二 綜合法與分析法 綜合法與分析法的概念綜合法與分析法的概念1.1.綜合法綜合法一般地，從一般地，從_出發(fā)，利用定義、公理、定理、性質(zhì)等，出發(fā)，利用定義、公理、定理、性質(zhì)等，經(jīng)過(guò)一系列的推理、論證而得出命題成立，這種證明方法叫經(jīng)過(guò)一系列的推理、論證而得出命題成立，這種證明方法叫做綜合法做綜合法. .綜合法又叫順推證法或由因?qū)ЧňC合法又叫順推證法或由因?qū)Ч? .已知條件已知條件2.2.分析法分析法證明命題時(shí)，從證明命題時(shí)，從_出發(fā)，逐步尋求使它成立的出發(fā)，逐步尋求使它成立的_，直至所需條件為，直至所需條件為_(kāi)(_(定定義、公理或已證明的定理、性質(zhì)等義、公理或已證明的定理、性質(zhì)等) )，從而得出要證的命題成，從而得出要證的命題成立，這種證明方法叫做分析法，這是一種立，這種證明方法叫做分析法，這是一種_的思考的思考和證明方法和證明方法. . 要證的結(jié)論要證的結(jié)論已知條件或一個(gè)明顯成立的事實(shí)已知條件或一個(gè)明顯成立的事實(shí)執(zhí)果索因執(zhí)果索因充分充分條件條件1.1.如何理解分析法尋找的是充分條件如何理解分析法尋找的是充分條件? ?提示：提示：用分析法證明用分析法證明, ,敘述格式是固定的敘述格式是固定的, ,常用要證常用要證A A只需證只需證B B表示表示, ,說(shuō)明只要說(shuō)明只要B B成立成立, ,就一定有就一定有A A成立成立, ,所以所以B B必須是必須是A A的充分條的充分條件才行件才行. .2.2.若若n n為正整數(shù)，則為正整數(shù)，則 與與 的大小關(guān)系是的大小關(guān)系是_._.【解析【解析】要比較要比較 與與 的大小，只需比較的大小，只需比較 與與 的大小，即的大小，即4n+44n+4與與 的大小的大小. .因?yàn)橐驗(yàn)閚 n為正為正整數(shù)，所以整數(shù)，所以 故故答案：答案：2 n112 nn2 n112 nn2(2 n1)21(2 n)n14n4n14n44n4,n12 n1 2 n.n12 n1 2 nn3.3.若若acb0acb0，則，則 的值的符號(hào)為的值的符號(hào)為_(kāi)._.【解析【解析】= = = =因?yàn)橐驗(yàn)閍cb0,acb0,所以所以abcabc0,a-b0,b-c00,a-b0,b-c0，所以原式小，所以原式小于于0.0.答案：答案：負(fù)負(fù)abbccacab22abbccaabbbcacacabcab2ab(ab)(cab)(ab)(abcacbc)cababc(ab) a(bc)c(bc)abc(ab)(b c)(ac).abc1.1.用綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系用綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系A(chǔ) AB B1 1B B2 2B Bn nB B由已知逐步推演不等式成立的必要條件，從而得結(jié)論由已知逐步推演不等式成立的必要條件，從而得結(jié)論. .2.2.用分析法證明不等式的邏輯關(guān)系用分析法證明不等式的邏輯關(guān)系由結(jié)論步步尋求不等式成立的充分條件，從而到已知由結(jié)論步步尋求不等式成立的充分條件，從而到已知. .12nBBBBA3.3.綜合法和分析法的比較綜合法和分析法的比較(1)(1)相同點(diǎn)：都是直接證明相同點(diǎn)：都是直接證明. .(2)(2)不同點(diǎn)：綜合法：由因?qū)Ч?，形式?jiǎn)潔，易于表達(dá)；不同點(diǎn)：綜合法：由因?qū)Ч?，形式?jiǎn)潔，易于表達(dá)； 分析法：執(zhí)果索因，分析法：執(zhí)果索因， 利于思考，易于探路利于思考，易于探路. . 類型類型 一一 用綜合法證明不等式用綜合法證明不等式【典型例題【典型例題】1.1.已知已知a a0,b0,b0,c0,c0,d0,d0 0，求證：求證：(ab+cd)(ac+bd)4abcd.(ab+cd)(ac+bd)4abcd.2.2.若若a,b,ca,b,c都是正數(shù)，能確定都是正數(shù)，能確定 與與 的大小嗎？的大小嗎？222abcbcacababc2【解題探究【解題探究】1.ab+cd1.ab+cd，ac+bdac+bd分別與分別與 的大小關(guān)系是什的大小關(guān)系是什么？么？2.2.基本不等式是什么？它使用的條件是什么？基本不等式是什么？它使用的條件是什么？探究提示：探究提示：1. 1. 2. 2. 條件是：一正，二定，三相等條件是：一正，二定，三相等. .2 abcdabcd2 abcdacbd2 abcd.，abab2，【解析【解析】1.1.因?yàn)橐驗(yàn)閍 a0,b0,b0,c0,c0,d0,d0 0，所以所以 ， ，相乘得相乘得 ，式中當(dāng)且僅當(dāng)式中當(dāng)且僅當(dāng)ab=cdab=cd時(shí)，取等號(hào)，時(shí)，取等號(hào)，式中當(dāng)且僅當(dāng)式中當(dāng)且僅當(dāng)ac=bdac=bd時(shí)，取等號(hào)時(shí)，取等號(hào). .故故式中當(dāng)且僅當(dāng)式中當(dāng)且僅當(dāng)a=da=d且且c=bc=b時(shí)，取等號(hào)時(shí)，取等號(hào). .所以所以(ab+cd)(ac+bd)4abcd.(ab+cd)(ac+bd)4abcd.abcdabcd2acbdabcd21(abcd)(acbd)abcd42.2.因?yàn)橐驗(yàn)閍,b,ca,b,c都是正數(shù)，都是正數(shù)，所以所以所以所以224a4b(bc)4a(ac)4bbcac，24c(ab)4cab，2224a4b4c2(abc)bcacab，222abcabc.bcacab2【拓展提升【拓展提升】綜合法證明不等式的方法綜合法證明不等式的方法(1)(1)綜合法證明不等式，揭示出條件和結(jié)論之間的因果聯(lián)系，綜合法證明不等式，揭示出條件和結(jié)論之間的因果聯(lián)系，為此要著力分析已知與求證之間，不等式的左右兩端之間的為此要著力分析已知與求證之間，不等式的左右兩端之間的差異與聯(lián)系差異與聯(lián)系. .合理進(jìn)行轉(zhuǎn)換，恰當(dāng)選擇已知不等式，這是證明合理進(jìn)行轉(zhuǎn)換，恰當(dāng)選擇已知不等式，這是證明的關(guān)鍵的關(guān)鍵. .(2)(2)綜合法證明不等式所依賴的已知不等式主要有如下幾個(gè)：綜合法證明不等式所依賴的已知不等式主要有如下幾個(gè)：a a2 20(aR)0(aR)；(a-b)(a-b)2 20(a,bR),0(a,bR),其變形有其變形有a a2 2+b+b2 22ab,2ab, 若若a,ba,b為正實(shí)數(shù)，則為正實(shí)數(shù)，則 特別特別 a a2 2+b+b2 2+c+c2 2ab+bc+ca.ab+bc+ca.2222ab1()abab(ab)22，；abab2，ba2ab ；【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】已知已知a a0,b0,b0,c0,c0,0, 求證：求證：【證明【證明】因?yàn)橐驗(yàn)閍 a2 2+b+b2 22ab2ab，a0,b0a0,b0，所以所以(a(a2 2+b+b2 2)(a+b)2ab(a+b)(a+b)2ab(a+b)，即即a a3 3+b+b3 3+a+a2 2b+abb+ab2 22a2a2 2b+2abb+2ab2 2，所以所以a a3 3+b+b3 3aa2 2b+abb+ab2 2. .同理可得同理可得b b3 3+c+c3 3bb2 2c+bcc+bc2 2，a a3 3+c+c3 3aa2 2c+acc+ac2 2，將以上三式兩邊分別相加，得將以上三式兩邊分別相加，得3332221abc(abc )(abc).32(a2(a3 3+b+b3 3+c+c3 3)a)a2 2b+abb+ab2 2+b+b2 2c+bcc+bc2 2+a+a2 2c+acc+ac2 2，所以所以3(a3(a3 3+b+b3 3+c+c3 3)(a)(a3 3+a+a2 2b+ab+a2 2c)+(bc)+(b3 3+ab+ab2 2+b+b2 2c)+(cc)+(c3 3+bc+bc2 2+ac+ac2 2) )=(a+b+c)(a=(a+b+c)(a2 2+b+b2 2+c+c2 2) )，所以所以3332221abc(abc )(abc).3類型類型 二二 用分析法證明不等式用分析法證明不等式【典型例題【典型例題】1.1.將下面用分析法證明將下面用分析法證明 的步驟補(bǔ)充完整：要證，的步驟補(bǔ)充完整：要證， 只需證只需證a a2 2+b+b2 22ab2ab，也就是證，也就是證_,_,即證即證_,_,由于由于_顯然成立，因此原不等式成立顯然成立，因此原不等式成立. .2.2.當(dāng)當(dāng)x4x4時(shí)，證明：時(shí)，證明：22abab222abab2x 1x2x 3x4. 【解題探究【解題探究】1.1.分析法證明不等式的實(shí)質(zhì)是什么？分析法證明不等式的實(shí)質(zhì)是什么？2.2.題題2 2的證明關(guān)鍵是什么？的證明關(guān)鍵是什么？探究提示：探究提示：1.1.分析法證明不等式的實(shí)質(zhì)是從要證不等式出發(fā)，逐步尋求分析法證明不等式的實(shí)質(zhì)是從要證不等式出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，最后得到的充分條件是已知正確的不使它成立的充分條件，最后得到的充分條件是已知正確的不等式或?yàn)橐阎獥l件等式或?yàn)橐阎獥l件. .2.2.題題2 2的證明關(guān)鍵是對(duì)要證的不等式進(jìn)行適當(dāng)變形，想辦法去的證明關(guān)鍵是對(duì)要證的不等式進(jìn)行適當(dāng)變形，想辦法去掉根號(hào)，能得到顯然成立的條件掉根號(hào)，能得到顯然成立的條件. .【解析【解析】1.1.要證要證 只需證只需證a a2 2+b+b2 22ab2ab，也就是證，也就是證a a2 2+b+b2 22ab0,2ab0,即證即證(a(ab)b)2 20,0,由于由于(a(ab)b)2 200顯然成立，顯然成立，因此原不等式成立因此原不等式成立. .答案：答案：a a2 2+b+b2 22ab0 (a2ab0 (ab)b)2 20 (a0 (ab)b)2 20022abab2，2.2.欲證欲證只需證只需證即證即證展開(kāi)整理，得展開(kāi)整理，得只需證只需證(x(x1)(x1)(x4)4)(x(x2)(x2)(x3),3),即即x x2 25x+45x+4x x2 25x+65x+6，即，即4 46 6，顯然成立，顯然成立. .x 1x2x 3x4(x4) ，x 1x4x 3x2(x4), 22( x 1x4)( x 3x2) (x4),(x 1)(x4)(x2)(x 3), 【互動(dòng)探究【互動(dòng)探究】題題1 1改為，若改為，若a,ba,b為正數(shù)，將下面用分析法證明為正數(shù)，將下面用分析法證明 的步驟補(bǔ)充完整：要證的步驟補(bǔ)充完整：要證 只需證只需證 也就是證也就是證_,_,即證即證_,_,由于由于_顯然成立，因顯然成立，因此原不等式成立此原不等式成立. .abab2abab,2ab2 ab，【解析【解析】要證要證 只需證只需證也就是證也就是證即證即證由于由于 顯然成立，因此原不等式成立顯然成立，因此原不等式成立. .答案：答案： abab,2ab2 ab，ab2 ab0,2( ab)0,2( ab)0,ab2 ab02( ab)02( ab)0【拓展提升【拓展提升】用分析法證明不等式應(yīng)注意的問(wèn)題用分析法證明不等式應(yīng)注意的問(wèn)題(1)(1)分析法證明不等式的依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)、已知的重分析法證明不等式的依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)、已知的重要不等式和邏輯推理的基本理論要不等式和邏輯推理的基本理論. .(2)(2)分析法證明不等式的思維是從要證不等式出發(fā)，逐步尋求分析法證明不等式的思維是從要證不等式出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，最后得到的充分條件是已知使它成立的充分條件，最后得到的充分條件是已知( (或已證或已證) )的不等式的不等式. .(3)(3)用分析法證明數(shù)學(xué)命題時(shí)，一定要恰當(dāng)?shù)赜煤梅赐品?hào)用分析法證明數(shù)學(xué)命題時(shí)，一定要恰當(dāng)?shù)赜煤梅赐品?hào)“”或或“要證明要證明”“”“只需證明只需證明”“”“即證明即證明”等詞語(yǔ)等詞語(yǔ). .【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】設(shè)設(shè)a ab b0 0，求證：，求證：【解題指南【解題指南】對(duì)不等式兩邊同時(shí)對(duì)不等式兩邊同時(shí)3 3次方化簡(jiǎn)，利用分析法證明次方化簡(jiǎn)，利用分析法證明. .【證明【證明】要證要證只需證只需證展開(kāi)得展開(kāi)得即證明即證明 即即在題設(shè)條件下，這一不等式顯然成立，所以原不等式成立在題設(shè)條件下，這一不等式顯然成立，所以原不等式成立. . 333abab.333abab,33333( ab)( ab) ,2233aba3 a b3 abb,3333 ab( ab) 0,33ab 0.【規(guī)范解答【規(guī)范解答】利用綜合法、分析法證明不等式利用綜合法、分析法證明不等式【典例【典例】 【規(guī)范解答【規(guī)范解答】 要證要證 成立，成立， 即證即證 成立，成立， 即證即證 4 4分分111abbc3 abc113abbcabcabcabc3,abbc【條件分析【條件分析】即即即證即證又需證又需證c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+cc(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c) )，即即c c2 2+a+a2 2=b=b2 2+ac.+ac.8 8分分abcabc3,ababbcbcca1abbc，又又ABCABC的三個(gè)內(nèi)角的三個(gè)內(nèi)角A A，B B，C C成等差數(shù)列，成等差數(shù)列，所以所以 ，1010分分由余弦定理由余弦定理所以所以 ，所以原命題成立所以原命題成立. .1212分分B3222acb1cos B2ac2，222acbac【失分警示【失分警示】【防范措施【防范措施】1.1.正確應(yīng)用證明格式正確應(yīng)用證明格式應(yīng)用分析法證明時(shí)，必須有文字說(shuō)明，不能寫應(yīng)用分析法證明時(shí)，必須有文字說(shuō)明，不能寫“因?yàn)橐驗(yàn)椤?，而，而要用要用“欲證欲證”“”“只需證只需證”“”“即證即證”等詞，如本例中的要證、等詞，如本例中的要證、即證、又需證等詞語(yǔ)即證、又需證等詞語(yǔ). .2.2.熟練掌握有關(guān)知識(shí)熟練掌握有關(guān)知識(shí)一些不等式的題目常和函數(shù)、三角、數(shù)列等知識(shí)交匯命題，一些不等式的題目常和函數(shù)、三角、數(shù)列等知識(shí)交匯命題，所以應(yīng)熟練掌握有關(guān)知識(shí)，解題時(shí)才能得心應(yīng)手，如本例中所以應(yīng)熟練掌握有關(guān)知識(shí)，解題時(shí)才能得心應(yīng)手，如本例中與等差數(shù)列、余弦定理等知識(shí)相結(jié)合命題與等差數(shù)列、余弦定理等知識(shí)相結(jié)合命題. . 【類題試解【類題試解】已知已知a,ba,b都是正實(shí)數(shù)，且都是正實(shí)數(shù)，且a+ba+b=2,=2, 求證：求證：【證明【證明】方法一：因?yàn)榉椒ㄒ唬阂驗(yàn)閍,ba,b都是正實(shí)數(shù)，所以原不等式等價(jià)于都是正實(shí)數(shù)，所以原不等式等價(jià)于a a2 2(b+1)+b(b+1)+b2 2(a+1)(a+1)(b+1),(a+1)(a+1)(b+1),即即a a2 2b+ab+a2 2+ab+ab2 2+b+b2 2ab+a+b+1ab+a+b+1，等價(jià)于，等價(jià)于a a2 2+b+b2 2+ab(a+b)ab+a+b+1,+ab(a+b)ab+a+b+1,將將a+ba+b=2=2代入，只需要證明代入，只需要證明a a2 2+b+b2 2+2ab=(a+b)+2ab=(a+b)2 2=4ab+3,=4ab+3,即即ab1.ab1.而由已知而由已知 可得可得ab1ab1成立，所以原不等式成立成立，所以原不等式成立. .22ab1.a1b1ab22 ab,方法二：因?yàn)榉椒ǘ阂驗(yàn)閍,ba,b都是正實(shí)數(shù)，所以都是正實(shí)數(shù)，所以兩式相加得兩式相加得因?yàn)橐驗(yàn)閍+ba+b=2,=2,所以所以22aa1bb1a,b.a14b1422aa1bb1ab,a14b1422ab1.a1b11.1.命題命題“對(duì)于任意角對(duì)于任意角, ”, ”的證明過(guò)程：的證明過(guò)程：“ ”“ ”應(yīng)用了應(yīng)用了 ( )( )A.A.分析法分析法 B.B.綜合法綜合法C.C.綜合法、分析法綜合使用綜合法、分析法綜合使用 D.D.間接證明法間接證明法【解析【解析】選選B.B.因?yàn)樽C明過(guò)程是因?yàn)樽C明過(guò)程是“從左往右從左往右”，即由條件，即由條件結(jié)結(jié)論論. .故選故選B.B.44cossincos 2 44222222cossin(cossin)(cossin)cossincos2 2.2.要證明要證明 可選擇的方法有以下幾種，其中最合可選擇的方法有以下幾種，其中最合理的是理的是 ( )( )A A綜合法綜合法 B B分析法分析法C C歸納法歸納法 D D以上都可以以上都可以【解析【解析】選選B.B.結(jié)合題目特點(diǎn)及分析法原理可知分析法最合理結(jié)合題目特點(diǎn)及分析法原理可知分析法最合理. .29312 5，3.3.若若x x0,y0,y0 0，且，且 則則xyxy有有 ( )( )A.A.最大值是最大值是64 B.64 B.最小值是最小值是C.C.最小值是最小值是64 D.64 D.最小值是最小值是【解析【解析】選選C.C.因?yàn)橐驗(yàn)?所以所以xy64xy64，選，選C.C.281,xy281612,xyxy164124.4.分析法又稱執(zhí)果索因法，若用分析法證明：分析法又稱執(zhí)果索因法，若用分析法證明：“設(shè)設(shè)a ab bc c，且且a+b+ca+b+c=0=0，求證，求證 ” ”, ,索的因應(yīng)是索的因應(yīng)是 ( )( )A.a-bA.a-b0 B.a-c0 B.a-c0 0C.(a-b)(a-cC.(a-b)(a-c) )0 D.(a-b)(a-c0 D.(a-b)(a-c) )0 02bac3a【解析【解析】選選C.C.由由a ab bc c，且，且a+b+ca+b+c=0=0可得可得b=-a-c,ab=-a-c,a0,c0,c0.0.要證要證 只要證只要證(-a-c)(-a-c)2 2-ac-ac3a3a2 2, ,即證即證a a2 2-ac+a-ac+a2 2-c-c2 20,0,即證即證a(a-c)+(a+c)(a-ca(a-c)+(a+c)(a-c) )0,0,即證即證a(a-c)-b(a-ca(a-c)-b(a-c) )0 0，即證，即證(a-c)(a-b(a-c)(a-b) )0.0.故求證故求證 索的因應(yīng)是索的因應(yīng)是(a-b)(a-c(a-b)(a-c) )0,0,故選故選C.C.2bac3a，2bac3a，5.5.若若a0,b0,a0,b0,則下列兩式的大小關(guān)系為：則下列兩式的大小關(guān)系為：【解析【解析】因?yàn)橐驗(yàn)樗运运运源鸢福捍鸢福篴b1lg(1)_lg(1a)lg(1b) .22221a1bab(1a)(1b)()(1) ,22 2ablg(1a)(1b)lg(1) ,2ab1lg(1)lg(1a)lg(1b) .226.6.求證：求證：【證明【證明】要證要證 成立，成立，只需證只需證 成立，成立，即證即證(a+b+c)(a+b+c)2 23(a3(a2 2+b+b2 2+c+c2 2) )成立，成立，即證即證a a2 2+b+b2 2+c+c2 2ab+bc+acab+bc+ac成立，成立，需證需證而而(a(ab)b)2 2+(b+(bc)c)2 2+(c+(ca)a)2 200顯然成立，顯然成立，所以所以222abcabc.33222abcabc.33222abcabc33222111(ab)(bc)(ca)0222，222abcabc.33