1 23 4理解和掌握異面直所成的角、直與平面所成的角、二面角的概念掌握求空角的基本方法及空角向平面角的化技巧培依據(jù)不同情境的構(gòu)造法或向量法算空角的思培生的化化思想和形合思想，提高生的空想象能力線線間間轉(zhuǎn)養(yǎng)問(wèn)題選擇傳統(tǒng)計(jì)間維習(xí)慣養(yǎng)學(xué)轉(zhuǎn)歸數(shù)結(jié)學(xué)間alb60nmanbmn A 30 B 60C 90 D 11. 20 已知二面角的大小為，m, 為異面直線,且 ，則 、 所成的角是121 AaBa2CD.a下列說(shuō)法正確的是若直線 ， 和平面 所成的角相等，則若直線 和 平行，則 ， 和平面 所成的角相等若直線 和 相交，則 ， 和平面 所成的角必不相等若直線 ， 和平面 所成的角不相等，則 與 也可能平行1221211221212llllllllllllllllBB 63A B3321C D33.3若正三棱的面都是直角三角形，面與底面所成二面角的余弦值是錐側(cè)則側(cè)OABCOOAOBOCxyz()1A 1,0,0B 0,1,0C 0,0,1OABOC0,0,1 以正三棱的原，、 、建系略 棱，面的法向量解析：，錐頂點(diǎn)為 為點(diǎn)為軸圖設(shè)側(cè)長(zhǎng)為則側(cè)為B1 1 1ABCn()3 3 3OCcosOCn| OC| |133 31111222333 nn 底面的法向量， ，所以， 為24. 在一二面角的一面有一，它到棱的距離等于到另一面的距離的它到棱的距離等于到另一面的距離的 倍，二面角的度個(gè)銳個(gè)內(nèi)點(diǎn)個(gè)個(gè)則數(shù)為CbDDDEABECE.CEDaABbCED30 .如，作平面 的垂，垂足，作垂直于 ，接 由三垂定理得的平面角 由意 解析知：可圖過(guò)點(diǎn)線為過(guò)連線為題305.如圖，已知AB為平面的一條斜線,B為斜足，AO，O為垂 足 , B C 為 內(nèi) 的 一 條 直線,ABC=60,OBC=45,則斜線AB和平面所成的角為 .4522coscosABCOBC cos60cos45 解析：由斜線和平面所成的角的定義可知,ABO為斜線AB和平面所成的角.又因?yàn)閏osABO= = = ,所以ABO=45.1異面直所成的角兩條線 bOa / /ab / /bab_ab_ababFcos_2_13a 義設(shè)兩條線過(guò)間點(diǎn)線則圍兩線圍設(shè)線為夾為則定：， 是異面直，空任一作直，與 所成的叫做 與 所成的角范：異面直所成的角 的取值范是向量求法：直， 的方向向量， ，其角，有角或直角銳(02，cos=| |a bab2直與平面所成的角線 _.lsin_12_cossin3 auau定：直和平面所成的角，是指直與它在平面的射影所成的角范：直和平面所成角 的取值范是向量求法：直的方向向量，平面的法向量，直與平面所成的角， 與的角，有或義線線這個(gè)內(nèi)圍線圍設(shè)線為為線為夾為則02，| cos |3二面角 _ ._1_ .2_二面角的平面角：一直出的成的形叫做二面角，以二面角的棱上一端，在面分作射射所成的角叫做平面角是角的二面角叫做直二面角二成角的取值范是從條線發(fā)兩個(gè)組圖點(diǎn)為點(diǎn)兩個(gè)內(nèi)別兩條線這兩條線 圍半平面任意垂直于棱的二面角的平面角直0， ( )ABCDAB CD(A)3 二面角的向量求法：若、分是二面角的面與棱 垂直的異面直，二面角大小就是向量與的角如別兩個(gè)內(nèi)線則夾圖ll12( )()(BC) 12nnlnn，分是二面角的面 ，的法向量，向量 與的角或其角的大小是二面角的平面角的大小 如、設(shè)別兩個(gè)則夾補(bǔ)圖例1如圖，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的 底面ABCD為平行四邊形，其中AB= ，BD=BC=1， =2，E為DC的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱DD1上的動(dòng)點(diǎn). (1)求異面直線AD1與BE所 成角的正切值； (2)當(dāng)DF為何值時(shí),EF與BC1 所成的角為90?21AA分析:依異面直線所成角的定義或推理尋找或平行移動(dòng)作出異面直線所成角對(duì)應(yīng)平面角.方法1（1）連接EC1.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD1BC1，則EBC1為異面直線AD1與BE所成的角.又底面ABCD側(cè)面DCC1D1BD=BCE為CD的中點(diǎn) BE側(cè)面DCC1D1 BEEC1.在RtBEC1中，BE= = ，EC1= = ，所以tanEBC1= =3.BECD22BCEC22221CCCE3 221ECEB(2)當(dāng)DF= 時(shí),EF與BC1所成的角為90.由（1）知，BE側(cè)面DCC1D1 BEEF.又DE=EC= ，CC1=AA1=2.當(dāng)DF= 時(shí)，因?yàn)?= = ， = = ，1422DFCE142214241DECC22224所以DEFCC1E，所以DEF+CEC1=90，所以FEC1=90，即FEEC1.又EBBC1=E，所以EF平面BEC1，所以EFBC1,即EF與BC1所成的角等于90.方法2：由BC2+BD2=DC2可知BDBC，分別以BD、BC、BB1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖， 則B(0,0,0),A(1,-1,0),D(1,0,0), D1(1,0,2),C(0,1,0),C1(0,1,2), E( ， ,0).1212(1)因?yàn)?=(0,1,2)， =( ， ,0),所以cos ， = = = ，1AD BE 12121AD BE 122521101010所以sin ， = ,所以tan ， =3，即AD1與BE所成的角的正切值為3.(2)設(shè)F(1,0,q)，則 =( ，- ,q).又 =(0,1,2)，由 = 0- 1+q2=0，得q= ，即DF= 時(shí)，EFBC1.1AD BE 3 1010ADBE EF 12121BC EF 1BC 12121414所以sin ， = ,所以tan ， =3，即AD1與BE所成的角的正切值為3.(2)設(shè)F(1,0,q)，則 =( ，- ,q).又 =(0,1,2)，由 = 0- 1+q2=0，得q= ，即DF= 時(shí)，EFBC1.1212評(píng)析：異面直線所成角的求法有傳統(tǒng)的構(gòu)造法和空間向量法兩種，解題可依據(jù)問(wèn)題情境恰當(dāng)選用. 11111111ABCDA B C DEFADD AABCDGCCGFC EAB 1 如所示，正方體中，、 分是正方形和的中心，是的中、與所成的角分， ，等于素材圖別點(diǎn)設(shè)別為則A.120 B.60C 75 D.90D112.B 2,0,0A 2,2,0G 0,0,1F 1,1,0C0,0,2E 1,2,1BA0,2,0 GF(1,11),CE(1,21)12cos BA,GF,cos BA,C E,33121coscossin33390 . 建立空直角坐系如正方體的棱，所以所以，解析：所以間標(biāo)圖設(shè)長(zhǎng)為則則例2如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E為CD的中點(diǎn)，將ADE沿AE折起，使平面ADE平面ABCE，得到幾何體D-ABCE。 (1)求證：BE平面ADE，并求AB與平面ADE所成的角的大??； (2)求BD與平面CDE所成角的正弦值.題型二 直線和平面所成的角解析：(1)在矩形ABCD中，連接BE，因?yàn)锳B=2AD，E為CD的中點(diǎn)，所以AD=DE，EAB=45，從而EBA=45，故AEEB.過(guò)D作DOAE于O.因?yàn)槠矫鍭DE平面 ABCE，所以DO平面ABCE，所以DOBE.又AEDO=O，所以BE平面ADE.可知AE為AB在平面ADE上的射影，從而B(niǎo)AE為AB與平面ADE所成的角,大小為45.(2)由(1)可知，DO平面ABCE，BEAE，過(guò)O作OFBE，以O(shè)為原點(diǎn)，OA、OF、OD分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則D(0,0, ),E(- ,0,0),B(-2,2 ,0), C(-2 ,2,0).2222設(shè)平面CDE的法向量n=(x,y,z).又 =(2 ,- ,2)， =( ,- ,0)， n =2 x- y+ z=0 z=-x n = x- y=0 y=x.取x=1，得n=(1,1,-1).又 =(- ,2 ,- )，cosn, = = .則BD與平面CDE所成角的正弦值為 .2CD 2CE 22則CD CE 22222，得DB 222DB 1 (2) 1 2 2( 1) (2)32 3 2323 評(píng)析： 本例的求解策略說(shuō)明，若方便獲知直線在平面內(nèi)的射影，則可用傳統(tǒng)的構(gòu)造法求直線與平面所成的角；若找直線在平面內(nèi)的射影較難，則可用向量法求直線和平面所成的角.1111111ABCA B CAABCAB2ABBCBA CC 如，在直三棱柱中， ，求二面角 例3的大小圖本考查二面角的求法，利用向量知解空的能力，考查空想象力與算能力 分析 題識(shí)決間問(wèn)題間運(yùn)題型三 二面角11111111111111A 2,0,0C 0,2,0A2,0,2B0,0,2C0,2,2ACMM 1,1,0BMACBMCCACCCCBMA C CBM1,1,0A C CA B Cn()A C( 2,22) A B2,0, 如，建立空直角坐系，的中，因，所以平面，即是平面的一法向量平面的一法向量是， ， ， 解析：圖間標(biāo)則設(shè)點(diǎn)為則為個(gè)設(shè)個(gè)xyz1110n A B20n A C2220 所以，xxyz111111z101.0,1,1BMBA CC|BM |1cos| cos |=2| BM |.3BA CC.3 nnnn 設(shè)夾為為顯為銳為為令，解得x，y所以法向量 與的角二面角的大小，然角因解得所以二面角的大小 評(píng)析： (1)求二面角的平面角的直接作法是利用三垂線定理，在一個(gè)平面內(nèi)找一點(diǎn)，過(guò)此點(diǎn)作另一個(gè)平面的垂線若題目中有兩個(gè)互相垂直的面，其中一個(gè)為二面角的面時(shí)可用面面垂直的性質(zhì)作垂線 (2)平面與平面所成角的向量公式：設(shè)平面a與平面b的法向量分別為m和n， 則二面角a-l-b與m、n的夾角q相等或互補(bǔ) 111111ABCDA B C DAB2AA4EBCFCC1EFABCD2FDEC2如，在正四棱柱中，的中，的中 求與平面所成的角的余弦值； 求二面角的余材弦值素圖為點(diǎn) 為點(diǎn) D.D 0,0,0A 2,0,0C 0,2,0B 2,2,0E 1,2,0F 0,2,2xyz建立如所示的空直 角坐系，解析：圖間標(biāo)則 EF1,0,2ABCDn0,0,1EF2 5EFncos =5| EF|5EFAB.51CDnn 易得平面的一法向量與 的角，所以與平面所成的角的余弦值 個(gè)為設(shè)夾為則為 EF1,0,2 DF0,2,2DEFDF0EF06(21,1)cosmn|66FDEC.62 ，平面的一法向量，可得，所以 ， ，所以二面角 的余弦值設(shè)個(gè)為則為mmmm nmmn 11111111111ABCDA B C DAA1D CABCD30D ABC45 D BBCC12BDACB方體中，與平面所成的例角，與所成的角。求與平面所成的角的正弦值； 例 求二面角的平面角的正切值長(zhǎng)備 備選題 選題為為求解直與平面所成的角和二面角，一般方法是找到或作出要求的角，再放入三角形 分析：完成算線內(nèi)來(lái)計(jì) 111111 D CABCDD CDD ABCD ADD CD30CD3.D AD451AD1.根據(jù)直與平面所成的角，異面直所成的角的定，可知，與平面所成的角，與所成的角，故由， 得由，得 解析：線線義為為11111111111111111111BC .D CBCC BD BCD BBCC BRt D BCBD1135.15D C3sinD BC.5D BBCC B15.5接因平面，所以與平面所成的角在中，有又，而所以與平面所成的角的正弦值連為為從為 11111111 D -AC-BD -AC-DDACDABCDDEACED E.D DABCDD DAC.DEACACD EDD EAC2考到二面角與二面角互，故可求二面角的平面角的正切值，先作出平面角在底面中，作于 ，接因平面，所以又，故平面，所以，慮應(yīng)補(bǔ)這個(gè)連為111111111D EDD -AC-D3Rt ADCAC DEAD CDDE.23Rt D EDDED D12D D2 3tan D EDDE3D -AC-BDACD2 3D -AC-B.3所以即二面角的平面角在中，得在中，所以。又因二面角與二面角大小互，所以二面角的平面角的正切值為為補(bǔ)為 1角的計(jì)算與度量總要進(jìn)行轉(zhuǎn)化，這體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，主要將空間角轉(zhuǎn)化為平面角或兩向量的夾角 2用向量的數(shù)量積來(lái)求解兩異面直線所成的角，簡(jiǎn)單、易掌握其基本程序是選基底，表示兩直線方向向量，計(jì)算數(shù)量積，若能建立空間直角坐標(biāo)系，則更為方便 3找直線和平面所成的角常用方法是過(guò)線上一點(diǎn)作面的垂線或找線上一點(diǎn)到面的垂 線，或找(作)垂面，將其轉(zhuǎn)化為平面角，或用向量求解，或解直角三角形 二面角的求解方法一般有作垂面法、三垂線定理法、面積射影法、向量法等，特別是對(duì)“無(wú)”棱(圖中沒(méi)有棱)的二面角，應(yīng)先找出棱或借助平面法向量的夾角求解 4若利用向量來(lái)解，各類角都可以轉(zhuǎn)化為向的夾角來(lái)運(yùn)算 (1)求兩異面直線a，b的夾角q，需求出它們的方向向量a，b的夾角，則cosq=|cosa，b|. (2)求直線l與平面a所成的角q.可先求出平面a的法向量n與直線l的方向向量a的角，則sinq=|cosn，a|. (3)求二面角a-l-b的大小q，可先求出兩個(gè)平的法向量 所成的角1212nnnn ， 或 ， 則12nn， ABCDABEF1ABCDABEFMACNBFCMBNa(0a1232)MNaMNMNMNAMNBa 如，正方形、的都是 ，而且平面、互相垂直，在上移，在上移，若求的；何值，的最?。坏淖钚?，求面與面所成的二面角 的余弦值圖邊長(zhǎng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)動(dòng)長(zhǎng)當(dāng) 為時(shí)長(zhǎng)當(dāng)長(zhǎng)時(shí) 2MMGABNGNGa22MG1a.222MNa 21a 2= a22221a1 作，接，解：錯(cuò)過(guò)連則 MNACBFMN22aMN222由正方形及位置系的性，可知、分、的中，有最小值，此，最小值關(guān)對(duì)稱當(dāng)別為點(diǎn)時(shí)時(shí)為 MNHAHBHAHB1 3cosa.3 取的中，接、，即二面角的平面角由余弦定理，得點(diǎn)連則為缺必要的推理程，而且，即便是推理，也是泛泛而，模糊概念，有把理到位之，重算解分析：論證過(guò)談沒(méi)說(shuō) 總計(jì)輕論證錯(cuò) 22MMGABGN.22MGAM sin45( 2a)1aAG22BGNGNa.ABCDABEFMGABEFMGGN.MNMGGN22 =1a 2a 22221 =a2(0a2)212 作，接，在中，由余弦定理，得又因平面平面所以平 面，所以所以 正解： 過(guò)連則為 211MNa22222aMN22MNACBF2MN.22 由知，所以，即、 分移到、的中，的最小，最小值當(dāng)時(shí)別動(dòng)點(diǎn)時(shí)長(zhǎng)為 22MNHAHBH.AMANBMBNAHMNBHMN.6AHBAHBH4661144cos AHB3662434 取的中，接、因，所以，即二面角的平面角又，所以由余弦定理，得點(diǎn)連為為