第五章 基本圖形（一）第20課線段、角、相交線和平行線基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí)1. 線段沿著一個(gè)方向無(wú)限延長(zhǎng)就成為 ；線段向兩方無(wú)限延長(zhǎng)就成為 ；線段是直線上兩點(diǎn)間的部分，射線是直線上某一點(diǎn)一旁的部分2. 直線的基本性質(zhì)： 線段的基本性質(zhì)： ，連結(jié)兩點(diǎn)的 ，叫做兩點(diǎn)之間的距離3有公共端點(diǎn)的兩條射線所組成的圖形叫做角，也可以把角看成是由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成的圖形(1)1周角 平角 直角 ,1 ,1 .(2)小于直角的角叫做 ；大于直角而小于平角的角叫做 ；度數(shù)是90的角叫做 要點(diǎn)梳理要點(diǎn)梳理射線射線直線直線兩點(diǎn)確定一條直線兩點(diǎn)確定一條直線兩點(diǎn)之間線段最短兩點(diǎn)之間線段最短線段的長(zhǎng)度線段的長(zhǎng)度243606060銳角銳角鈍角鈍角直角直角4. 兩個(gè)角的和等于90時(shí)，稱這兩個(gè)角 ，同角(或等角)的余角相等 兩個(gè)角的和等于180時(shí)，稱這兩個(gè)角 ，同角(或等角)的補(bǔ)角相等5. 角平分線和線段中垂線的性質(zhì)：角平分線上的到 線段中垂線上的點(diǎn)到線段 到角兩邊的距離相等的點(diǎn)在角平分線上 到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在線段的中垂線上6. 兩條直線相交，只有 兩條直線相交形成四個(gè)角，我們把其中相對(duì)的每一對(duì)角叫做對(duì)頂角，對(duì)頂角 互為余角互為余角互為補(bǔ)角互為補(bǔ)角角兩邊的距離相等角兩邊的距離相等兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等一個(gè)交點(diǎn)一個(gè)交點(diǎn)相等相等7. 兩條直線相交所組成的四個(gè)角中有一個(gè)是直角時(shí)，我們說(shuō)這兩條直線互相 ，其中的一條直線叫做另一條直線的 ，它們的交點(diǎn)叫做 從直線外一點(diǎn)到這條直線的 ，叫做點(diǎn)到直線的距離連結(jié)直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中 8. 垂 直 于 一 條 線 段 并 且 平 分 這 條 線 段 的 直 線，叫 做 這 條線段的 ，也叫線段的中垂線9. 在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線和這條直線平行垂直垂直垂線垂線垂足垂足垂線段的長(zhǎng)度垂線段的長(zhǎng)度垂線段最短垂線段最短垂直平分線垂直平分線10. 平行線的判定及性質(zhì)： (1)判定： 在同一平面內(nèi) 的兩條直線叫做平行線； 相等，兩直線平行； 相等，兩直線平行； ，兩直線平行； 在同一平面內(nèi)垂直于同一直線的兩直線平行； 平行于同一直線的兩直線平行 (2)性質(zhì)： 兩直線平行， ； 兩直線平行， ； 兩直線平行， 不相交不相交同位角同位角內(nèi)錯(cuò)角內(nèi)錯(cuò)角同旁內(nèi)角互補(bǔ)同旁內(nèi)角互補(bǔ)同位角相等同位角相等內(nèi)錯(cuò)角相等內(nèi)錯(cuò)角相等同旁內(nèi)角互補(bǔ)同旁內(nèi)角互補(bǔ)難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源 1正確理解線段、射線、直線的概念 點(diǎn)通常表示一個(gè)物體的位置，無(wú)大小可言點(diǎn)動(dòng)成線，線有彎曲的，也有筆直的，彎曲的線叫做曲線；而筆直的線，若向兩邊無(wú)限延伸，沒(méi)有端點(diǎn)且無(wú)粗細(xì)可言就叫做直線，射線是直線的一部分，向一方無(wú)限延伸，有一個(gè)端點(diǎn)，線段也是直線的一部分，有且只有兩個(gè)端點(diǎn) “延伸”和“延長(zhǎng)”是兩個(gè)不同的概念線段不能延伸，但可以延長(zhǎng)；直線與射線是可以無(wú)限延伸，線段向一方延長(zhǎng)的部分，叫做線段的延長(zhǎng)線，指定哪個(gè)方向延長(zhǎng)就是向哪個(gè)方向延長(zhǎng)；反向延長(zhǎng)的部分叫做反向延長(zhǎng)線，如延長(zhǎng)線段AB即為反向延長(zhǎng)線段BA. 線段的延長(zhǎng)線即指線段向一方延長(zhǎng)的部分，延長(zhǎng)線常畫成虛線線段的延長(zhǎng)線是有方向的，作延長(zhǎng)線時(shí)要特別注意表示線段的字母的順序，以便確定延長(zhǎng)方向注意：一條線段可以延長(zhǎng)，但線段的延長(zhǎng)線不是原線段的一部分 2理解同一平面內(nèi)兩條直線的相互位置關(guān)系 同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有兩種：相交和平行“在同一平面內(nèi)”是其前提，離開(kāi)了這個(gè)前提，不相交的直線就不一定平行了，因?yàn)樵诳臻g里存在著既不平行也不相交的兩條直線，如正方體的有些棱所在的線既不相交也不平行基礎(chǔ)自測(cè)1(2011桂林)下面四個(gè)圖形中，12一定成立的是()答案答案B解析在解析在B圖中，圖中，1、2有相同的頂點(diǎn)，且角的兩邊互為有相同的頂點(diǎn)，且角的兩邊互為反向延長(zhǎng)線，反向延長(zhǎng)線，1與與2是對(duì)頂角，所以是對(duì)頂角，所以12.2(2011茂名)如圖，已知ABCD, 則圖中與1互補(bǔ)的角有() A2個(gè) B3 個(gè) C4個(gè) D5個(gè)答案答案A解析解析ABCD，1AEF180.又又CFD180，1EFD180，所以與，所以與1互補(bǔ)的角有互補(bǔ)的角有AEF、EFD共共2個(gè)個(gè)3(2011金華)如圖，有一塊含有45角的直角三角板的兩個(gè)頂點(diǎn)放在直尺的對(duì)邊上如果120，那么2的度數(shù)是() A30 B25 C20 D15答案答案B解析解析ABCD，又又3245，3120，2453452025.4(2011紹興)如圖，已知AB/CD，BC平分ABE，C34，則BED 的度數(shù)是() A17 B34 C56 D68 答案D 解析ABCD， CABC34， BEDABE. 又BC平分ABE， ABE2ABC23468， BED68.5(2011黃石)平面上不重合的兩點(diǎn)確定一條直線，不同三點(diǎn)最多可確定3條直線，若平面上不同的n個(gè)點(diǎn)最多可確定21條直線，則n的值為() A5 B6 C7 D8 答案C題型分類 深度剖析【例 1】已知E、F兩點(diǎn)把線段AB分成2 3 4三部分，D是線段AB的中點(diǎn)，F(xiàn)B12，求DF的長(zhǎng)及AE：AD. 解如圖，設(shè)AE2x，EF3x，F(xiàn)B4x，則AB9x. D是AB的中點(diǎn)，ADBD4.5x. FB12，4x12，x3. 又AF2x3x5x， DF5x4.5x0.5x0.531.5. AE AD2x 4.5x2 4.54 9.探究提高在解答有關(guān)線段的計(jì)算問(wèn)題時(shí)，一般要注意以下幾個(gè)方面：按照題中已知條件畫出符合題意的圖形是正確解題的前提條件； 學(xué)會(huì)觀察圖形，找出線段之間的關(guān)系，列算式或方程來(lái)解答題型一線段的計(jì)算 題型二相交線【例 2】如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OEAB，垂足為O，如果EOD42，則AOC_. 答案48 解析OEAB，AOE90. AOCEOD180AOE90. EOD42，AOC904248.探究提高當(dāng)已知中有“相交線”出現(xiàn)的時(shí)候，要充分挖掘其中隱含的“鄰補(bǔ)角和對(duì)頂角”，以幫助解題知能遷移2(1)(2010寧波)如圖，直線AB與直線CD相交于點(diǎn)O，E是AOD內(nèi)一點(diǎn)，已知OEAB，BOD45，則COE的度數(shù)是() A125 B135 C145 D155 答案B 解析OEAB， EOA90. AOCBOD45， COEEOAAOC9045135.(2)如圖，已知直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OA平分EOC，若EOC100，則BOD的度數(shù)是() A20 B40 C50 D80 答案C題型三平行線【例 3】(1)如圖，點(diǎn)E在AD的延長(zhǎng)線上，下列條件中能判斷BCAD的是() A34 BAADC180 C12 DA5 答案C 解析BC、AD被BD所截，當(dāng)12時(shí)，BCAD，應(yīng)選C.(2)如圖，ab，M、N分別在a、b上，P為兩平行線間一點(diǎn)，求123之和解題示范解題示范規(guī)范步驟，該得的分，一分不丟！規(guī)范步驟，該得的分，一分不丟！解：解： 思路一：延長(zhǎng)思路一：延長(zhǎng)MP交交b于于Q，因?yàn)橐驗(yàn)閍b，所以，所以14，故故123423，PQN的三外角之和等于的三外角之和等于360.思路二：連接MN，則原1被分成5、6之和，原3被分成7、8之和，又58180，267180，所以123(627)(58)360.探究提高本例中集中給出了多種輔助線的作法，以構(gòu)造平行線 或構(gòu)造“三線八角”基本圖形為主要原則，利用平行線的性質(zhì)求 角度思路三：過(guò)P畫ca，因?yàn)閍b，所以cb，原2被分成9、10之和，因?yàn)?9180，310180，所以123360.知能遷移3(1)(2011德州)如圖，直線l1l2, 140，275，則3等于() A55 B60 C65 D70 答案C 解析如右圖，在ABC中，BAC275，ABC140.3180BACABC65.(2)如圖，ab，1105，2140，則3的度數(shù)是() A75 B65 C55 D50 答案B 解析如圖，過(guò)點(diǎn)B畫，ca. ab， bc. 14180， 25180， 475，540， 31804565題型四與直線交點(diǎn)個(gè)數(shù)有關(guān)的探究問(wèn)題探究提高探究提高此題給出了幾種特殊情況，從分子、分母數(shù)字的變化此題給出了幾種特殊情況，從分子、分母數(shù)字的變化 規(guī)律也可以得到探究結(jié)果，熟記本題的探究結(jié)果，對(duì)解決一些規(guī)律也可以得到探究結(jié)果，熟記本題的探究結(jié)果，對(duì)解決一些 問(wèn)題會(huì)有所幫助問(wèn)題會(huì)有所幫助知能遷移4(1)(2011柳州)如圖，點(diǎn)A、B、C是直線l上的三個(gè)點(diǎn)，圖中共有線段條數(shù)是() A1條 B2條 C3條 D4條 答案C 解析有三條線段AB、AC、BC.(2)在某次商業(yè)聚會(huì)中，聚會(huì)結(jié)束后同桌的六個(gè)客人都互相握了手，聚會(huì)開(kāi)始時(shí)這六個(gè)客人也都互相問(wèn)了好，那么，他們一共有多少次握手，多少次問(wèn)好？易錯(cuò)警示13因概念理解不清，造成角的計(jì)算錯(cuò)誤剖析若不用方程的思想方法來(lái)考慮本題，可能無(wú)法下手，或以錯(cuò)誤告終本題已知角度的數(shù)量關(guān)系及某一個(gè)角的度數(shù)，要求其他角的度數(shù)，因?yàn)榻o出度數(shù)的角DOE不能運(yùn)用角平分線，也不知DOE與其他角的任何關(guān)系，因此DOE72，這個(gè)條件用不上，那么此時(shí)可以考慮在應(yīng)用題中學(xué)習(xí)的一種方法，當(dāng)某個(gè)量不知道或不好表示時(shí)，我們常用未知數(shù)把這個(gè)量設(shè)出來(lái)，其他的量也都可以用這個(gè)未知數(shù)表示出來(lái)，再列出方程解出這個(gè)未知數(shù)當(dāng)然，未知數(shù)的設(shè)法有多種批閱筆記本題采用間接設(shè)未知數(shù)的方法，設(shè)AODx，則可知DOBx，BOE72x，EOC2(72x)，最后利用AODDOBBOEEOC180這個(gè)等量關(guān)系列出方程解出x的值，利用方程的思想方法來(lái)解題，用代數(shù)的方法來(lái)解決幾何問(wèn)題. 思想方法 感悟提高方法與技巧 1. 掌握平面幾何的基本概念，正確理解平面幾何的基本內(nèi)容和方法，是學(xué)好平面幾何的第一步 2. 重視名詞的定義，抓住概念的本質(zhì)，養(yǎng)成結(jié)合圖形理解概念的習(xí)慣 3. 一個(gè)概念要有一個(gè)名詞或一個(gè)詞組來(lái)表示說(shuō)明一個(gè)名詞的含義，使各名詞互不混淆的語(yǔ)句，叫做名詞的定義例如：角的定義是有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形顯然，在定義的語(yǔ)句中，必須使用另外的一些名詞以角的定義為例，就使用了“端點(diǎn)”、“射線”、“圖形”等名詞，而定義這些名詞，就需要另外一些名詞，這樣就必然有一些名詞無(wú)法被定義這些無(wú)法被定義的名詞，應(yīng)是人們?cè)谌粘Ｉ钪兴煜さ模蚨菀讌^(qū)分，也是不需要定義的，如體、面、線、點(diǎn)等，都是不需要定義的名詞 4. 定義是推理、論證的依據(jù)之一，應(yīng)在準(zhǔn)確理解的基礎(chǔ)上熟記，想象出它所刻畫的圖形情景，不要死記語(yǔ)句 5. 公理、定理，都是在它的題設(shè)條件下，一定可以得到它所指出的結(jié)論的命題，因而是真命題平面幾何的許多定理，還必須滿足一個(gè)形式上并未寫出的條件在同一平面內(nèi)，否則，結(jié)論就不成立如“垂直于同一直線的兩直線平行”，必須在同一平面內(nèi)才成立，等等在學(xué)習(xí)平面幾何階段，都是指在同一平面內(nèi)失誤與防范 1計(jì)算直線條數(shù)、線段條數(shù)或角的個(gè)數(shù)等題目，一方面考查了對(duì)幾何概念的準(zhǔn)確掌握，另一方面也考查了思維的嚴(yán)密性數(shù)數(shù)問(wèn)題的關(guān)鍵是把問(wèn)題分為不重不漏的有限種情況，一一列舉出各種情況加以解決，最終達(dá)到解決整個(gè)問(wèn)題的目的 例如：平面內(nèi)三條直線可以把平面分成幾部分？ 分析與解：這道題的答案取決于三條直線的位置關(guān)系，如圖： 第一種是三條直線沒(méi)有交點(diǎn)，可將平面分成4部分；第二種是三條直線交于一點(diǎn)，可將平面分成6部分；第三種是三條 直線有兩個(gè)交點(diǎn)，可將平面分成6部分；第四種是三條直線兩兩相交，有三個(gè)交點(diǎn)，可將平面分成7部分 在幾何問(wèn)題中，如果不善于將問(wèn)題進(jìn)行全面討論、合理分類，做到不重不漏，就很難得到完整的答案，導(dǎo)致“漏解”的錯(cuò)誤 2幾何學(xué)的突出特點(diǎn)之一就是邏輯推理方法的運(yùn)用，利用推理的方法得出結(jié)論學(xué)習(xí)推理應(yīng)注重以下兩個(gè)方面：一是要對(duì)問(wèn)題進(jìn)行清晰的分析，這是解題的關(guān)鍵；二是在推理過(guò)程中，推理的每一步都必須有科學(xué)依據(jù)完成考點(diǎn)跟蹤訓(xùn)練20