第8課時(shí)正弦定理和余弦定理的應(yīng)用舉例教材回扣夯實(shí)雙基教材回扣夯實(shí)雙基 基礎(chǔ)梳理 1仰角和俯角 在視線和水平線所成的角中，視線在水平線_的角叫仰角，在水平線_的角叫俯角(如圖)上方上方下方下方2方位角：從正方位角：從正_方向順時(shí)針轉(zhuǎn)方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的角到目標(biāo)方向線的角(如圖如圖，B點(diǎn)的方點(diǎn)的方位角為位角為)北北思考探究思考探究1仰角、俯角、方位角有何區(qū)別？仰角、俯角、方位角有何區(qū)別？提示：提示：三者的參照位置不同仰角與三者的參照位置不同仰角與俯角是相對于水平線而言的，而方位俯角是相對于水平線而言的，而方位角是相對于正北方向而言的角是相對于正北方向而言的3方向角：相對于某一正方向的角方向角：相對于某一正方向的角(如圖如圖) (1)北偏東：指從正北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到達(dá)目標(biāo)方向 (2)東北方向：指北偏東45或東偏北45. (3)其他方向角類似 思考感悟 2如何用方位角、方向角確定一點(diǎn)的位置？ 提示：利用方位角或方向角和目標(biāo)與觀測點(diǎn)的距離即可惟一確定一點(diǎn)的位置 4坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)(如圖，角為坡角) 坡比：坡面的鉛直高度與水平長度之比(如圖，i為坡比) 課前熱身 1若點(diǎn)A在點(diǎn)B的北偏西30，則B點(diǎn)在A點(diǎn)的() A北偏西30B北偏西60 C南偏東30 D東偏南30 答案：C 2(2012泉州質(zhì)檢)在某次測量中，在A處測得同一半平面方向的B點(diǎn)的仰角是60，C點(diǎn)的俯角為70，則BAC等于() A10 B50 C120 D130 答案：D 4.我艦在敵島A南偏西 50相距12海里的B 處，發(fā)現(xiàn)敵艦正由島 A沿北偏西10的方向以10海里/小時(shí)的速度航行,我艦要用2小時(shí)追上敵艦,則需要的最小速度為_ 答案：14海里/小時(shí) 5.如圖，為了測量河 的寬度，在一岸邊選 定兩點(diǎn)A、B望對岸 的標(biāo)記物C，測得CAB30，CBA75，AB120 m，這條河的寬度為_ 答案：60 m考點(diǎn)探究講練互動考點(diǎn)探究講練互動測量距離測量距離對于不可抵達(dá)的兩地之間距離的測量問對于不可抵達(dá)的兩地之間距離的測量問題題(如海上、空中兩地測量，隔著某一如海上、空中兩地測量，隔著某一障礙物兩地測量等障礙物兩地測量等)，解決的思路是建，解決的思路是建立三角形模型立三角形模型,轉(zhuǎn)化為解三角形問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題一般根據(jù)題意，從實(shí)際問題中抽象出一般根據(jù)題意，從實(shí)際問題中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形，然后通過解這些一個(gè)或幾個(gè)三角形，然后通過解這些三角形，得到所求的量，從而得到實(shí)三角形，得到所求的量，從而得到實(shí)際問題的解，解題時(shí)應(yīng)認(rèn)真審題，結(jié)際問題的解，解題時(shí)應(yīng)認(rèn)真審題，結(jié)合圖形去選擇定理合圖形去選擇定理 如圖，A、B、C、 D都在同一個(gè)與水平面垂 直的平面內(nèi)，B、D為兩島 上的兩座燈塔的塔頂測 量船于水面A處測得B點(diǎn)和 D點(diǎn)的仰角分別為75、30，于水面C處測得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角均為60，例例1【名師點(diǎn)評名師點(diǎn)評】求距離問題一般要注求距離問題一般要注意：意：(1)基線的選取要準(zhǔn)確恰當(dāng)基線的選取要準(zhǔn)確恰當(dāng)(在測量上，在測量上，我們根據(jù)測量需要適當(dāng)確定的線段叫我們根據(jù)測量需要適當(dāng)確定的線段叫做基線，如例題中的做基線，如例題中的CD)(2)選定或創(chuàng)建的三角形要確定選定或創(chuàng)建的三角形要確定(3)利用正弦定理還是余弦定理要確定利用正弦定理還是余弦定理要確定.測量高度測量高度測量高度問題一般是利用地面上的觀測測量高度問題一般是利用地面上的觀測點(diǎn)，通過測量仰角、俯角等數(shù)據(jù)計(jì)算物點(diǎn)，通過測量仰角、俯角等數(shù)據(jù)計(jì)算物體的高度；這類問題一般用到立體幾何體的高度；這類問題一般用到立體幾何知識，先把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾知識，先把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，再通過解三角形加以解決何問題，再通過解三角形加以解決 如圖,為測量鼓浪嶼鄭成功雕像AB的高度及取景點(diǎn)C與 F之間的距離(B、C、D、F在同一水平面上，雕像垂直該水平面于點(diǎn)B，且B、C、D三點(diǎn)共線)，某校研究性學(xué)習(xí)小組同學(xué)在C、D、F三點(diǎn)處測得頂點(diǎn)A的仰角分別為45、30、30.若FCB 60,CD16(1)米例例2 (1)求雕像AB的高度； (2)求取景點(diǎn)C與F之間的距離 【思路分析】(2)根據(jù)已知條件設(shè)未知數(shù)并逆用余弦定理求解 【失誤點(diǎn)評】例2有三處易錯點(diǎn)：(1)圖形中為空間關(guān)系，極易當(dāng)做平面問題處理，從而致錯；(2)對仰角、俯角等概念理解不夠深入，從而把握不準(zhǔn)已知條件而致錯；(3)第二問不會計(jì)算,要會逆用余弦定理求解參數(shù)問題測量角度測量角度解決有關(guān)海上或空中測量角度的問題解決有關(guān)海上或空中測量角度的問題(如確定目標(biāo)的方位、觀察某一建筑物如確定目標(biāo)的方位、觀察某一建筑物的視角等的視角等)的關(guān)鍵是根據(jù)題意和圖形及的關(guān)鍵是根據(jù)題意和圖形及有關(guān)概念，確定所求的角在哪個(gè)三角形有關(guān)概念，確定所求的角在哪個(gè)三角形中中,該三角形中已知哪些量，需求哪些該三角形中已知哪些量，需求哪些量等量等 (2010高考福建卷節(jié)選)某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上，在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口O北偏西30且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛例例3假設(shè)該小艇沿直線方向以假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里海里/時(shí)的航時(shí)的航行速度勻速行駛行速度勻速行駛,經(jīng)過經(jīng)過t小時(shí)與輪船相遇小時(shí)與輪船相遇.(1)若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小,則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？(2)為保證小艇在為保證小艇在30分鐘內(nèi)分鐘內(nèi)(含含30分鐘分鐘)能與輪船相遇，試確定小艇航行速度的能與輪船相遇，試確定小艇航行速度的最小值最小值 【思路分析】(1)滿足AOC為Rt時(shí)最?。?(2)利用余弦定理構(gòu)造v關(guān)于t的函數(shù)【名師點(diǎn)評名師點(diǎn)評】首先應(yīng)明確方位角的含首先應(yīng)明確方位角的含義，在解應(yīng)用題時(shí)，分析題意，分清已義，在解應(yīng)用題時(shí)，分析題意，分清已知與所求知與所求,再根據(jù)題意正確畫出示意圖再根據(jù)題意正確畫出示意圖,這是最關(guān)鍵、最重要的一步這是最關(guān)鍵、最重要的一步,通過這一通過這一步可將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成可用數(shù)學(xué)方法解步可將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成可用數(shù)學(xué)方法解決的問題，解題時(shí)也要注意體會正、余決的問題，解題時(shí)也要注意體會正、余弦定理弦定理“聯(lián)袂聯(lián)袂”使用的優(yōu)點(diǎn)使用的優(yōu)點(diǎn)互動探究互動探究本例條件不變，問是否存在本例條件不變，問是否存在v，使得小，使得小艇以艇以v海里海里/時(shí)的航行速度行駛時(shí)，總能時(shí)的航行速度行駛時(shí)，總能有兩種不同的航行方向與輪船相遇？若有兩種不同的航行方向與輪船相遇？若存在，試確定存在，試確定v的取值范圍；若不存在的取值范圍；若不存在,請說明理由請說明理由 方法技巧 解三角形的一般步驟 (1)分析題意，準(zhǔn)確理解題意 分清已知與所求，尤其要理解應(yīng)用題中的有關(guān)名詞、術(shù)語，如坡角、仰角、俯角、方位角等 (2)根據(jù)題意畫出示意圖 (3)將需求解的問題歸結(jié)到一個(gè)或幾個(gè)三角形中,通過合理運(yùn)用正弦定理、余弦定理等有關(guān)知識正確求解.演算過程中,要求算法簡練，計(jì)算正確，并作答 (4)檢驗(yàn)解出的答案是否具有實(shí)際意義,對解進(jìn)行取舍 失誤防范 在解實(shí)際問題時(shí)，需注意的兩個(gè)問題 (1)要注意仰角、俯角、方位角等名詞,并能準(zhǔn)確地找出這些角； (2)要注意將平面幾何中的性質(zhì)、定理與正、余弦定理結(jié)合起來，發(fā)現(xiàn)題目中的隱含條件，才能順利解決考向瞭望把脈高考考向瞭望把脈高考 命題預(yù)測 從近幾年的高考試題來看，利用正弦定理、余弦定理解決與測量、幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題是高考的熱點(diǎn)，一般以解答題的形式考查,主要考查計(jì)算能力和分析問題、解決實(shí)際問題的能力,常與解三 角形的知識及三角恒等變換綜合考查 預(yù)測2013年福建高考仍將以利用正弦、余弦定理，解決與測量、幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題為主要考點(diǎn)，尤其關(guān)注知識交匯處題型訓(xùn)練，重點(diǎn)考查應(yīng)用所學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力 典例透析例例 【名師點(diǎn)評】本題考查了利用正、余弦定理解實(shí)際應(yīng)用題，難度較小，但考生做得極不理想，其原因是平時(shí)做的這一類題太少考生失分點(diǎn)是：一是對方位角的概念不清，二是BD的長度計(jì)算出錯，三是不能利用ABD求BD.