： -7分 =- = -10分七.現(xiàn)有一直徑與高均為10米的圓柱形鐵桶（厚度忽略不計(jì)），內(nèi)中盛滿水，求從中將水抽出需要做多少功？（本題滿分10分） 解：以圓柱上頂面圓圓心為原點(diǎn)，豎直向下方向?yàn)閤軸正向建立直角坐標(biāo)系則分析可知做功微元為： -5分 故所求為： -8分 =1250 =12250（千焦）-10分八設(shè)是上的單調(diào)函數(shù)，證明：若與都絕對(duì)收斂，則在上絕對(duì)且一致收斂. （本題滿分9分） 證明：是上的單調(diào)函數(shù)，所以有 -4分又由與都絕對(duì)收斂，所以 收斂，-7分由優(yōu)級(jí)數(shù)判別法知：在上絕對(duì)且一致收斂.-2013 -2014學(xué)年度第二學(xué)期數(shù)學(xué)分析2A試卷 學(xué)院 班級(jí) 學(xué)號(hào)（后兩位） 姓名 題號(hào)一二三四五六七總分核分人得分一. 判斷題（每小題2分，共16分）(正確者后面括號(hào)內(nèi)打?qū)?，否則打叉)1.若在a,b上可導(dǎo)，則在a,b上可積. ( )2.若函數(shù)在a,b上有無(wú)窮多個(gè)間斷點(diǎn)，則在a,b上必不可積。 （ ）3.若均收斂，則一定條件收斂。 （ ）4.若在區(qū)間I上內(nèi)閉一致收斂，則在區(qū)間I處處收斂（ ） 5.若為正項(xiàng)級(jí)數(shù)（），且當(dāng) 時(shí)有： ，則級(jí)數(shù)必發(fā)散。（ ） 6.若以為周期，且在上可積，則的傅里葉系數(shù)為： （ ） 7.若，則 （ ） 8.冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間上一定內(nèi)閉一致收斂。（ ）二. 單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共18分）1. 下列廣義積分中，收斂的積分是（ ）A B C D 2.級(jí)數(shù)收斂是部分和有界的（ ）A 必要條件 B 充分條件 C充分必要條件 D 無(wú)關(guān)條件 3.正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件是（ ）A. B.數(shù)列單調(diào)有界 C. 部分和數(shù)列有上界 D. 4.設(shè)則冪級(jí)數(shù)的收斂半徑R=（ ） A. B. C. D.5. 下列命題正確的是（ ）A 在絕對(duì)收斂必一致收斂B 在一致收斂必絕對(duì)收斂C 若，則在必絕對(duì)收斂D 在條件收斂必收斂6.若冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?則冪級(jí)數(shù)在上 A. 一致收斂 B. 絕對(duì)收斂 C. 連續(xù) D.可導(dǎo)三. 求值或計(jì)算（每題4分，共16分）1. ；2. 3 .4.設(shè)在0,1上連續(xù)，求四.（16分）判別下列反常積分和級(jí)數(shù)的斂散性. 1.； 2. 3. ； 4.五 、判別函數(shù)序列或函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在所給范圍上的一致收斂性（每題5分，共10分）1. 2. ；六.應(yīng)用題型（14分）1. 一容器的內(nèi)表面為由繞y軸旋轉(zhuǎn)而形成的旋轉(zhuǎn)拋物面，其內(nèi)現(xiàn)有水（），若再加水7（），問(wèn)水位升高了多少米？ 2. 把由，x軸，y軸和直線所圍平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)得一旋轉(zhuǎn)體，求此旋轉(zhuǎn)體的體積，并求滿足條件的. 七證明題型 （10分） 已知與均在a,b上連續(xù)，且在a,b上恒有，但不恒等于，證明： 2013 -2014學(xué)年度第二學(xué)期數(shù)學(xué)分析2B試卷 學(xué)院 班級(jí) 學(xué)號(hào)（后兩位） 姓名 題號(hào)一二三四五六七總分核分人得分一、 判斷題（每小題2分，共18分，正確者括號(hào)內(nèi)打?qū)矗駝t打叉）1.對(duì)任何可導(dǎo)函數(shù)而言，成立。（ ）2.若函數(shù)在上連續(xù)，則必為在上的原函數(shù)。（ ）3.若級(jí)數(shù)收斂，必有。（ ）4.若，則級(jí)數(shù)發(fā)散.5.若冪級(jí)數(shù)在處收斂，則其在-2,2上一致收斂.（ ）6.如果在以a,b為端點(diǎn)的閉區(qū)間上可積，則必有.（ ）7.設(shè)在上有定義，則與級(jí)數(shù)同斂散.（ ）8.設(shè)在任子區(qū)間可積，b為的暇點(diǎn)，則與同斂散.（ ）9.設(shè)在上一致收斂，且存在，則.二.單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共15分）1. 函數(shù)在上可積的必要條件是（ ）A 連續(xù) B 有界 C 無(wú)間斷點(diǎn) D 有原函數(shù)2. 下列說(shuō)法正確的是（ ）A. 和收斂，也收斂 B. 和發(fā)散，發(fā)散C. 收斂和發(fā)散，發(fā)散D. 收斂和發(fā)散，發(fā)散3. 在收斂于，且可導(dǎo)，則（ ） A. B. 可導(dǎo) C. D. 一致收斂，則必連續(xù) 4.級(jí)數(shù) A.發(fā)散 B.絕對(duì)收斂 C.條件收斂 D. 不確定5.冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋?A.（-0.5,0.5） B.-0.5,0.5 C. D.三.求值與計(jì)算題（每小題4分，共16分）1. 2. 3. 4.四.判別斂散性（每小題4分，共16分）1.；2.3.4.五.判別在所示區(qū)間上的一致收斂性（每小題5分，共10分） 1. 2. 六.應(yīng)用題型（16分） 1.試求由曲線及曲線所平面圖形的面積. 2.將表達(dá)為級(jí)數(shù)形式，并確定前多少項(xiàng)的和作為其近似，可使之誤差不超過(guò)十萬(wàn)分之一.7. （9分）證明：若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)滿足：（） ；（）收斂.則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在D上一致收斂.014 -2015學(xué)年度第二學(xué)期數(shù)學(xué)分析2A卷答案 三. 判斷題（每小題3分，共21分）1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 二.單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共15分） B, C, C, D, A三.計(jì)算與求值（ 每小題5分，共10分） 1. 解：原式= =-2分 =-3分 =-5分 2.原式= -2分 = -4分 = -5分四. 判斷斂散性（ 每小題5分，共15分） 1. -2分且 -3分 由柯西判別法知，收斂。-5分 2.由比式判別法 -4分 故該級(jí)數(shù)收斂. -5分 3. 解：由萊布尼茲判別法知，交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂-2分 又 知其單調(diào)且有界，-4分故由阿貝爾判別法知，級(jí)數(shù)收斂. -5分五.1. 解：極限函數(shù)為 -2分 又 -4分 故知 該函數(shù)列在D上一致收斂.-5分 2. 解：因當(dāng) 時(shí)，-3分而 正項(xiàng)級(jí)數(shù) 收斂， -4分由優(yōu)級(jí)數(shù)判別法知，該函數(shù)列在D上一致收斂.-5分六已知一圓柱體的的半徑為R，由圓柱下底圓直徑線并保持與底圓面 角向斜上方切割，求所切下這塊立體的體積。（本題滿分10分） 解:在底圓面上以所截直徑線為x軸，底圓的圓心為原點(diǎn)示坐標(biāo)系， 過(guò)x處用垂直x軸的平面取截該立體，所得直角三角形的面積為： -5分 故所求立體的體積為： -7分 = -10分七.解：建立圖示坐標(biāo)系(豎直方向?yàn)閤軸) 則第一象限等腰邊的方程為 -3分 壓力微元為： 故所求為 -7分 -10分八. 證明：每一項(xiàng)在上連續(xù)， 又 而收斂 所以在上一致收斂，-3分故由定理結(jié)論知 在上連續(xù)，-5分再者 而收斂所以在上一致收斂，結(jié)合在上的連續(xù)性可知在上有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù). -9分 2014 -2015學(xué)年度第二學(xué)期數(shù)學(xué)分析2B試卷 學(xué)院 班級(jí) 學(xué)號(hào)（后兩位） 姓名 題號(hào)一二三四五六七八總分核分人得分二、 判斷題（每小題3分，共21分，正確者括號(hào)內(nèi)打?qū)?，否則打叉）1.若為偶函數(shù)，則必為奇函數(shù)（ ）.2.為符號(hào)函數(shù)，則上限函數(shù)y=在上連續(xù)（ ）.3.若收斂，必有（ ）.4.若在區(qū)間I上內(nèi)閉一致收斂，則在區(qū)間I上處處收斂（ ）.5.若在上內(nèi)閉一致收斂，則在上一致收斂（ ）.6.若數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則經(jīng)過(guò)任意重拍后得到的新級(jí)數(shù)仍然絕對(duì)收斂，并且其和不變（ ）.7.若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上的某點(diǎn)收斂，且在上一致收斂，則也在上一致收斂（ ）.二.單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共15分） 1. 函數(shù)是奇函數(shù)，且在上可積，則（ ）A B C D 2.關(guān)于積分，正確的說(shuō)法是（ ） A.此為普通積分 B. 此為瑕積分且瑕點(diǎn)為0 C. 此為瑕積分且瑕點(diǎn)為1 D. 此為瑕積分且瑕點(diǎn)為0,13.就級(jí)數(shù)（）的斂散性而言，它是（ ） A. 收斂的 B. 發(fā)散的 C. 僅 時(shí)收 D. 僅 時(shí)收斂 4.函數(shù)列在區(qū)間上一致收斂于0的充要條件是（ ） A. B. C. D. 5.冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋?A.（-0.5,0.5） B.-0.5,0.5 C. D.三.求值與計(jì)算題（每小題5分，共10分）1.2. 設(shè) ，求四.判別斂散性（每小題5分，共10分） 1. 2. 五.判別在所示區(qū)間上的一致收斂性（每小題5分，共15分） 1. 2. 3. 六. 設(shè)平面區(qū)域D是由圓，拋物線及x軸所圍第一象限部分，求由D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的旋轉(zhuǎn)體的體積（本題滿分10分）七.現(xiàn)有一直徑與高均為10米的圓柱形鐵桶（厚度忽略不計(jì)），內(nèi)中盛滿水，求從中將水抽出需要做多少功？（本題滿分10分）八設(shè)是上的單調(diào)函數(shù)，證明：若與 都絕對(duì)收斂，則在上絕對(duì)且一致收斂. （本題滿分9分）