專題一 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)選考內(nèi)容22()()coss1intan()20Oxxyxyxyx在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn) 為極點(diǎn)， 軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，則點(diǎn)的極坐標(biāo)，與直角坐標(biāo) ， 的互化公式是，或，直線，圓，橢圓，雙曲線，拋物線的參數(shù)方程如下表：曲線類型普通方程參數(shù)方程直線y-y0=tana(x-x0)(t為參數(shù))圓(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)(為參數(shù))橢圓 =1(ab0)( 為參數(shù))雙曲線 =1(a0，b0)( 為參數(shù))拋物線y2=2px(p0)(t為參數(shù))2222xyab2222xyab00 xxtcosyytsinaacossinxaybxasecybtan222xptypt 00cossinxxtyytaa ()(3.4)f xabCCf xab 如果函數(shù)在區(qū)間 ，上只有惟一的最大小 值點(diǎn) ，且在點(diǎn) 的兩側(cè)單調(diào)，并具有相反的單調(diào)性，則函數(shù)為區(qū)間 ，上的單峰函數(shù)把影響試驗(yàn)?zāi)繕?biāo)的諸多原因稱為因素，如果在一個(gè)試驗(yàn)過程中，只有 或主要有 一個(gè)因素在變化，則稱這類問題為單因素問題，表示試驗(yàn)?zāi)繕?biāo)與因素之間對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù)稱為目標(biāo)函數(shù)12510.618.20.618.0.6615nmnmxxabCnxxxx設(shè) 和 是因素范圍 ， 內(nèi)的任意兩個(gè)試點(diǎn)，為最佳點(diǎn)，把兩個(gè)試點(diǎn)中效果較好的點(diǎn)稱為好點(diǎn)，效果較差的點(diǎn)稱為差點(diǎn)以差點(diǎn)為分界點(diǎn)，把因素范圍分成兩部分，其中好點(diǎn)所在部分稱為存優(yōu)范圍黃金分割常數(shù)在試驗(yàn)方法中，利用黃金分割常數(shù)確定試點(diǎn)的方法叫做黃金分割法，也叫做法在確定第 個(gè)試點(diǎn) 時(shí)，如果存優(yōu)范圍內(nèi)相應(yīng)的好點(diǎn)是 ，則大小用180.618.nn法確定試點(diǎn)時(shí)， 次試驗(yàn)后的精度為110.618871nnnFFFn在優(yōu)選法中，用漸近分?jǐn)?shù)近似代替確定試點(diǎn)的方法叫做分?jǐn)?shù)法對(duì)目標(biāo)函數(shù)為單峰的情形，用分?jǐn)?shù)法尋找最佳點(diǎn)時(shí)，當(dāng)因素范圍內(nèi)有個(gè)試點(diǎn)時(shí)，最多只需作 次試驗(yàn)就能找出其中的最佳點(diǎn)單因素單峰試驗(yàn)的優(yōu)選法主要有黃金分割法，分?jǐn)?shù)法，對(duì)分法，盲人爬山法，分批試驗(yàn)法等 12()(02 )(cossin )2(sincos )2_12()212()_12_1.xtxsltlyktyssk 在極坐標(biāo)系，中，曲線與的交點(diǎn)一、坐標(biāo)系與參數(shù)方程的極坐標(biāo)為若直線 ：為參數(shù) 與直線 ：為參數(shù)例垂直，則 1212(2)22220,222.2122.211cossinxysincoskyxkllkll 根據(jù)極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系互化公式，交點(diǎn)直角坐標(biāo)為，所以交點(diǎn)的極坐標(biāo)為由直線的參數(shù)方程可知，直線 的斜率為，直線 的斜率為因?yàn)?，所以，即解析?00(2)1xxabyyba極坐標(biāo)系中的問題一般可以先轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系中解決，然后還原為極坐標(biāo)系中的解直線為參數(shù) 的斜率是 ，不必將參數(shù)方程化為普【點(diǎn)評(píng)】通方程 121211cos()sincos()si12n23xtCtytxCyCCOCAPOAPaaaa 已知直線：為參數(shù) ，：為參數(shù) 當(dāng)時(shí)，求與的交點(diǎn)坐標(biāo)；過坐標(biāo)原點(diǎn) 作的垂線，垂足為 ， 為的中點(diǎn)當(dāng) 變化時(shí)，求 點(diǎn)軌跡的二、直線參數(shù)方程和圓的參，并指出數(shù)方程及其應(yīng)用例它是什么曲線 12222212131.3(1)1131,0 ()212CyxCxyyxxyCCa時(shí)，的普通方程為，的普通方程為聯(lián)立方程組，解得與的，交點(diǎn)，為解析： 122sincossin01sin22()1sincos1211(21()4160)44CxyaPxPxyPyaaaaaaa 的普通方程為，故當(dāng) 變化時(shí)， 點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程為為參數(shù) 點(diǎn)軌跡的普通方程為，故 點(diǎn)軌跡是圓心為，半徑為 的圓 15100,1100()_700,750_1_2_ _.nanaa若某實(shí)驗(yàn)的因素范圍是，現(xiàn)準(zhǔn)備用黃金分割法進(jìn)行試驗(yàn)找到最優(yōu)加入量分別以表示第 次試驗(yàn)的加入量 結(jié)果都取整數(shù) ；若干次試驗(yàn)后的存優(yōu)范圍包含在區(qū)間內(nèi)三、單因素單峰試驗(yàn)，優(yōu)選法例3則 121000.6181100 1007181100 11007.1882.24aa由黃金分割法知：第一次的加入量為析易知解：345700,750700,750718482,1100482 1100718864718482,864482864718628.628864718774.aaa因?yàn)榘鎯?yōu)范圍，所以最優(yōu)點(diǎn)在區(qū)間上由此知前兩次試驗(yàn)結(jié)果中，好點(diǎn)是，所以此時(shí)存優(yōu)范圍取，所以，同理可知第三次試驗(yàn)后，好點(diǎn)仍是，此時(shí)存優(yōu)范圍是，所以同理可求得0.618利用黃金分割法解決單因素優(yōu)選問題，第一個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)的值即為因素范圍的處，然后按“加兩頭，減中間”進(jìn)行試驗(yàn)點(diǎn)的選取，再比較前后試驗(yàn)點(diǎn)的優(yōu)劣，逐步減少存優(yōu)范圍，得出符合條件的【點(diǎn)評(píng)】最佳點(diǎn) 6081112730 某化工廠擬對(duì)某一化工廠產(chǎn)品進(jìn)行技術(shù)改良，需要優(yōu)選加工溫度，試驗(yàn)范圍定為，精度要求，技術(shù)員準(zhǔn)備用分?jǐn)?shù)法進(jìn)行優(yōu)選如何安排試驗(yàn)？并簡(jiǎn)述試驗(yàn)的操作流程；最多通過幾次試驗(yàn)就可以找出最佳點(diǎn)？若最佳點(diǎn)為，求例4各試點(diǎn)的值 1260,81132161,6280.21136081607360817368.211732“168”xx解析:所以第 試點(diǎn)安排在，第 試點(diǎn)安排在，將試驗(yàn)范圍調(diào)整為，后續(xù)試點(diǎn)在存優(yōu)范圍并等分為段，分點(diǎn)為， ，取漸近分內(nèi)，用 加兩頭，數(shù)則，減中間來安排 71234520173687068,816881737668,76667368767123876737168,7368737170.70Fxxxxx因?yàn)?，所以最多通過試驗(yàn)就可以找出最佳點(diǎn)因?yàn)椋罴腰c(diǎn)為，則存優(yōu)區(qū)間是又，則存優(yōu)次故各試點(diǎn)的值依次是，區(qū)間是又， ，則存優(yōu)，區(qū)間是是于.用分?jǐn)?shù)法確定試點(diǎn)值的操作方法與黃金分割法類似，只是要選擇適當(dāng)?shù)臐u近分?jǐn)?shù)代替必要時(shí)要調(diào)整試驗(yàn)范圍，使試驗(yàn)范圍等分的段數(shù)為斐波【點(diǎn)評(píng)】那契數(shù) 114cos(02 )4sincossin10(2)10 xOyCxMyCOMPOxlrPl 在平面直角坐標(biāo)系中，曲線 的參數(shù)方程為為參數(shù)，且，點(diǎn)是曲線上的動(dòng)點(diǎn)求線段的中點(diǎn) 的軌跡的直角坐標(biāo)方程；以坐標(biāo)原點(diǎn) 為極點(diǎn)， 軸的正半軸為極軸建備選題 立極坐標(biāo)系，若直線 的極坐標(biāo)方程為，求點(diǎn) 到直線 距離的最大值 122(4cos4sin )0,0()1(04cos )2cos21(04sin )2sin2(2cos2sin )2cos2sin(02.1)4CMPxyxyPxPyPxy曲線上的動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè) 的坐標(biāo)為 ， ，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，所以點(diǎn) 的坐標(biāo)為，因此點(diǎn) 的軌跡的參數(shù)方程為為參數(shù)，且，消去參數(shù) 得點(diǎn) 的軌跡的直角坐：標(biāo)為析方程解 22cossin10.120,0120| 001|12221( 12)22.llxlyxyPxyPl 由直線 的直角坐標(biāo)方程為，得直線 的直角坐標(biāo)方程為，得直線 的直角坐標(biāo)方程為又由知點(diǎn) 的軌跡為圓心在原點(diǎn)，半徑為 的圓因?yàn)樵c(diǎn)到直線的距離為，所以點(diǎn) 到直線 距離的最大值為1對(duì)于用極坐標(biāo)方程或參數(shù)方程給出的曲線，如果直接利用其方程不方便解題，則應(yīng)將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，或?qū)?shù)方程化為普通方程，從而轉(zhuǎn)化為常規(guī)的解析幾何問題求解2在直角坐標(biāo)系中，對(duì)某些與角度和長(zhǎng)度有關(guān)的問題，可考慮建立極坐標(biāo)系，把角度和長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的極角和極徑，再根據(jù)極坐標(biāo)方程求解3對(duì)于圓、橢圓、雙曲線、拋物線上的動(dòng)點(diǎn)或未知點(diǎn)，可以用相應(yīng)曲線的參數(shù)方程表示點(diǎn)的坐標(biāo)，使得點(diǎn)在曲線上的條件體現(xiàn)在坐標(biāo)之中，減少許多中間環(huán)節(jié)的運(yùn)算4對(duì)直線上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離問題，可以利用直線的參數(shù)方程，將它轉(zhuǎn)化為參數(shù)的取值問題來解決一般地，直線上兩點(diǎn)間的距離等于這兩個(gè)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)的差的絕對(duì)值5黃金分割法的基本原則是：兩個(gè)試點(diǎn)關(guān)于存優(yōu)范圍的中心對(duì)稱，且每次舍去的區(qū)間長(zhǎng)度與舍去前的區(qū)間長(zhǎng)度成比例黃金分割法主要適用于單因素單峰目標(biāo)函數(shù)，第一個(gè)試點(diǎn)確定在因素范圍的0.618處，后續(xù)試點(diǎn)用“加兩頭，減中間”來確定試驗(yàn)方法的效率常用精度0.618n-1來反映在相同試驗(yàn)次數(shù)下，精度越高，方法越好 6分?jǐn)?shù)法也適用于單因素單峰函數(shù)，因素范圍由一些離散的點(diǎn)組成，試點(diǎn)只能取某些特定值的情形其基本思想是用適當(dāng)?shù)臐u近分?jǐn)?shù)代替0.618，然后按類似黃金分割法的操作原理選取試點(diǎn)即先用漸近分?jǐn)?shù)確定第一個(gè)試點(diǎn)，后續(xù)試點(diǎn)用“加兩頭，減中間”的方法來確定若因素范圍內(nèi)的試點(diǎn)將試驗(yàn)范圍所分的段數(shù)不是斐波那契數(shù)，則可以通過減少試點(diǎn)數(shù)或增加虛點(diǎn)數(shù)湊成斐波那契數(shù) 7如果每做一次試驗(yàn)，根據(jù)結(jié)果可以決定下次試驗(yàn)的方向，就用對(duì)分?jǐn)?shù)法尋找最佳點(diǎn)；如果試驗(yàn)中某些因素不允許大幅度調(diào)整，就用盲人爬山法尋找最佳點(diǎn)；分批試驗(yàn)法每批同時(shí)做幾個(gè)試驗(yàn)，可以加快試驗(yàn)進(jìn)度，根據(jù)存優(yōu)范圍越小效率越高的原理，比例分割法比均分法效果要好