精編北師大版數學資料活頁作業(yè)(四)數學歸納法1用數學歸納法證明“2nn21對于nn0的自然數n都成立”時，第一步證明中的起始值n0應取()A2B3C5D6解析：當n取1,2,3,4時2nn21不成立，當n5時，253252126，第一個能使2nn21的n值為5.答案：C2用數學歸納法證明1n(nN，n1)時，第一步應驗證不等式()A12B12C13D13解析：n1且nN，n取的第一個值n02.第一步應驗證：12.答案：B3設Sk，則Sk1為()ASkBSkCSkDSk解析：Sk1SkSk.答案：C4若f(n)1(nN)，則n1時f(n)是()A1BC1D以上答案均不正確解析：f(n)共有2n1項，當n1時有213項，即f(1)1.答案：C5已知f(n)，則()Af(n)中共有n項，當n2時，f(2)Bf(n)中共有n1項，當n2時，f(2)Cf(n)中共有n2n項，當n2時，f(2)Df(n)中共有n2n1項，當n2時，f(2)解析：觀察分母的首項為n，最后一項為n2，公差為1，項數為n2n1.答案：D6用數學歸納法證明等式123(n3)(nN)時，第一步驗證當n1時，左邊應取的項為_解析：當n1時，左邊要從1加到n3，即1234.答案：12347已知每項都大于零的數列an中，首項a11，前n項和Sn滿足SnSn12(n2)，則a81_.解析：SnSn12，S1a11，S29，S325，Sn(2n1)2.利用數學歸納法可證明Sn(2n1)2.a81S81S80640.答案：6408已知f(n)1，nN，用數學歸納法證明f(2n)時，f(2n1)f(2n)_.解析：f(n)有n項，最后一項為，f(2n)有2n項，最后一項為，f(2n1)有2n1項，最后一項為，f(2n1)比f(2n)多出的項為.答案：9設a0，f(x)，令a11，an1f(an)，nN.(1)寫出a2，a3，a4的值，并猜想數列an的通項公式；(2)用數學歸納法證明你的結論(1)解：因為a11，所以a2f(a1)f(1)，a3f(a2)，a4f(a3).猜想an(nN)(2)證明：易知，當n1時，由猜想知正確假設當nk時正確，即ak，則ak1f(ak).這說明，當nk1時也正確由，可知對于任何nN，都有an.10試比較2n2與n2的大小(nN)，并用數學歸納法證明你的結論解：當n1時，212412，當n2時，222622，當n3時，2321032，當n4時，2421842，由此可以猜想，2n2n2(nN)成立用數學歸納法證明如下：(1)當n1時，左邊2124，右邊1，左邊右邊，不等式成立當n2時，左邊2226，右邊224，左邊右邊，不等式成立當n3時，左邊23210，右邊329，左邊右邊，不等式成立(2)假設當nk(k3且kN)時，不等式成立，即2k2k2，那么當nk1時，2k122·2k22(2k2)22k22.要證當nk1時結論成立，只需證2k22(k1)2，即證k22k30，即證(k1)(k3)0.又k10，k30，(k1)(k3)0.當nk1時，結論成立由(1)和(2)，可知nN時，2n2n2.11用數學歸納法證明34n152n1(nN)能被8整除時，當nk1時，對于34(k1)152(k1)1可變形為()A56·34k125(34k152k1)B34·34k152·52kC34k152k1D25(34k152k1)解析：當nk時，34k152k1可被8整除；當nk1時，34(k1)152(k1)134k1·3452k1·5256·34k125(34k152k1)答案：A12平面幾何中，有邊長為a的正三角形內任意一點到三邊距離之和為定值a，類比上述命題棱長為a的正四面體內任一點到四個面的距離之和為()AaBaCaDa解析：利用等體積法，四面體內一點和四個頂點連線將四面體分成四個四面體，這四個四面體體積之和等于大的四面體體積答案：B13用數學歸納法證明135(1)n(2n1)(1)nn時，第二步中nk1時，要證明的式子應為_.解析：當nk1時，左邊135(1)k12(k1)1135(1)k1(2k1)答案：135(1)k1(2k1)(1)k1(k1)14設f(n)n3(n1)3(n2)3(nN)，則用數學歸納法證明f(n)能被9整除的過程中，f(k1)f(k)_.解析：f(k1)(k1)3(k2)3(k3)3(k1)3(k2)3k39k227k27f(k)9k227k27.答案：9k227k2715由下列不等式：1，11,1，12，你能得到一個怎樣的一般不等式？并加以證明解：猜想第n個不等式，即一般不等式為：1(nN)用數學歸納法證明如下：(1)當n1時，1，猜想成立(2)假設當nk時，猜想成立，即1，則當nk1時，1.即當nk1時，猜想也正確，所以對任意的nN，不等式成立16一種計算裝置，有一數據入口A和一個運算出口B，按照某種運算程序：當從A口輸入自然數1時，從B口得到，記為f(1)；當從A口輸入自然數n(n2)時，在B口得到的結果f(n)是前一個結果f(n1)的倍(1)當從A口分別輸入自然數2,3,4時，從B口分別得到什么數？試猜想f(n)的關系式，并證明你的結論；(2)記Sn為數列f(n)的前n項和，當從B口得到16 192 575的倒數時，求此時對應的Sn的值解：(1)由已知得f(n)f(n1)(n2，nN)，當n2時，f(2)×f(1)×，同理可得f(3)，f(4)，猜想f(n).(*)用數學歸納法證明如下：當n1,2,3,4時，由上面的計算結果知(*)成立假設nk(k4，kN)時，(*)成立，即f(k)，那么當nk1時，f(k1)f(k)·，即f(k1)，當nk1時，(*)也成立綜合所述，對所有的nN，f(n)恒成立(2)由(1)可得，n2 012.f(n)，S2 012.