12 掌握探究與圓錐曲線相關(guān)的最值問題、定點(diǎn)與定值問題、參變數(shù)取值范圍問題的基本思想與方法，培養(yǎng)并提升運(yùn)算能力和思維能力.31.已知R,則不論取何值，曲線C：x2-x-y+1=0恒過定點(diǎn)( )DA.(0,1) B.(-1,1)C.(1,0) D.(1,1) 由x2-x-y+1=0,得(x2-y)-(x-1)=0. x2-y=0 x=1 x-1=0 y=1,可知不論取何值,曲線C過定點(diǎn)(1,1).依題設(shè),即解析423,22 A 3,3 B2,21 C (1) D0,022. AFyxPPAPFP 若點(diǎn) 的坐標(biāo)為， 為拋物線的焦點(diǎn)， 點(diǎn) 在拋物線上移動(dòng)，為使取最小值， 點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，B解析.2,2PFPlPQAPQPAPFP 如圖，根據(jù)拋物線的定義可知等于點(diǎn) 到準(zhǔn)線 的距離則當(dāng) 、 、三點(diǎn)共線時(shí)最小，此時(shí)，可求得5212350 102 10 A. B.5557 5 C. 3. D.5 5 yxxy 拋物線與直線的最近距離 為 B解析222()12|35|112350( 1)4101042 10.5101Byyyyxyd代數(shù)法拋物線上的點(diǎn)，到直線的距離 ， 方故選法 ：622235030440161601.310.350310|51|2 10.5321xyxytyytttxyxyxy 幾何法設(shè)與平行的拋物線的切線方程為，代入拋物線方程得，所以從而切線方程為直線與之間的距離即為所求最近距離， 方為法 ：74.雙曲線x2-y2=4上一點(diǎn)P(x0,y0)在雙曲線的一條漸近線上的射影為Q，已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則POQ的面積為定值 .1 如圖,雙曲線x2-y2=4的兩條漸近線為y=x,即xy=0.又|PQ|= ,|PR|= ，所以SPOQ= |PQ|PR|= =1.00|2xy00|2xy122200|4xy解析81.基本概念在圓錐曲線中，還有一類曲線系方程，對(duì)其參數(shù)取不同值時(shí)，曲線本身的性質(zhì)不變；或形態(tài)發(fā)生某些變化，但其某些固有的共同性質(zhì)始終保持著，這就是我們所指的定值問題.而當(dāng)某參數(shù)取不同值時(shí)，某幾何量達(dá)到最大或最小，這就是我們指的最值問題.曲線遵循某種條件時(shí)，參數(shù)有相應(yīng)的允許取值范圍，即我們指的參變數(shù)取值范圍問題.92.基本求法解析幾何中的最值和定值問題是以圓錐曲線與直線為載體，以函數(shù)、不等式、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)為背景，綜合解決實(shí)際問題，其常用方法有兩種：(1)代數(shù)法：引入?yún)⒆兞?，通過圓錐曲線的性質(zhì)，及曲線與曲線的交點(diǎn)理論、韋達(dá)定理、方程思想等，用變量表示(計(jì)算)最值與定值問題，再用函數(shù)思想、不等式方法得到最值、定值；10(2)幾何法：若問題的條件和結(jié)論能明顯的體現(xiàn)幾何特征，利用圖形性質(zhì)來解決最值與定值問題.在圓錐曲線中經(jīng)常遇到求范圍問題，這類問題在題目中往往沒有給出不等關(guān)系，需要我們?nèi)ふ?對(duì)于圓錐曲線的參數(shù)的取值范圍問題,解法通常有兩種:當(dāng)題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義時(shí),11 可考慮利用數(shù)形結(jié)合法求解或構(gòu)造參數(shù)滿足的不等式（如雙曲線的范圍，直線與圓錐曲線相交時(shí)0等），通過解不等式（組）求得參數(shù)的取值范圍；當(dāng)題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系時(shí)，則可先建立目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的值域.12PA BA PB AB 題型一 定點(diǎn)、定值問題 已知A(1,0),B(-1,0),P是平面上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足| | |= . (1)求點(diǎn)P的軌跡C的方程； (2)已知點(diǎn)M(m,2)在曲線C上，過點(diǎn)M作直線l1、l2與C交于D、E兩點(diǎn)，且 l1、l2的斜率k1、k2滿足k1k2=2,求證：直線DE過定點(diǎn)，并求此定點(diǎn).例113PA BA PB AB PA BA PB AB 22(1)xy214y224y122211221144yyyy (1)設(shè)P(x,y),則 =（1-x,-y), =(-1-x,-y), =(-2,0), =(2,0).因?yàn)閨 | |= ，所以 2=2(x+1),即y2=4x,所以點(diǎn)P的軌跡C的方程為y2=4x .(2)證明:由(1)知M(1,2),設(shè)D( ,y1),E( ,y2),所以k1k2= =2,整理得(y1+2)(y2+2)=8. 解析14kDE= = =k,所以y1+y2= . 由知y1y2=4- ,所以直線DE的方程為y-y1= (x- ),整理得4x-(y1+y2)y+y1y2=0,即4x- y+4- =0,即(x+1)k-(y+2)=0,所以直線DE過定點(diǎn)(-1,-2).4k12221244yyyy124yy8k124yy214y4k8k15 與圓錐曲線有關(guān)的定點(diǎn)問題的探求一般途徑是恰當(dāng)引入?yún)⒆兞?，將題設(shè)轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系式，然后通過分析參變量取符合題設(shè)條件的任何一個(gè)值時(shí)，坐標(biāo)關(guān)系式恒成立的條件，而獲得定點(diǎn)坐標(biāo).評(píng)析16 如圖，F(xiàn)1(-3,0),F2(3,0)是雙曲線C的兩焦點(diǎn),其一條漸近線方程為y= x,A1、A2是雙曲線C的兩個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線C右支上異于A2的一 動(dòng)點(diǎn)，直線A1P,A2P交直線 x= 分別于M、N兩點(diǎn). (1)求雙曲線C的方程； (2)求證： 是定值.524312FM F N 素材117ba522245xy1AP2A P 1AM1032A N23 (1)由已知，c=3, = .又c2=a2+b2，所以a=2,b=5.所求雙曲線C的方程為 =1.(2)證明：設(shè)P的坐標(biāo)為(x0,y0),M、N的縱坐標(biāo)分別為y1、y2,因?yàn)锳1(-2,0),A2(2,0),所以 =(x0+2,y0), =(x0-2,y0), =( ，y1), =(- ,y2).解析18因?yàn)?與 共線，所以(x0+2)y1= y0,y1= .同理y2=- .因?yàn)?=( ,y1), =(- ,y2),所以 =- +y1y2=- -=- - =-10，為定值.1AP1AM10300103(2)yx 0023(2)yx 1FM1332F N 531FM2F N 6596592020209(4)yx 65920205(4)2049(4)xx1924x12PF PF 設(shè)F1、F2分別是橢圓 +y2=1的左、右焦點(diǎn). (1)若P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求 的最大值與最小值； (2)設(shè)過定點(diǎn)M(0,2)的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B，且AOB為銳角（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l的斜率k的取值范圍.例2題型二 最值與范圍問題20 (1)由方程易知a=2,b=1,c= ，所以F1(- ,0),F2( ,0).設(shè)P(x,y),則 =(- -x,-y)( -x,-y)=x2+y2-3=x2+1- -3 = (3x2-8).因?yàn)閤-2,2，所以0 x2，故3324x12PF PF 331412PFPF 解析3 2,1. 21(2)顯然直線x=0不滿足題設(shè)條件，可設(shè)直線l:y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2). y=kx+2 +y2=1,消去y,整理得(k2+ )x2+4kx+3=0.所以x1+x2= ,x1x2= .由=(4k)2-4(k2+ )3=4k2-30,解得k 或k- . 聯(lián)立方程組24x142414kk 2314k 14323222又0AOB0,得 0, 所以 =x1x2+y1y20.又y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4 = + +4= .所以 + 0,即k24. 結(jié)合、知,k的取值范圍是(-2,- )( ,2).OA OB OA OB 22314kk 22814kk22114kk2314k 22114kk323223 圓錐曲線中求最值與范圍問題是高考題中的?？紗栴}，解決此類問題，一般有兩個(gè)思路：（1）構(gòu)造關(guān)于所求量的不等式，通過解不等式來獲得問題的解（如本題第（2）問）；（2）構(gòu)造關(guān)于所求量的函數(shù)，通過求函數(shù)的值域來獲得問題的解（如本題第（1）問）.在解題的過程中，一定要深刻挖掘題目中的隱含條件，如判別式大于零等.評(píng)析2422121212yFFxABFABF 已知 、為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是過焦點(diǎn) 的一條動(dòng)弦，求面積的最大值素材2解析1212222222 |2.1.2222102122ABABF FFFABykxxykxkxkxxxxkk 由題意，設(shè)上焦點(diǎn)為 ，下焦點(diǎn)為設(shè)直線的方程為代入橢圓方程，得，則，2522221222222281211|2 2221 21111 2 22.21110. 2ABABkxxkkS ABFF FS AxxkkBFkkkk 所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)有最大值為，26題型三 圓錐曲線綜合問題例3 2222221010OP0()11323122xyabxyabPQOQOabe 若橢圓與直線相交于 、 兩點(diǎn)，且為坐標(biāo)原點(diǎn)求證：等于定值；若橢圓離心率，時(shí)，求橢圓長軸長的取值范圍27解析 22222222222222222211221222212122222 10 210. 01001.()()21. 1b xa ya bxyabxa xaba babababP xyQ xyxxaabxxx xabab 證明：由 由 ， 因?yàn)?，所以 設(shè)，則 ， 是的兩根， 所以，12121212222222 00210 1122OP OQx xy yx xxxaba bab 由得， 即， 將代入得，所以，為定值28 222222222221222121122 12 1325632222 526aba beaeeaeeeaa 由得， 所以， 又，所以， 長軸， 評(píng)析 本題綜合考查直線與橢圓的位置關(guān)系及定值問題和取值范圍問題考查運(yùn)算能力、思維能力及綜合分析問題的能力29 拋物線有光學(xué)性質(zhì)，由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線折射后，沿平行于拋物線的對(duì)稱軸的方向射出.今有拋物線y2=2px(p0),一光源在點(diǎn)M( ,4)處， 由其發(fā)出的光線沿平行于拋 物線的對(duì)稱軸的方向射向拋 物線上的點(diǎn)P,折射后又射向 拋物線上的點(diǎn)Q，41430 再折射后，又沿平行于拋物線的對(duì)稱軸的方向射出，途中遇到直線l:2x-4y-17=0上的點(diǎn)N，再折射后又射回點(diǎn)M. (1)設(shè)P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1)、(x2,y2),證明：y1y2=-p2; (2)求拋物線的方程； (3)試判斷在拋物線上是否存在一點(diǎn),使該點(diǎn)與點(diǎn)M關(guān)于PN所在的直線對(duì)稱?若存在,請(qǐng)求出此點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.312p1k2p2p2pk2p解析 (1)證明:由拋物線的光學(xué)性質(zhì)及題意知，光線PQ必過拋物線的焦點(diǎn)F( ,0),設(shè)直線PQ的方程為y=k(x- ). 由式得x= y+ ,將其代入拋物線的方程y2=2px中,整理得y2- y-p2=0,由韋達(dá)定理得y1y2=-p2.當(dāng)直線PQ的傾斜角為90時(shí)，將x= 代入拋物線方程得y=p,同樣得到y(tǒng)1y2=-p2.32(2)設(shè)光線QN經(jīng)直線l反射后又射向M點(diǎn)，所以直線MN與直線QN關(guān)于直線l對(duì)稱.設(shè)點(diǎn)M（ ，4）關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為M(x,y), =-1 x= -17=0 y=-1.514414則414124yx41442422xy ,解得33直線QN的方程為y=-1,Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y2=-1.由題設(shè)P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y1=4,由(1)知y1y2=-p2,則4(-1)=-p2得p=2,故所求拋物線的方程為y2=4x.(3)將y=4代入y2=4x得x=4，故P點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，4）.將y=-1代入直線l的方程2x-4y-17=0,得x= ，故N點(diǎn)的坐標(biāo)為( ,-1).由P、N兩點(diǎn)坐標(biāo)得直線PN的方程為2x+y-12=0.13213234設(shè)M點(diǎn)關(guān)于直線NP的對(duì)稱點(diǎn)M1(x1,y1), (-2)=-1 x1= -12=0 y1=-1,即M1( ,-1)的坐標(biāo)是拋物線方程y2=4x的解，故拋物線上存在一點(diǎn)（ ，-1）與點(diǎn)M關(guān)于直線PN對(duì)稱.114414yx則114144222xy,解得14141435本題是一道與物理中的光學(xué)知識(shí)相結(jié)合的綜合性題目，考查了學(xué)生理解問題、分析問題、解決問題的能力對(duì)稱問題是直線方程的一個(gè)重要應(yīng)用對(duì)稱問題常有：點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，直線關(guān)于直線對(duì)稱、圓錐曲線關(guān)于直線對(duì)稱，圓錐曲線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱問題，但解題方法評(píng)析：是一樣的361.若探究直線或曲線過定點(diǎn)，則直線或曲線的表示一定含有參變數(shù)，即直線系或曲線系，可將其方程變式為f(x,y)+g(x,y)=0(其中為參變數(shù))，由 f(x,y)=0 g(x,y)=0確定定點(diǎn)坐標(biāo).372.在幾何問題中，有些幾何量與參變數(shù)無關(guān)，即定值問題，這類問題求解策略是通過應(yīng)用賦值法找到定值，然后將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式的推導(dǎo)、論證定值符合一般情形.3.解析幾何中的最值問題，或數(shù)形結(jié)合，利用幾何性質(zhì)求得最值，或依題設(shè)條件列出所求最值關(guān)于某個(gè)變量的目標(biāo)函數(shù)，然后應(yīng)用代數(shù)方法求得最值.382211,12yxPLABPAB 已知雙曲線，過能否作一條直線 與雙曲線交于 、 兩點(diǎn)，且 為中點(diǎn)錯(cuò)解222221221221112 221120.21 ,221 22.2221PxPyk xyxkxkk xkkkxxkkkxxkkyx 過點(diǎn) 且與 軸垂直的直線顯然不符合要求設(shè)過點(diǎn) 的直線方程為， 代入并整理得，所以又因?yàn)?，所?解得，故直線方程為，即直線是存在的39錯(cuò)解分析0. 未考慮隱含條件正解0,20k 接以上過程，考慮隱含條件當(dāng)時(shí)代入方程可知，故這樣的直線不存在