1 1一、填空題1若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn(1)n(2n24n1)1(nN*)，且anbn(1)n，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，則T10等于_解析：由Sn(1)n(2n24n1)1可求得an(1)n·4n(n1)，所以bn，于是T10(1).答案：2數(shù)列an滿足anan1(nN*)，a1，Sn是an的前n項(xiàng)和，則S2 014_.解析：由題意得數(shù)列an的各項(xiàng)為，1，1，以2為周期的周期數(shù)列，所以S2 014×1 007.答案：3在數(shù)列an中，若對任意的n均有a nan1an2為定值(nN*)，且a72，a93，a984，則此數(shù)列an的前100項(xiàng)的和S100_.解析：由題設(shè)得anan1an2an1an2an3，anan3，a3k12(kN)，a3k24(kN)，a3k3(kN*)，S10034×233×433×3299.答案：2994已知等比數(shù)列an中，a13，a481，若數(shù)列bn滿足bnlog3an，則數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn_.解析：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則q327，解得q3.所以ana1qn13×3n13n，故bnlog3ann，所以.則數(shù)列的前n項(xiàng)和為11.答案：5若數(shù)列an是正項(xiàng)數(shù)列，且n23n(nN*)，則_.解析：令n1得4，即a116，當(dāng)n2時(shí)，(n23n)(n1)23(n1)2n2，所以an4(n1)2，當(dāng)n1時(shí)，也適合，所以an4(n1)2(nN*)于是4(n1)，故2n26n.答案：2n26n6設(shè)a1，a2，a50是從1,0,1這三個(gè)整數(shù)中取值的數(shù)列，若a1a2a509且(a11)2(a21)2(a501)2107，則a1，a2，a50當(dāng)中取零的項(xiàng)共有_個(gè)解析：(a11)2(a21)2(a501)2aaa2(a1a2a50)50107，aaa39，a1，a2，a50中取零的項(xiàng)應(yīng)為503911個(gè)答案：117設(shè)函數(shù)f(x)xmax的導(dǎo)函數(shù)f(x)2x1，則數(shù)列(nN*)的前n項(xiàng)和是_解析：f(x)mxm1a2x1，a1，m2，f(x)x(x1)，用裂項(xiàng)法求和得Sn.答案：8設(shè)關(guān)于x的不等式x2x<2nx(nN*)的解集中整數(shù)的個(gè)數(shù)為an，數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則S100的值為_解析：由x2x<2nx(nN*)得0<x<2n1，因此an2n，所以數(shù)列an是一個(gè)等差數(shù)列，所以S10010 100.答案：10 1009已知函數(shù)f(n)n2cos n，且anf(n)f(n1)，則a1a2a3a100_.解析：f(n)n2cos n(1)n·n2，由anf(n)f(n1)(1)n·n2(1)n1·(n1)2(1)nn2(n1)2(1)n1·(2n1)，得a1a2a3a1003(5)7(9)199(201)50×(2)100.答案：100二、解答題10已知函數(shù)f(x)2n3n1，點(diǎn)(n，an)在f(x)的圖象上，an的前n項(xiàng)和為Sn.(1)求使an<0的n的最大值；(2)求Sn.解析：(1)依題意an2n3n1，an<0即2n3n1<0.當(dāng)n3時(shí)，23912<0，當(dāng)n4時(shí)，241213>0，2n3n1<0中n的最大值為3.(2)Sna1a2an(2222n)3(123n)n23·n2n12.11已知函數(shù)f(x)ax2bx(a0)的導(dǎo)函數(shù)f(x)2x7，數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn)Pn(n，Sn)(nN*)均在函數(shù)yf(x)的圖象上(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式及Sn的最大值；(2)令bn，其中nN*，求數(shù)列nbn的前n項(xiàng)和解析：(1)f(x)ax2bx(a0)，f(x)2axb，又f(x)2x7，得a1，b7，f(x)x27x.又點(diǎn)Pn(n，Sn)(nN*)均在函數(shù)yf(x)的圖象上，有Snn27n，當(dāng)n1時(shí)，a1S16，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn12n8，an2n8(nN*)令an2n80，得n4，當(dāng)n3或n4時(shí)，Sn取得最大值12.(2)由題意得b18，bn2n4.，即數(shù)列bn是首項(xiàng)為8，公比為的等比數(shù)列，故數(shù)列nbn的前n項(xiàng)和Tn1×232×22n×2n4，Tn1×222×2(n1)×2n4n×2n3，由得：Tn23222n4n×2n3，Tnn·24n32(2n)24n.12已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足S30，S55.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和解析：(1)設(shè)an的公差為d，則Snna1d.由已知可得解得故an的通項(xiàng)公式為an2n.(2)由(1)知()，從而數(shù)列的前n項(xiàng)和為().