掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程，能根據(jù)條件用待定系數(shù)法求得圓的方程，并能應(yīng)用圓的方程知識解決簡單的問題C224630 A (46)16 B (23) 4C2,3 4 D (23)161.xyxy圓的圓心和半徑分別是，224140 A B1C0 D12.,4axayaxyaaaaaaaRRR方程表示圓，則 的取值范圍是且且20 41 10C.64 00aaaa R方程表示圓，則，解得析： ，故選，解222210 ABCD3.axyaxayyxyxyxyx 當(dāng) 取不同的實(shí)數(shù)時(shí)，由方程可以得到不同的圓，則這些圓的圓心都在直線上這些圓的圓心都在直線上這些圓的圓心都在直線或上這些圓的圓心不在同一條直線上AA221241 A30 B30C10 D04.3C xyxyxyxyxy 經(jīng)過圓 ：的圓心且斜率為的直線方程為22212010 .5.xyaxayaxya 若圓關(guān)于直線對稱，則實(shí)數(shù) 的值為221()211010213.133aaaaxyaaaaa 由已知，圓心，在直線上，則，解得或而當(dāng)時(shí)，原方程不能表示圓；當(dāng)時(shí)，原方程表示圓解析： 故為所求 22222222222_()(0).0(40)_0.14_024_0(232)12abr rrxyrxyDxEyFDEFrDEFDEDEF圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其中圓心為 ， ，半徑為 特別地，圓心在原點(diǎn)，半徑為 的圓的方程為圓的一般方程為 ，圓心為，半徑注意：當(dāng)時(shí)，表示圓；當(dāng)時(shí)，表示一個(gè)點(diǎn)，；224_0DEF當(dāng)時(shí)，不表示任何圖形22200_.()_3.4xaybrM xy確定圓的方程的方法和步驟點(diǎn)與圓的位置確定圓的方程的主要方法是待定系數(shù)法，大致步驟為：；點(diǎn)和圓的位置關(guān)系有三種：設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，點(diǎn)，點(diǎn)在圓上：；點(diǎn)在圓外：；點(diǎn)在圓內(nèi)： 關(guān)系22222222002222220000()22142 DExaybrDEFabrDEFabrDEFxaybrxaybrxaybr；，；根據(jù)題意，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程；根據(jù)條件列出關(guān)于 ， ， 或 、 、 的方程組；解出 ， ， 或 ， ， ，代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程；【要點(diǎn)指南】1,1(2 -21.)10CABClxyC 已知圓心為 的圓經(jīng)過點(diǎn)和， ，且圓心 在直線 ：上，求圓心為 的圓的標(biāo)例準(zhǔn)方程題型一題型一 求圓的方程求圓的方程要求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，必須找出圓心坐標(biāo)分析：和半徑2222330.3303.3102(1 3)(12)225.5.ABlxyCxyxxyyrCxyA 由已知求得的垂直平分線 的方程為圓心 的坐標(biāo)是方程組的解，解得半徑故所求圓的方程為解析： 充分探究已知條件所涉及的幾何性質(zhì)并靈活運(yùn)用，既能準(zhǔn)確獲知求解思路，又能簡化解評析：答過程 1410(32)21,127,19,210yxlxyPABC 根據(jù)下列條件求圓的方程：圓心在直線上，且與直線：相切于點(diǎn)，；過三點(diǎn)，素材 ： 22(32)10234(14)2 2148.1Pxyyxyxrxy 過切點(diǎn)，且與直線垂直的直線方程為，與聯(lián)立可求得圓心為 ，所以半徑所求圓的方程為解析： 222201 144120249 10071004 .814249250.92095xyxyxyDxEyFDEFDDEFEDEFF 設(shè)圓的一般方程為，則，解得所以所求圓的析方程為解： 2222 410.122.xyxyxyxxy 已知實(shí)數(shù) ， 滿足方程求例的最大值和最小值；求的最大值和最小值題型二題型二 與圓有關(guān)的最值問題與圓有關(guān)的最值問題根據(jù)代數(shù)式的幾何意義，借助于平面幾何知識，數(shù)形結(jié)分析： 合求解 22232,0|20|326.212626.xyyxyxbyyxbbbbyx原方程可化為，表示以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓可看作是直線在 軸上的截距當(dāng)與圓相切時(shí)，縱截距 取得最大值和最小值解析： 最大值為，最小值為此時(shí)，即故的 222222(23)74 3(23)7.2.324xyxy表示圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，由平面幾何知識可知，它在原點(diǎn)與圓心連線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值解析： 最大值為，最小和最小值，又圓心到原點(diǎn)的為距值離為故的22 ybxataxbyxayb與圓有關(guān)的最值問題，常見的有以下幾種類型：形如形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問題；形如形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問題；形如形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離平方的評析：最值問題 2222.3361xyxyyxxy如果實(shí)數(shù) ， 滿足方程，求素材：的最大值與最小值；的最大值與最小值 22(1)336.P xyPC xyykOPykxx設(shè)， ，則 點(diǎn)的軌跡就是已知圓 ：而，則直線的方程為解析：22|33|3332 232|61132 22.OPCykxkkdkkkOPyx由圖可知，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，斜率取得最值因?yàn)辄c(diǎn) 到直線的距離，所以當(dāng)解析：所以 的最大值與最小值，即時(shí)，分別是與直線與圓相切 .|6|.2|62 362 3.6|662 322xybyxbCbbCyxbdbbyxbxyC 設(shè)，則由圖知，當(dāng)直線與圓 相切時(shí)，截距 取最值而圓心 到直線的距離為因?yàn)楫?dāng)，即時(shí)，直線與解析：所以的最大值與最小值分別為圓 相與切，2222222222 (42)4()A. 211B. 214C. 424D.3. 211Pxyxyxyxyxy點(diǎn)，與圓上任一點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是 例題型三題型三 與圓有關(guān)的軌跡問題與圓有關(guān)的軌跡問題2222()()4242222224224211 . A.Q stPQA xysxsxttyyxyxy 設(shè)圓上任一點(diǎn)為， ，的中點(diǎn)為， ，則，解得，將其代入圓的方程，解得，整理得析：故選 求與圓有關(guān)的軌跡問題時(shí)，根據(jù)題設(shè)條件的不同常采用以下做法：直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程幾何法：利用圓與圓的幾何性質(zhì)列方程代入法：找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式等此外還有交軌法、參數(shù)法等不論哪種方法，充分利用圓與圓的幾何性質(zhì)，找出動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)之間的關(guān)系是解題評析：的關(guān)鍵223,.434MNxyOMONMONPP設(shè)定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) 在圓上運(yùn)動(dòng)，以素、為兩邊作平行四邊形，求點(diǎn) 的軌材跡方程0000()()()2 234()22P xyN xyx yOPxyMN如圖所示設(shè)， ，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為， ，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，解析：00002222344.9 1221 28()()33442222(34)345 555(4.)xxPxyPOMxyxyyyN xyxy解析：因此所求點(diǎn) 的軌跡方程為但應(yīng)除去兩因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶蔷€互相平分，故，從而，因?yàn)辄c(diǎn)，在圓上，點(diǎn)，和，點(diǎn) 在所在的直線上時(shí)故 4012| | |4.xOyOxyOOxABPPAPOPBPA PB 在直角坐標(biāo)系中，以 為圓心的圓與直線相切求圓 的方程；圓 與 軸相交于 、 兩點(diǎn)，圓內(nèi)的動(dòng)點(diǎn) 使，成等比數(shù)列，求的取例值范圍題型四題型四 與圓的方程有關(guān)的綜合問題與圓的方程有關(guān)的綜合問題 1,2,12222 143402.1 300.42,02,0()| | |2| 4.OrOxyrOA xB xxxxABxP xPAyyPOPB 依題設(shè)，圓 的半徑 等于原點(diǎn) 到直線的距離，即得圓 的方程為不妨設(shè)，由即得，解析：設(shè)， ，由，成等比數(shù)列，2222222222222222 222.( 2) (2)42124120.,xyxyxyxyPA PBxyxyxyyxyPOyxyPA PB 得，即，由于點(diǎn) 在圓 內(nèi)，故，由此得所以的取值范圍為解析： 本例是直線與圓的位置關(guān)系、等比數(shù)列、向量的數(shù)量積的綜合問題，問題分析求解的關(guān)鍵是運(yùn)用轉(zhuǎn)化化歸思想，即將題設(shè)和目標(biāo)轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系式，通過變式運(yùn)算實(shí)現(xiàn)問題評析：的解決 2 ()(0)12244.C ttttxOAyOBOAOByxCMNOMONC R已知以點(diǎn)，為圓心的圓與 軸交于點(diǎn) 、 ，與 軸交于點(diǎn) 、 ，其中 為原點(diǎn)求證：的面積為定值；設(shè)直線與圓 交于點(diǎn)、 ，若，求圓素材的方程 22222221212424().400002 .42 ,0(0)1142| 4(21)2AOBCOCttCxtytttxyytyxxtAtBtSOAOABOBtt證明：因?yàn)檫^原點(diǎn)，所以解，所以設(shè)圓 的方程為令，得，；令，得，所以， ，故析：即的面積為定值 為定值 .12212122.2222,1512452425MNOCOMONCMCNOCMNkkOCyxtttttCOCCyxdCyx 因?yàn)?，所以垂直平分線段因?yàn)?，所以，所以直線的方程是，所以，解得或當(dāng)時(shí)，圓心 的坐標(biāo)為，點(diǎn) 到直線的距離，此時(shí)，圓 與直線相解析：交于兩點(diǎn)；222( 21)92452215.54tCyxdCyxCxy 當(dāng)時(shí)，圓心，到直線的距離，此時(shí)，圓 與直線不相交，故解析：所以所求圓方舍的去程為2ABABaMABlM已知 、 為兩個(gè)定點(diǎn)，且，動(dòng)點(diǎn)到 與到 的距離之比為常數(shù) ，求點(diǎn)的軌跡方程，并說明軌跡是什備選例題么曲線ABxABy以直線為 軸，線段的垂直平分線為 軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如解析：圖所示22222222222222222,0,0()|2|(1)(1)2 (1)(1)0.10211011(0)12|1AaB aM xyMAxayxayMBxyaxaxyaxyxaaa 解析：當(dāng)時(shí)，軌跡方程為，它表示的軌跡是直線，即 軸；當(dāng)時(shí)，軌跡方程則，設(shè)， ，因?yàn)?，為，它表示的軌跡是以，為圓心，所以，化簡得2|為半徑的圓1求一個(gè)圓的方程需要三個(gè)獨(dú)立條件，待定系數(shù)法是求圓的方程的基本方法，應(yīng)熟練掌握若由已知條件易求圓心坐標(biāo)、半徑或需要由圓心坐標(biāo)列方程，常選用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；若所求圓與圓心、半徑關(guān)系不密切，或更突出方程的二次形式，常選用求圓的方程圓的一問題般方程23關(guān)于軌跡問題，應(yīng)注意建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，然后根據(jù)條件，選擇適當(dāng)?shù)姆椒?，如坐?biāo)法，定義法等，求得軌跡方程處理與圓有關(guān)的問題，要注意圓心、半徑及平面幾何知識的運(yùn)用，如弦心距、半徑、弦長的一半構(gòu)成的直角三角形在解題中的應(yīng)用，利用圓與圓有關(guān)的軌跡方程與圓有關(guān)的幾何的幾何量之間的關(guān)系解題，往往能使問量的應(yīng)用題簡化3,203,5ABC已知一個(gè)等腰三角形的頂點(diǎn)，一底角頂點(diǎn)，求另一底角頂點(diǎn) 的軌跡方程22222222()32033205320225.320225.CxyABACxyxyCxy 設(shè)點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ， ，則由，得，化簡得因此頂點(diǎn) 的軌跡方解為：程錯(cuò) CABCBABC本題忽略了題設(shè)中“等腰三角形”這一條件，即 無論如何運(yùn)動(dòng)， ， ， 三點(diǎn)始終不能共線或重合故所求軌跡方程中應(yīng)去掉錯(cuò)解與 重合及 ， ， 三點(diǎn)共線這分析：兩種情況22222222()320332053202320225(53.)2CxyABACxyxyxCxy 設(shè)點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ， ，則由，得，化簡得因此頂點(diǎn) 的軌跡為正方程解：