A級(jí)基礎(chǔ)通關(guān)1(2018·江蘇卷)在極坐標(biāo)系中，直線l的方程為sin()2，曲線C的方程為4cos ，求直線l被曲線C截得的弦長(zhǎng)解：因?yàn)榍€C的極坐標(biāo)方程為4cos ，所以曲線C是圓心為(2，0)，直徑為4的圓因?yàn)橹本€l的極坐標(biāo)方程為sin()2，則直線l過(guò)A(4，0)，傾斜角為，所以A為直線l與圓C的一個(gè)交點(diǎn)設(shè)另一個(gè)交點(diǎn)為B，則OAB.如圖，連接OB.因?yàn)镺A為直徑，從而OBA，所以AB4cos 2.因此，直線l被曲線C截得的弦長(zhǎng)為2.2(2018·全國(guó)卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))(1)求C和l的直角坐標(biāo)方程；(2)若曲線C截直線l所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，2)，求l的斜率解：(1)曲線C的直角坐標(biāo)方程為1.當(dāng)cos 0時(shí)，l的直角坐標(biāo)方程為ytan ·x2tan ，當(dāng)cos 0時(shí)，l的直角坐標(biāo)方程為x1.(2)將l的參數(shù)方程代入C的直角坐標(biāo)方程，整理得關(guān)于t的方程(13cos2 )t24(2cos sin )t80.因?yàn)榍€C截直線l所得線段的中點(diǎn)(1，2)在C內(nèi)，所以有兩個(gè)解，設(shè)為t1，t2，則t1t20.又由得t1t2，故2cos sin 0，于是直線l的斜率ktan 2.3在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，曲線C的極坐標(biāo)方程為4sin.(1)求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)若直線l與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，求MON的面積解：(1)由消去參數(shù)t得xy4，所以直線l的普通方程為xy40.由4sin2sin 2cos ，得22sin 2cos ，即x2y22x2y.所以曲線C的直角坐標(biāo)方程是圓(x)2(y1)24.(2)因?yàn)樵c(diǎn)O到直線l的距離d2.直線l過(guò)圓C的圓心(，1)，所以|MN|2r4，所以MON的面積S|MN|×d4.4(2019·佛山檢測(cè))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為2.(1)求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)P為曲線C上的點(diǎn)，PQl，垂足為Q，若|PQ|的最小值為2，求m的值解：(1)因?yàn)榍€C的極坐標(biāo)方程為2，則22sin24，將2x2y2，sin y代入上式并化簡(jiǎn)得1，所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為1.由消去參數(shù)t得xym，所以直線l的普通方程為xym0.(2)設(shè)P(2cos ，sin )，由點(diǎn)到直線的距離公式得|PQ|，由題意知m0，當(dāng)m0時(shí)，|PQ|min2，得m22；當(dāng)m0時(shí)，|PQ|min2，得m22，所以m22或m22.5(2017·全國(guó)卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為cos 4.(1)M為曲線C1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在線段OM上，且滿足|OM|·|OP|16，求點(diǎn)P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為，點(diǎn)B在曲線C2上，求OAB面積的最大值解：(1)設(shè)P的極坐標(biāo)為(，)(>0)，M的極坐標(biāo)為(1，)(1>0)由題設(shè)知|OP|，|OM|1.由|OM|·|OP|16得C2的極坐標(biāo)方程為4cos (0)因此C2的直角坐標(biāo)方程為(x2)2y24(x0)(2)設(shè)點(diǎn)B的極坐標(biāo)為(B，)(B>0)由題設(shè)知|OA|2，B4cos ，于是OAB的面積S|OA|·B·sinAOB4cos ·22.當(dāng)時(shí)，S取得最大值2.所以O(shè)AB面積的最大值為2.6(2018·全國(guó)卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的方程為yk|x|2.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為22cos 30.(1)求C2的直角坐標(biāo)方程；(2)若C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)，求C1的方程解：(1)由xcos ，ysin 得C2的直角坐標(biāo)方程為(x1)2y24.(2)由(1)知C2是圓心為A(1，0)，半徑為2的圓由題設(shè)知，C1是過(guò)點(diǎn)B(0，2)且關(guān)于y軸對(duì)稱的兩條射線記y軸右邊的射線為l1，y軸左邊的射線為l2.由于點(diǎn)B在圓C2的外面，故C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且l2與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)，或l2與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且l1與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)當(dāng)l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，A到l1所在直線的距離為2，所以2，解得k或k0.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)k0時(shí)，l1與C2沒(méi)有公共點(diǎn)；當(dāng)k時(shí)，l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)，l2與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)當(dāng)l2與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)A到l2所在直線的距離為2，所以2，故k0或k.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)k0時(shí)，l1與C2沒(méi)有公共點(diǎn)；當(dāng)k時(shí)，l2與C2沒(méi)有公共點(diǎn)綜上，所求C1的方程為y|x|2.B級(jí)能力提升7在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為2sin 2acos (a0)；直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))直線l與曲線C分別交于M，N兩點(diǎn)(1)寫(xiě)出曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程；(2)若點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(2，)，|PM|PN|5，求a的值解：(1)由2sin 2acos (a0)，得22sin 2acos (a0)，所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2y22y2ax，即(xa)2(y1)2a21.由直線l的參數(shù)方程得直線l的普通方程為yx2.(2)將直線l的參數(shù)方程代入x2y22y2ax，化簡(jiǎn)得t2(3a)t4a40.(3a)24(4a4)0，解得a1.t1t23a，t1t24a4.又因?yàn)閍0，所以t10，t20.因?yàn)辄c(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(2，0)，且在直線l上，所以|PM|PN|t1|t2|3a5，解得a2，此時(shí)滿足a0，且a1，故a2.8(2019·珠海檢測(cè))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為.(1)求C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程；(2)若C1與C2交于P，Q兩點(diǎn)，求的值解：(1)由(t為參數(shù))，消去參數(shù)t，得x2y，則C1的普通方程為x2y.由，得msin cos 2，將xcos ，ysin 代入，得myx20，即C2的直角坐標(biāo)方程為xmy20.(2)由(t為參數(shù))，可得4t(x0)，故4t的幾何意義是拋物線x2y上的點(diǎn)(原點(diǎn)除外)與原點(diǎn)連線的斜率由(1)知，當(dāng)m0時(shí)，C2：x2，則C1與C2只有一個(gè)交點(diǎn)，故m0.把(t為參數(shù))代入xmy20，得4mt2t20，設(shè)此方程的兩根分別為t1，t2，則t1t2，t1t2，所以.