第第2課時平面向量的基本定理及坐標課時平面向量的基本定理及坐標表示表示教材回扣夯實雙基教材回扣夯實雙基基礎梳理基礎梳理1平面向量的基本定理平面向量的基本定理如果如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量那么對于這一平面內的任意向量a，有且只有，有且只有一對實數(shù)一對實數(shù)1、2，使，使a1e12e2.其中不共其中不共線的向量線的向量e1、e2叫做表示這一平面內所有向量叫做表示這一平面內所有向量的一組基底的一組基底2.(0180)叫做向量叫做向量a與與b的夾角；當?shù)膴A角；當_時，兩向量共線；當時，兩向量共線；當_時，兩向量垂直時，兩向量垂直(2)平面向量的正交分解：把一個向量分解為平面向量的正交分解：把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解分解900或或180(3)平面向量的坐標表示：在直角坐標系中，平面向量的坐標表示：在直角坐標系中，分別取與分別取與x軸、軸、y軸方向相同的兩個單位向軸方向相同的兩個單位向量量i，j作為基底，由平面向量基本定理知，作為基底，由平面向量基本定理知，該平面內的任一向量該平面內的任一向量a可表示成可表示成axiyj，由于由于a與數(shù)對與數(shù)對(x，y)是一一對應的，因此把是一一對應的，因此把(_)叫做向量叫做向量a的坐標，記作的坐標，記作a(x，y)，其中，其中x叫做叫做a在在x軸上的坐標，軸上的坐標，y叫做叫做a在在y軸上的坐標軸上的坐標x，y(4)規(guī)定：規(guī)定：相等的向量坐標相等的向量坐標_，坐標，坐標_的向量的向量是相等的向量；是相等的向量；向量的坐標與表示該向量的有向線段的始向量的坐標與表示該向量的有向線段的始點、終點的具體位置無關，只與其相對位置點、終點的具體位置無關，只與其相對位置有關系有關系相同相同相同相同3平面向量的坐標運算平面向量的坐標運算(1)若若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則，則ab(_)；x1x2，y1y2x2x1，y2y1x1y2x2y10課前熱身課前熱身1e1，e2是平面內一組基底，那么是平面內一組基底，那么()A若實數(shù)若實數(shù)1，2，使，使1e12e20，則，則120B空間內任一向量空間內任一向量a可以表示為可以表示為a1e12e2(1，2為實數(shù)為實數(shù))C對實數(shù)對實數(shù)1，2，1e12e2不一定在該平面不一定在該平面內內D對平面內任一向量對平面內任一向量a，使，使a1e12e2的實的實數(shù)數(shù)1，2有無數(shù)對有無數(shù)對答案：答案：A2若三點若三點A(2,3)，B(3，a)，C(4，b)共線共線，則有，則有()Aa3，b5Bab10C2ab3 Da2b0答案：答案：(1,2)(0，1)答案：答案：(4，2)考點探究講練互動考點探究講練互動平面向量的基本定理平面向量的基本定理例例1【題后感悟題后感悟】用向量基本定理解決問題用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運用的一般思路是：先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結論表示成向量的形式，該基底將條件和結論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決在基底未給出再通過向量的運算來解決在基底未給出的情況下，合理地選取基底會給解題帶來的情況下，合理地選取基底會給解題帶來方便，另外，要熟練運用平面幾何的一些方便，另外，要熟練運用平面幾何的一些性質定理性質定理 備選例題備選例題例例 如圖，在平行四邊形如圖，在平行四邊形ABCD中，中，O是是對角線對角線AC、BD的交點，的交點，N是線段是線段OD的中的中點，點，AN的延長線與的延長線與CD交于點交于點E，則下列說，則下列說法錯誤的是法錯誤的是()【答案】【答案】D變式訓練變式訓練1如圖，如圖，A、B分別是射線分別是射線OM、ON上的兩上的兩點，給出下列向量：點，給出下列向量：這些向量中以這些向量中以O為起點，終點在陰影區(qū)域內為起點，終點在陰影區(qū)域內的是的是()A BC D平面向量的坐標運算平面向量的坐標運算例例2【題后感悟題后感悟】(1)向量的坐標運算實現(xiàn)了向向量的坐標運算實現(xiàn)了向量運算代數(shù)化，將數(shù)與形結合起來，從而使量運算代數(shù)化，將數(shù)與形結合起來，從而使幾何問題可轉化為數(shù)量運算幾何問題可轉化為數(shù)量運算(2)兩個向量相等當且僅當它們的坐標對應相兩個向量相等當且僅當它們的坐標對應相同此時注意方程同此時注意方程(組組)思想的應用思想的應用 互動探究互動探究 備選例題備選例題例例平行向量的坐標運算平行向量的坐標運算例例3【題后感悟題后感悟】向量平行向量平行(共線共線)的充要條件的充要條件的兩種表達形式是：的兩種表達形式是：ab(b0)ab，或或x1y2x2y10，至于使用哪種形式，應視，至于使用哪種形式，應視題目的具體條件而定利用兩個向量共線的題目的具體條件而定利用兩個向量共線的條件列方程條件列方程(組組)，還可求未知數(shù)的值，還可求未知數(shù)的值備選例題備選例題已知已知a(1,0)，b(2,1)(1)求求|a3b|；(2)當當k為何實數(shù)時，為何實數(shù)時，kab與與a3b平行，平行，平行時它們是同向還是反向？平行時它們是同向還是反向？例例變式訓練變式訓練方法技巧方法技巧對平面向量基本定理的理解對平面向量基本定理的理解(1)平面向量基本定理實際上是向量的分解平面向量基本定理實際上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理論依據(jù)定理，并且是平面向量正交分解的理論依據(jù)，也是向量的坐標表示的基礎，也是向量的坐標表示的基礎(2)平面向量的一組基底是兩個不共線向量平面向量的一組基底是兩個不共線向量，平面向量的基底可以有無窮多組，平面向量的基底可以有無窮多組 失誤防范失誤防范2平面向量共線的坐標表示平面向量共線的坐標表示(1)a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中，其中b0.ab的充要條件的充要條件ab與與x1y2x2y10在在本質上是相同的，只是形式上有差異本質上是相同的，只是形式上有差異(2)要記準坐標公式特點，不要用錯公式要記準坐標公式特點，不要用錯公式考向瞭望把脈高考考向瞭望把脈高考命題預測命題預測從近幾年的高考試題來看，向量的坐標運算及從近幾年的高考試題來看，向量的坐標運算及向量共線的坐標表示是高考的熱點，題型既有向量共線的坐標表示是高考的熱點，題型既有選擇題、填空題，又有解答題，屬于中、低檔選擇題、填空題，又有解答題，屬于中、低檔題目，常與向量的數(shù)量積運算等交匯命題，主題目，常與向量的數(shù)量積運算等交匯命題，主要考查向量的坐標運算及向量共線條件的應要考查向量的坐標運算及向量共線條件的應用同時又注重對函數(shù)與方程、轉化、化歸用同時又注重對函數(shù)與方程、轉化、化歸等思想方法的考查等思想方法的考查預測預測2013年高考仍將以向量的坐標運算、向年高考仍將以向量的坐標運算、向量共線的坐標表示為主要考點，重點考查運量共線的坐標表示為主要考點，重點考查運算能力與應用能力算能力與應用能力 典例透析典例透析例例 (2010高考山東卷高考山東卷)定義平面向量之定義平面向量之間的一種運算間的一種運算“”如下：對任意的如下：對任意的a(m，n)，b(p，q), 令令abmqnp，下，下面說法錯誤的是面說法錯誤的是()A若若a與與b共線，則共線，則ab0BabbaC對任意的對任意的R，有，有(a)b(ab)D(ab)2(ab)2|a|2|b|2【解析解析】若若a與與b共線，共線，則有則有abmqnp0，故，故A正確；正確；因為因為bapnqm，而而abmqnp，所以只有當所以只有當mqnp0時，時，abba，故，故B錯誤；錯誤；(a)bmqnp(mqnp)(ab)，故，故C正確；正確；(ab)2(ab)2(mqnp)2(mpnq)2m2q2n2p2m2p2n2q2(m2n2)(p2q2)|a|2|b|2，故，故D正確正確【答案答案】B【得分技巧得分技巧】解答這類問題時，要通過聯(lián)解答這類問題時，要通過聯(lián)想類比，仔細分析題目中所提供的信息，找想類比，仔細分析題目中所提供的信息，找出其中與已學知識的相似性和一致性，把新出其中與已學知識的相似性和一致性，把新問題化歸為自己熟悉的問題加以解決問題化歸為自己熟悉的問題加以解決【失分溯源失分溯源】解答本題的失分點：一是不解答本題的失分點：一是不理解題中給出的運算法則；二是題中運算符理解題中給出的運算法則；二是題中運算符號混用號混用