專題 53 光學(xué)計(jì)算題1【2016· 全國新課標(biāo)卷】 如圖， 玻璃球冠的折射率為 3 ，其底面鍍銀， 底面的半徑是球半徑的 32倍；在過球心 O且垂直于底面的平面（紙面）內(nèi)，有一與底面垂直的光線射到玻璃球冠上的 M點(diǎn)，該光線的延長線恰好過底面邊緣上的 A點(diǎn)。求該光線從球面射出的方向相對(duì)于其初始入射方向的偏角?！敬鸢浮?180 ENO 150根據(jù)折射定律可得 sin i nsin r代入題給條件 n 3可得 r =30°作底面在 N點(diǎn)的法線 N E，由于 N EAM，有 i =30°根據(jù)反射定律可得 i =30°連接 ON，由幾何關(guān)系可知 NAM NOM ，故有 MNO 60故可得 ENO 30于是 ENO為反射角， ON為反射光線，這一反射光線經(jīng)球面再次折射后不改變方向。所以，經(jīng)一次反射后射出玻璃球冠的光線相對(duì)于入射光線的偏角 為 180 ENO 150【考點(diǎn)定位】光的折射定律【方法技巧】解決光學(xué)問題的關(guān)鍵要掌握全反射的條件、折射定律nsinsinir、臨界角公式sin C1n、光速公式vcn，運(yùn)用幾何知識(shí)結(jié)合解決這類問題。2【2015· 山東· 38（ 2）】半徑為 R、介質(zhì)折射率為 n 的透明圓柱體，過其軸線 OO 的截面如圖所示。位于截面所在平面內(nèi)的一細(xì)束光線，以角 i 0 由 O點(diǎn)入射，折射光線由上邊界的 A點(diǎn)射出。當(dāng)光線在 O點(diǎn)的入射角減小至某一值時(shí)，折射光線在上邊界的 B點(diǎn)恰好發(fā)生全反射。求 A、B兩點(diǎn)間的距離?！敬鸢浮? 21 n sin i0R( )2sin in 10【解析】【考點(diǎn)定位】光的折射定律；全反射 .3【2012· 海南卷】一玻璃三棱鏡，其截面為等腰三角形，頂角 為銳角，折射率為 2 ?，F(xiàn)在橫截面內(nèi)有一光線從其左側(cè)面上半部射入棱鏡。不考慮棱鏡內(nèi)部的反射。若保持入射線在過入射點(diǎn)的法線的下方一側(cè) （如圖） ，且要求入射角為任何值的光線都會(huì)從棱鏡的右側(cè)面射出， 則頂角 可在什么范圍內(nèi)取值？【答案】 0 45【考點(diǎn)定位】本題考查折射定律、全反射及其相關(guān)知識(shí)。4【2011· 海南卷】一賽艇停在平靜的水面上，賽艇前端有一標(biāo)記 P離水面的高度為 h1=0.6m，尾部下端 Q略高于水面；賽艇正前方離賽艇前端 s1 =0.8m 處有一浮標(biāo)，示意如圖。一潛水員在浮標(biāo)前方 s2 =3.0m處下潛到深度為 h2 =4.0m 時(shí)，看到標(biāo)記剛好被浮標(biāo)擋住，此處看不到船尾端 Q；繼續(xù)下潛 h=4.0m，恰好能看見 Q。求（i ）水的折射率 n；（ii ）賽艇的長度 l 。（可用根式表示）【答案】（ 1） 43（2）24l ( 7 3.8)m 7【解析】（ 1）如圖所示3s1水的折射率nsinsin122s1s22h12s22h2s12s22h20.823.024.04s22s12h13.020.820.63【考點(diǎn)定位】光的折射，光的全反射5【2011· 遼寧卷】一半圓柱形透明物體橫截面如圖所示，地面 AOB鍍銀， O表示半圓截面的圓心，一束光線在橫截面內(nèi)從 M點(diǎn)的入射角為 30 ，角 MOA=60 ，角 NOB=30 。求（1）光線在 M點(diǎn)的折射角；（2）透明物體的折射率?！敬鸢浮浚?1）15 0（2）0（2）n6 2 2【解析】（ 1）如圖，透明物體內(nèi)部的光路為折線 MPN，Q、M點(diǎn)相對(duì)于底面 EF對(duì)稱， Q、P和 N三點(diǎn)共線。0設(shè)在 M點(diǎn)處，光的入射角為 i ，折射角的 r ，OMQa，PNF 。根據(jù)題意有 30【考點(diǎn)定位】光的折射6【2013· 海南卷】如圖所示，三棱鏡的橫截面為直角三角形 ABC，A=30° ，A C平行于光屏 MN，與光屏的距離為 L，棱鏡對(duì)紅光的折射率為 n1，對(duì)紫光的折射率為 n2。一束很細(xì)的白光由棱鏡的側(cè)面 A、B垂直射入，直接到達(dá) A、C面并射出。畫出光路示意圖，并標(biāo)出紅光和紫光射在光屏上的位置，求紅光和紫光在光屏上的位置之間的距離。MB C NA5【答案】 光路圖如圖所示Lnn212 24 n 4 n2 1【解析】 光路如圖所示。紅光和紫光在 A C面的入射角相同，設(shè)為 i ，折射角分別為 r 1 和 r 2，它們射到屏上的置離 O點(diǎn)的距離分別為 d1 和 d2。由折射定律得n1 sin i sin r1n2 sin i sin r2由幾何關(guān)系得：i Ad1 L tan r1d2 L tan r2聯(lián)立以上各式并利用題給條件得，紅光和紫光在光屏上的位置之間的距離為d2d1Lnn212 24 n 4 n2 1【考點(diǎn)定位】考查光的折射定律。7【2015· 江蘇· 12B（ 3）】人造樹脂時(shí)常用的眼鏡片材料，如圖所示，光線射在一人造樹脂立方體上，經(jīng)折射后，射在桌面上的 P點(diǎn)，已知光線的入射角為 30° ，OA=5cm，AB=20cm，BP=12cm，求該人造樹脂材料的折射率 n。【答案】 1.5【考點(diǎn)定位】光的折射8【2012· 山東卷】如圖所示，一玻璃球體的半徑為 R，O為球心， AB為直徑。來自 B點(diǎn)的光線 BM在M點(diǎn)射出。出射光線平行于 AB，另一光線 B N恰好在 N點(diǎn)發(fā)生全反射。已知 ABM=30° ，求（1）玻璃的折射率。（2）球心 O到 BN的距離?！敬鸢浮浚?1）n 3（2）3d R3【解析】（ 1）已知 ABM 30 ，由幾何關(guān)系知入射角 i BMO 30 ，折射角 60 ° 由nsin sin60= 3 。sini sin30（2）由題意知臨界角 C ONB ，sinC1 3 ，則球心 O到 BN的距離n 33d RsinC R。3【考點(diǎn)定位】本題考查光的折射、全反射等相關(guān)知識(shí)。9【2012· 新課標(biāo)全國卷】一玻璃立方體中心有一點(diǎn)狀光源。 今在立方體的部分表面鍍上不透明薄膜，以致從光源發(fā)出的光線只經(jīng)過一次折射不能透出立方體。 已知該玻璃的折射率為 2 ，求鍍膜的面積與立方體表面積之比的最小值?！敬鸢浮縎S4【解析】如圖，考慮從玻璃立方體中心 O點(diǎn)發(fā)出的一條光線，假設(shè)它斜射到玻璃立方體上表面發(fā)生折射。7由題給數(shù)據(jù)得aR A2由題意， 上表面所鍍的面積最小的不透明薄膜應(yīng)是半徑為 RA的圓。 所求的鍍膜面積 S與玻璃立方體的表面積 S 之比為2S6RA2S 6a由式得SS4【考點(diǎn)定位】本題考查光的折射、全反射并與幾何知識(shí)相聯(lián)系及其相關(guān)知識(shí)10【2013· 新課標(biāo)全國卷）圖示為一光導(dǎo)纖維（可簡化為一長玻璃絲）的示意圖，玻璃絲長為 L，折射率為 n，A B代表端面。已知光在真空中的傳播速度為 C（i ）為使光線能從玻璃絲的 AB端面?zhèn)鞑サ搅硪欢嗣妫蠊饩€在端面 AB上的入射角應(yīng)滿足的條件；（ii ）求光線從玻璃絲的 AB端面?zhèn)鞑サ搅硪欢嗣嫠璧淖铋L時(shí)間?！敬鸢浮浚?i ）2sin i n 1 （ii ）t2n Lc（ii ）當(dāng)折射光線發(fā)生全反射后，光在介質(zhì)中傳播的速度ncv在介質(zhì)中傳播的距離為LL , 越小 sin 也越小 , 最小等于臨界角 C時(shí)光在介質(zhì)中傳播最sin長的距離 Lm=LsinCnL所以最長時(shí)間t2L n Lmv c【考點(diǎn)定位】光的折射定律；全反射 .11【2013· 重慶卷】利用半圓柱形玻璃，可減小激光束的發(fā)散程度。在題 11（2）圖所示的光路中，A為激光的出射點(diǎn)， O為半圓柱形玻璃橫截面的圓心， A O過半圓頂點(diǎn)。 若某條從 A點(diǎn)發(fā)出的與 AO成 角的光線，以入射角 i 入射到半圓弧上，出射光線平行于 AO，求此玻璃的折射率?！敬鸢浮空凵渎蕁sinsin ii【解析】 設(shè)折射角為 r ，根據(jù)光路圖，利用幾何關(guān)系可得 i r ，由折射定律可得，玻璃的折射率nsinsinirsinsin ii。9【考點(diǎn)定位】 光的折射定律，折射率的計(jì)算。12【2014· 新課標(biāo)全國卷】一厚度為 h的大平板玻璃水平放置，其下表面貼有一半徑為 r 的圓形發(fā)光面。在玻璃板上表面放置一半徑為 R的圓紙片，圓紙片與圓形發(fā)光面的中心在同一豎直線上。已知圓紙片恰好能完全擋住從圓形發(fā)光面發(fā)出的光線（不考慮反射），求平板玻璃的折射率。【答案】h21+ ( )R- r設(shè) AA 線段在玻璃上表面的投影長為 L，由幾何關(guān)系有：線段在玻璃上表面的投影長為 L，由幾何關(guān)系有：sin =L2 2L + h由題意紙片的半徑應(yīng)為： R=L+r 聯(lián)立以上各式可得：nh2= 1+ ( )R- r【考點(diǎn)定位】光的折射定律及全反射。13【2014· 江蘇卷】 Morpho 蝴蝶的翅膀在陽光的照射下呈現(xiàn)出閃亮耀眼的藍(lán)色光芒，這是因?yàn)楣庹丈涞匠岚虻镊[片上發(fā)生了干涉。電子顯微鏡下鱗片結(jié)構(gòu)的示意圖見題 12B-2 圖。一束光以入射角 i 從 a 點(diǎn)入射，經(jīng)過折射和反射后從 b 點(diǎn)出射。設(shè)鱗片的折射率為 n，厚度為 d，兩片之間空氣層厚度為 h。取光在空氣中的速度為 c，求光從 a 到 b 所需的時(shí)間 t ?！敬鸢浮?2n d 2h2 2c n sin ic cosi【考點(diǎn)定位】本題主要考查了折射定律的應(yīng)用問題，屬于中檔偏低題。14【2014· 山東卷】如圖所示，三角形 ABC為某透明介質(zhì)的橫截面， O為 B C邊的中點(diǎn)，位于截面所在平面內(nèi)的一束光線自 O以角度 i 入射，第一次到達(dá) AB邊恰好發(fā)生全反射。已知015 ，BC邊長為 2L，該介質(zhì)的折射率為 2 。求：（i ）入射角 i11（ii ）從入射到發(fā)生第一次全反射所用的時(shí)間 （設(shè)光在真空中的速度為 c，可能用到：0 6 2sin 754或0tan15 2 3 ）?！敬鸢浮浚?i ）045 ；（ii ）6 22cL【解析】（ i ）根據(jù)全反射規(guī)律可知，光線在 AB面上 P點(diǎn)的入射角等于臨界角 C，由折射定律得聯(lián)立式代入數(shù)據(jù)得0i 45 【考點(diǎn)定位】光的折射，正弦定律15【2014· 新課標(biāo)全國卷】一個(gè)半圓形玻璃磚，某橫截面半徑為 R的半圓， A B為半圓的直徑。 O為圓心，如圖所示，玻璃的折射率為 n 2 .（i ）一束平行光垂直射向玻璃磚的下表面，若光線到達(dá)上表面后，都能從該表面射出，則入射光束在AB上的最大寬度為多少？（ii ）一細(xì)束光線在 O點(diǎn)左側(cè)與 O相距32R處垂直于 AB從下方入射，求此光線從玻璃磚射出點(diǎn)的位置。【答案】（ i ）d 2R（ii ）右側(cè)與 O相距 32R【解析】（ i ）光線垂直 AB面入射后傳播方向不變，在圓弧面發(fā)生折射，射入射角為 ，如圖（ 1）所示出射時(shí)發(fā)生全反射的臨界角sin1n，即可得 45根據(jù)對(duì)稱性可得入射光的寬度 d 2R sin 45 2R13【考點(diǎn)定位】光的折射全反射。16【2014· 海南卷】如圖，矩形 ABCD為一水平放置的玻璃磚的截面，在截面所在平面內(nèi)有一細(xì)束激光照射玻璃磚，入射點(diǎn)距底面的高度為 h，反射光線和折射光線的底面所在平面的交點(diǎn)到 AB的距離分別為l 1 和 l 2。在截面所在平面內(nèi)，改變激光束在 AB面上入射點(diǎn)的高度和入射角的大小，當(dāng)折射光線與底面的交點(diǎn)到 A B的距離為 l 3 時(shí)，光線恰好不能從底面射出。求此時(shí)入射點(diǎn)距底面的高度 H。【答案】H2 2l l2 1 l32 2l h1【解析】設(shè)玻璃磚的折射率為 n，入射角和反射角為1，折射角為 2 ，由光的折射定律nsinsin12根據(jù)幾何關(guān)系，有sin12l1h2hsin2l 22h2h聯(lián)立以上各式得n2l22l12h2h考點(diǎn)：光的折射17【2015· 海南· 16（ 2）】一半徑為 R的半圓形玻璃磚，橫截面如圖所示。已知玻璃的全反射臨界角 r（r < r ）角度、且與玻璃磚橫截面平行的平行光射到玻璃磚的半圓柱）。與玻璃磚的底平面成（3 2面上。經(jīng)柱面折射后，有部分光（包括與柱面相切的入射光）能直接從玻璃磚底面射出。若忽略經(jīng)半圓柱內(nèi)表面反射后射出的光，求底面透光部分的寬度?！敬鸢浮縧R2cos【解析】在半圓柱形玻璃磚橫截面內(nèi)，考慮沿半徑方向射到圓心 O的光線 1（如圖），它在圓心處的入射角 1 ，為 1 恰好等于全反射臨界角，發(fā)生全反射在光線 1 左側(cè)的光線，（例如光線 2，），經(jīng)過柱面折射后，射在玻璃磚底面上的入射角 2 滿足152 【考點(diǎn)定位】光的折射全反射18【2011· 山東卷】如圖所示，扇形 AOB為透明柱狀介質(zhì)的橫截面，圓心角 AOB=6°0 。一束平行于角平分線 O M的單色光由 OA射入介質(zhì)，經(jīng) OA折射的光線恰平行于 OB。（1）求介質(zhì)的折射率。（2）折射光線中恰好射到 M點(diǎn)的光線 _（填“能”或“不能”）發(fā)生全反射?！敬鸢浮浚?1）n= 3 （2）不能【解析】（ 1）由幾何知識(shí)可知，入射角 i =60° ，折射角 r =30°根據(jù)折射定律得： n=sin i /sin r ，代入數(shù)據(jù)解得 n= 3 。（2）由圖中幾何關(guān)系可知，折射光線中恰好射到 M點(diǎn)的光線，在 M點(diǎn)的入射角仍為 30° ，小于臨界角arcsin （ 3 /3 ），不能發(fā)生全反射。【考點(diǎn)定位】光的折射，全反射19【 2017· 江蘇卷】人的眼球可簡化為如圖所示的模型，折射率相同、半徑不同的兩個(gè)球體共軸，平行光束寬度為 D，對(duì)稱地沿軸線方向射入半徑為 R的小球， 會(huì)聚在軸線上的 P點(diǎn)取球體的折射率為 2 ，且 D= 2 R，求光線的會(huì)聚角 （示意圖未按比例畫出）【答案】30°17【考點(diǎn)定位】光的折射、反射【名師點(diǎn)睛】幾何光學(xué)的問題，畫出光路圖，剩下的就是平面幾何，找邊角關(guān)系20【 2017· 新課標(biāo)卷】（ 10 分）如圖，一玻璃工件的上半部是半徑為 R 的半球體， O點(diǎn)為球心；下半部是半徑為 R、高位 2R的圓柱體， 圓柱體底面鍍有反射膜。 有一平行于中心軸 O C的光線從半球面射入，該光線與 OC之間的距離為 0.6 R。已知最后從半球面射出的光線恰好與入射光線平行 （不考慮多次反射） 。求該玻璃的折射率?！敬鸢浮?n 2.05 1.43【考點(diǎn)定位】光的折射【名師點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵條件是出射光線與入射光線平行，依據(jù)這個(gè)畫出光路圖，剩下就是平面幾何的運(yùn)算了。21【 2017· 新課標(biāo)卷】（ 10 分）一直桶狀容器的高為 2l ，底面是邊長為 l 的正方形；容器內(nèi)裝滿某種透明液體，過容器中心軸 D D、垂直于左右兩側(cè)面的剖面圖如圖所示。容器右側(cè)內(nèi)壁涂有反光材料，其他內(nèi)壁涂有吸光材料。在剖面的左下角處有一點(diǎn)光源，已知由液體上表面的 D 點(diǎn)射出的兩束光線相互垂直，求該液體的折射率。【答案】 1.55【解析】設(shè)從光源發(fā)出直射到 D點(diǎn)的光線的入射角為 i 1，折射角為 r 1，在剖面內(nèi)做光源相對(duì)于反光壁的鏡像對(duì)稱點(diǎn) C，連接 C D，交反光壁于 E點(diǎn)，由光源射向 E點(diǎn)的光線，反射后沿 ED射向 D點(diǎn)；光線在 D點(diǎn)的入射角為 i 2，折射角為 r 2，如圖所示；19聯(lián)立解得： n=1.55【考點(diǎn)定位】光的折射及反射定律【名師點(diǎn)睛】此題主要考查光的折射定律的應(yīng)用；解題的關(guān)鍵是能畫出光路圖，通過幾何關(guān)系找到入射角及折射角；根據(jù)折射定律nsinsinir列方程求解。此題同時(shí)考查學(xué)生的數(shù)學(xué)計(jì)算能力。22【 2017· 新課標(biāo)卷】（ 10 分）如圖，一半徑為 R的玻璃半球， O點(diǎn)是半球的球心，虛線 OO表示光軸（過球心 O與半球底面垂直的直線）。已知玻璃的折射率為 1.5 ?，F(xiàn)有一束平行光垂直入射到半球的底面上，有些光線能從球面射出（不考慮被半球的內(nèi)表面反射后的光線）。求（i ）從球面射出的光線對(duì)應(yīng)的入射光線到光軸距離的最大值；（ii ）距光軸R3的入射光線經(jīng)球面折射后與光軸的交點(diǎn)到 O點(diǎn)的距離。【答案】（ i ）23R （ii ）3(2 2 3)5R2.74R（ii ）設(shè)與光軸距R3的光線在球面 B點(diǎn)折射時(shí)的入射角和折射角分別為 i 1 和 r 1，由折射定律有n sin i sin r 1 1【考點(diǎn)定位】光的折射、全反射【名師點(diǎn)睛】本題主要考查光的折射定律的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出光路圖，根據(jù)幾何知識(shí)確定入射角與折射角，然后列方程求解。21