專題一 函數(shù)與導數(shù)專題三 不等式、數(shù)列、推理與證明1幾何背景下的數(shù)列綜合問題，一般是以幾何問題為載體，構(gòu)成數(shù)列情境，內(nèi)容往往涉及幾何、數(shù)列、方程等方面，問題求解應根據(jù)題設理清思路，利用數(shù)形結(jié)合思想，函數(shù)方程思想，轉(zhuǎn)化化歸思想，破譯問題情境，轉(zhuǎn)化化歸為等差、等比數(shù)列或簡單的遞推數(shù)列，從而解決問題2nmnaaS函數(shù)背景下的數(shù)列綜合問題，一般通過某個函數(shù)建立 、之間的等量關(guān)系式，是數(shù)列與函數(shù)的一種常見的綜合問題，求解的基本思路是從函數(shù)的角度思考問題，有效地利用函數(shù)的性質(zhì)，特別是導數(shù)工具，逐步過渡為數(shù)列問題從而解決問題*1()212 34 5 6 78 9 10 11 12 13 14 15 ijiaijiji N把正數(shù)按上小下大、左小右大的原則排成如圖所示的數(shù)表：設、是位于這個數(shù)中從上往下數(shù)第 行、從左往右數(shù)第 個例1數(shù)數(shù)表中第 行共有一、數(shù)陣問整題個正數(shù) *1122332122010()ijnnnnaijAaaaanAnnN若，求、的值；記 ，試比較與 的大小，并說明理由 211101110102“”1 2 222121.2201022010212011.98102010 217.1ijnnniijijaiAnajjaj 思路：首先根據(jù)信息容易得到每行數(shù)的個數(shù)，再依據(jù) 與數(shù)表位置的關(guān)系而求解；第問的關(guān)鍵是得到 表達式，再用 歸納猜想證明 的方法解決數(shù)表中前 行共有個數(shù)，所以因為，所以令，解得解析：分析數(shù)陣問題的關(guān)鍵是識圖識表，理解圖所含信息給出的規(guī)律，突破了這點就較容易轉(zhuǎn)化為基本的數(shù)列問題了，然后利用數(shù)列的基本知識、方法與技巧便可解【點評】決問題 3211123( )128.3(1()1(2)11112.2nnnnnnnnnnfxxxanSnSyfxabbnbabntbtbbbb已知函數(shù)記數(shù)列的前 項和為，且動點 ，總在函數(shù)的圖象上求數(shù)列的通項公式；在數(shù)列二、函數(shù)背景下的數(shù)列問題中，它的第 項是數(shù)例2列的第項試求常數(shù) 的值，使數(shù)列成等比數(shù)列；求證： 2211221111122 .13222121.121(1211.22112)nnnnnnnnnnnnnnfxxxSnnnaSnaSSnnnnnnanbabbanbtqbtq btbqbqqtt 因為，所以當時，當時，且時也適合此式，故數(shù)列的通項公式是依題意，當時，設數(shù)列的公比為 ，則，所以對照，所以上式有：解析：11111123211( )12221.22102.11111( )22111111 111112(1)12)2.(2221nnnnnnnnnnnnnbbnbbbbbbbbbbbb 由知，是以 為首項，為公比的等比數(shù)列，所以當時，由，得所以，所以解決函數(shù)背景下的數(shù)列問題的切入點是依據(jù)題設條件，探究數(shù)列的簡單遞推關(guān)系式或通項公式，將問題化歸為數(shù)列基本問【點評】題求解 *111122212121,0(0)1).122knnnnnnPCyxxkkMMxPPCMMxPMMMaaaaankbbaN過點作曲線 ：，的切線，切點為，設在軸上的投影是點又過點 作曲線 的切線，切點為，設在 軸上的投影是點 ， ，依此下去，得到一系列點， ， ，設它們的橫坐標 ， ， ， ， 構(gòu)成數(shù)列求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求其通項公式；三、幾何背景下的當時數(shù)列問題例，令，求數(shù)列3 .nnnS的前 項和利用求導數(shù)這一工具求出切線斜率，進而求出切線方程，通過求點的坐標等價轉(zhuǎn)化成數(shù)分析:列問題 11111111,11()11,0011100.1()11111kknnnkknnkknnnnnnnnnnyxykxMaayaka xanPkakaaaknPaakakaaaakkkakkakka對求導數(shù)，得，則切點是， 的切線方程是當時，切線過點，即，得；當時，切線過點，即，得所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以數(shù)列的通項公式為解析：，*.nN 2323412311122.212322221113.22222111112222221111221.1222122.222nnnnnnnnnnnnnnnnnnnkabnbnSnSnSSnnn 當時，數(shù)列的前 項和，得兩式相所以減，得.()利用求導數(shù)這一公具求出切線斜率進而求出切線方程，通過求點的坐標等價轉(zhuǎn)化成數(shù)列問題 第一小問看視繁雜，但只有理清了思路 利用導數(shù)求曲線的切線方程 ，再加上運算細心，也就迎刃【點評】而解了 1*11231232(2)45.21.118412nnnnnnnnnnanSaSyxnbaaabf xb xb xb xb xffnnN已知數(shù)列的前 項和為 ，點，在直線上，其中令，且求數(shù)列的通項公式；若，求的表達式，并備選題 比較與的大小 11*1*111*11*1111211214254343(2)44(2)222(2)22(2)22124nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnSaSaSannaSSaannaaaannbaannbaabqbaaaaaNNNN因為，即，所以，所以，所以，所以，所以數(shù)列為等比數(shù)列，其解析:公比為，首項，而21111316426224.nnnaabb，且，所以，所以，所以 231232112312323413452234122231231222322 212223221222224 122421221nnnnnnnnnnnnf xb xb xb xb xfxbb xb xnb xfbbbnbfnfnfnn 因為，所以，所以，所以， 所以，得： 2221412nnnfn，所以， 22222201118441 24 214122111840184218444540184341021 1CCCC222123321.nnnnnnnnnnnfnnnnnnnnnfnnfnnnfnnfnnnnnnnnf 所以當時，所以；當時，所以；當所以當時，且，所以當時，總有時，總有 2184 .nn 數(shù)列的滲透力很強，它和函數(shù)、方程、不等式等知識相互聯(lián)系，優(yōu)化組合，無形中加大了綜合力度所以，解決此類題目僅靠掌握一點數(shù)列的基本知識，無異于杯水車薪，必須對蘊藏在數(shù)列概念和方法中的數(shù)學思想有所了解，深刻領(lǐng)悟它在解題中的重大作用，常用的數(shù)學思想方法主要有“函數(shù)與方程”“數(shù)形結(jié)合”“分類討論”“等價轉(zhuǎn)化”等