第四十三講第四十三講 空間中的垂直關(guān)系空間中的垂直關(guān)系走進(jìn)高考第一關(guān)走進(jìn)高考第一關(guān) 考點(diǎn)關(guān)考點(diǎn)關(guān)回回 歸歸 教教 材材1.直線與平面垂直直線與平面垂直(1)定義定義:如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線都垂直如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線都垂直,那么稱這條直線和這個(gè)平面垂直那么稱這條直線和這個(gè)平面垂直.記作記作L,直線直線L叫做平面叫做平面的垂線的垂線,平面平面叫做直線叫做直線L的垂面的垂面,直線與平面垂直時(shí)直線與平面垂直時(shí),它們唯一的公共點(diǎn)它們唯一的公共點(diǎn)P叫做垂足叫做垂足.(2)判定定理判定定理:如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,那么該直那么該直線與此平面垂直線與此平面垂直.符號(hào)表示符號(hào)表示:若直線若直線A 平面平面,直線直線B ,直線直線LA,LB,AB=A,則則L.圖形表示圖形表示:(3)重要的真命題重要的真命題過一點(diǎn)有且只有一條直線與一個(gè)平面垂直；過一點(diǎn)有且只有一條直線與一個(gè)平面垂直；過一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與一條直線垂直過一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與一條直線垂直;如果兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面如果兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面,那么另一條也那么另一條也垂直于這個(gè)平面垂直于這個(gè)平面.2.平面與平面垂直平面與平面垂直(1)定義定義:兩個(gè)平面相交兩個(gè)平面相交,如果它們所成的二面角是直二面角如果它們所成的二面角是直二面角,就就說這兩個(gè)平面互相垂直說這兩個(gè)平面互相垂直,記作記作:.(2)判定定理判定定理:如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線,那么這兩個(gè)平面互那么這兩個(gè)平面互相垂直相垂直.符號(hào)表示符號(hào)表示:若直線若直線AB 平面平面,AB平面平面,則則.如圖所示如圖所示:3.直線與平面垂直的性質(zhì)直線與平面垂直的性質(zhì)(1)由線面垂直的定義可知由線面垂直的定義可知,若直線若直線A,B ,則則AB.(2)性質(zhì)定理性質(zhì)定理:如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面,那么這兩條直那么這兩條直線平行線平行.符號(hào)表示符號(hào)表示:若若AB,A,則則B.4.平面與平面垂直的性質(zhì)定理平面與平面垂直的性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直兩個(gè)平面垂直,則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直垂直.符號(hào)表示符號(hào)表示:,=CD,AB ,ABCD,ABCD=B,則則AB.線線垂直、線面垂直、面面垂直的相互轉(zhuǎn)化線線垂直、線面垂直、面面垂直的相互轉(zhuǎn)化.判定定理判定定理性質(zhì)定理性質(zhì)定理線線垂直線面垂直面面垂直5.直線與平面所成的角直線與平面所成的角.(1)斜線在平面內(nèi)的射影斜線在平面內(nèi)的射影從斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線從斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線,過垂足和斜足的直線過垂足和斜足的直線叫斜線在平面內(nèi)的射影叫斜線在平面內(nèi)的射影.(2)斜線與平面所成的角斜線與平面所成的角平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角,叫做這條直叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角線和這個(gè)平面所成的角.說明說明:(1)一條直線和平面平行或在平面內(nèi)一條直線和平面平行或在平面內(nèi),我們說它們所成的我們說它們所成的角是角是0的角的角.(2)一條直線垂直于平面一條直線垂直于平面,我們說它們所成的角是直角我們說它們所成的角是直角.(3)斜線和平面所成的角的范圍是斜線和平面所成的角的范圍是(0,90).6.二面角二面角從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.這條這條直線叫作二面角的棱直線叫作二面角的棱,這兩個(gè)半平面叫做二面角的面這兩個(gè)半平面叫做二面角的面,以直線以直線AB為棱為棱,半平面半平面、為面的二面角為面的二面角,記作記作AB,也可記也可記作作AB.以二面角的棱上任一點(diǎn)為端點(diǎn)以二面角的棱上任一點(diǎn)為端點(diǎn),在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線棱的兩條射線,這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角,如如圖圖,COD為二面角的平面角為二面角的平面角.說明說明:(1)二面角的平面角二面角的平面角COD的大小與點(diǎn)的大小與點(diǎn)O在在L上的位置無上的位置無關(guān)關(guān).(2)構(gòu)成二面角的平面角的條件構(gòu)成二面角的平面角的條件:二面角的頂點(diǎn)必須在棱二面角的頂點(diǎn)必須在棱上上,角的兩邊必須分別在兩個(gè)半平面內(nèi)角的兩邊必須分別在兩個(gè)半平面內(nèi),角的兩邊必須都角的兩邊必須都與棱垂直與棱垂直,這三個(gè)條件缺一不可這三個(gè)條件缺一不可.(3)一個(gè)二面角的平面角的大小是唯一確定的一個(gè)二面角的平面角的大小是唯一確定的.考考 點(diǎn)點(diǎn) 訓(xùn)訓(xùn) 練練1.(2009山東山東)已知已知,表示兩個(gè)不同的平面表示兩個(gè)不同的平面,M為平面為平面內(nèi)的內(nèi)的一條直線一條直線,則則“ ”是是“M ”的的( )A.充分不必要條件充分不必要條件B.必要不充分條件必要不充分條件C.充要條件充要條件D.既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件解析解析:由平面與平面垂直的判定定理知由平面與平面垂直的判定定理知,如果如果M為平面為平面內(nèi)的一內(nèi)的一條直線條直線,M,則則.反過來則不一定反過來則不一定.所以所以“”是是“M”的必要不充分條件。的必要不充分條件。答案答案:B2.給出下列四個(gè)命題給出下列四個(gè)命題:若直線若直線L平面平面,L平面平面,則則;各側(cè)面都是正方形的棱柱一定是正棱柱各側(cè)面都是正方形的棱柱一定是正棱柱;一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面所在平面分別垂直于另一個(gè)二面一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面所在平面分別垂直于另一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面所在平面角的兩個(gè)半平面所在平面,則這兩個(gè)二面角的平面角相等或互則這兩個(gè)二面角的平面角相等或互為補(bǔ)角為補(bǔ)角;過空間任意一點(diǎn)過空間任意一點(diǎn)P一定可以作一個(gè)和兩條異面直線一定可以作一個(gè)和兩條異面直線(點(diǎn)點(diǎn)P不不在此兩條異面直線上在此兩條異面直線上)都平行的平面都平行的平面.其中不正確的命題的個(gè)數(shù)有其中不正確的命題的個(gè)數(shù)有( )A.1B.2C.3D.4答案答案:D解析解析:命題是錯(cuò)誤的命題是錯(cuò)誤的,由由L平面平面,L平面平面,則則與與可能相可能相交交;命題是錯(cuò)誤的命題是錯(cuò)誤的,各側(cè)面都是正方形各側(cè)面都是正方形,底面是菱形且不為正底面是菱形且不為正方形的棱柱不是正棱柱方形的棱柱不是正棱柱;命題是錯(cuò)誤的命題是錯(cuò)誤的,例如正方體例如正方體ABCDA1B1C1D1中中,將二面角將二面角A1ADB固定固定,另一個(gè)二面另一個(gè)二面角角ABB1C中中(如圖所示如圖所示),將面將面ABB1A1固定固定,另一個(gè)面另一個(gè)面BCC1B1是繞是繞BB1運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)的,始終有面始終有面ABB1A1面面ADD1A1,面面BCC1B1面面ABCD,所以兩個(gè)二面角的平面角不一定相等或所以兩個(gè)二面角的平面角不一定相等或互為補(bǔ)角互為補(bǔ)角;命題是錯(cuò)誤的命題是錯(cuò)誤的,設(shè)兩條異面直線為設(shè)兩條異面直線為A,B,在直線在直線A上上任取一點(diǎn)任取一點(diǎn)A,過點(diǎn)過點(diǎn)A作直線作直線B,使使BB,設(shè)設(shè)B與與A確定平面確定平面,在在內(nèi)取不在直線內(nèi)取不在直線A上的一點(diǎn)上的一點(diǎn)P,則則過點(diǎn)過點(diǎn)P是不可能作一個(gè)與兩異面直線都平行的平面是不可能作一個(gè)與兩異面直線都平行的平面,故選故選D.3.如圖所示如圖所示,棱長(zhǎng)為棱長(zhǎng)為1的正方體的正方體ABCDA1B1C1D1中中,E,F是側(cè)是側(cè)面對(duì)角線面對(duì)角線BC1,AD1上一點(diǎn)上一點(diǎn),若若BED1F是菱形是菱形,則則BED1F在底面在底面ABCD上投影四邊形的面積是上投影四邊形的面積是( )13232A. B. C. D.2424答案答案:B4.(2009江西江西)如圖如圖,正四面體正四面體ABCD的頂點(diǎn)的頂點(diǎn)A,B,C分別在兩分別在兩兩垂直的三條射線兩垂直的三條射線OX,OY,OZ上上,則在下列命題中則在下列命題中,錯(cuò)誤的錯(cuò)誤的為為( )A. OABC是正三棱錐是正三棱錐B.直線直線OB平面平面ACDC.直線直線AD與與OB所成的角是所成的角是45D.二面角二面角DOBA為為45答案答案:B解析解析:設(shè)設(shè)OA=A,OB=B,OC=C,由題意由題意,A2+B2=A2+C2=B2+C2A=B=C,OABC為正三棱錐為正三棱錐,故故A正確正確.O在正三角形在正三角形ABC上的射影為它的中心上的射影為它的中心,由由A的結(jié)論正確的結(jié)論正確,可可知知OD平面平面ABC交交ABC的中心于的中心于E,連結(jié)連結(jié)BE并延長(zhǎng)交并延長(zhǎng)交AC于于F,則則F為為AC的中點(diǎn)的中點(diǎn),連結(jié)連結(jié)DF,若若OB解讀高考第二關(guān)解讀高考第二關(guān) 熱點(diǎn)關(guān)熱點(diǎn)關(guān)題型一題型一 垂直關(guān)系的考查垂直關(guān)系的考查例例1已知已知A,B是兩條直線是兩條直線,是兩個(gè)平面是兩個(gè)平面,給出下列命題給出下列命題:若直線若直線A垂直于垂直于內(nèi)兩條相交直線內(nèi)兩條相交直線,則則A;若直線若直線B垂直于平面垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線內(nèi)的無數(shù)條直線,則則B;若若A,B ,則則AB;若若A,B ,AB,則則.其中正確的命題是其中正確的命題是_.答案答案:解析解析:由線面垂直的判定定理可知由線面垂直的判定定理可知,正確正確,錯(cuò)誤錯(cuò)誤,當(dāng)直線當(dāng)直線B與與平面平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直內(nèi)的無數(shù)條直線垂直,而這無數(shù)條直線是相互平行的直而這無數(shù)條直線是相互平行的直線時(shí)線時(shí),B與與不一定垂直不一定垂直.由由A,.A,又又B ,AB.故正確故正確.若若A,AB,則則B,又又B ,故正確故正確.點(diǎn)評(píng)點(diǎn)評(píng):解決這類問題的關(guān)鍵就是分清線面位置關(guān)系的判定定理解決這類問題的關(guān)鍵就是分清線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理的條件和性質(zhì)定理的條件,并結(jié)合長(zhǎng)方體模型或?qū)嶋H空間位置作出正并結(jié)合長(zhǎng)方體模型或?qū)嶋H空間位置作出正確的判斷確的判斷.變式變式1:(1)對(duì)于直線對(duì)于直線M,N和平面和平面、,能得出能得出的一個(gè)條件的一個(gè)條件是是( )A.MN,M,NB.MN,=M,N C.MN,N,M D.MN,M,N答案答案:C解析解析:(1)如圖所示如圖所示,選一個(gè)正方體選一個(gè)正方體ABCDA1B1C1D1,把把AD看看做直線做直線M,BB1看做直線看做直線N,把平面把平面BB1C1C作為平面作為平面,平面平面AA1C1C作為平面作為平面,A雖然滿足雖然滿足MN,M,N,但但不垂不垂直于直于,從而否定從而否定A;類似地可否定類似地可否定B和和D,因此選因此選C.題型二題型二 垂直關(guān)系的證明垂直關(guān)系的證明例例2(2009海南寧夏海南寧夏)如圖所示如圖所示,在三棱錐在三棱錐PABC中中,PAB是等邊三角形是等邊三角形,PAC=PBC=90.(1)證明證明:ABPC;(2)若若PC=4,且平面且平面PAC平面平面PBC,求三棱錐求三棱錐PABC的體積的體積.解解:(1)證明證明:因?yàn)橐驗(yàn)镻AB是等邊三角形是等邊三角形,PAC=PBC=90,所以所以RTPBC RTPAC,可得可得AC=BC.如圖如圖,取取AB中點(diǎn)中點(diǎn)D,連結(jié)連結(jié)PD,CD,則則PDAB,CDAB,又又PDDC=D,所以所以AB平面平面PDC,所以所以ABPC.(2)解解:作作BEPC,垂足為垂足為E,連結(jié)連結(jié)AE.因?yàn)橐驗(yàn)镽TPBC RTPAC,所以所以AEPC,AE=BE.由已知平面由已知平面PAC平面平面PBC,AEB=90.因?yàn)橐驗(yàn)镽TAEB RTPEB,所以所以AEB,PEB,CEB都是等腰直角三角形都是等腰直角三角形.由已知由已知PC=4,得得AE=BE=2,AEB的面積的面積S=2.因?yàn)橐驗(yàn)镻C平面平面AEB,8PC.3 1PABCVS3所以三棱錐的體積點(diǎn)評(píng)點(diǎn)評(píng):在證明垂直關(guān)系時(shí)在證明垂直關(guān)系時(shí),要利用轉(zhuǎn)化思想要利用轉(zhuǎn)化思想,依據(jù)垂直的判定定依據(jù)垂直的判定定理、性質(zhì)定理等理、性質(zhì)定理等,將線與線、線與面、面與面之間的垂直與平將線與線、線與面、面與面之間的垂直與平行相互轉(zhuǎn)化行相互轉(zhuǎn)化.例例3如圖如圖,在三棱柱在三棱柱ABCA1B1C1中中,ABBC,BCBC1,AB=BC1,E,F,G分別為線段分別為線段AC1,A1C1,BB1的中點(diǎn)的中點(diǎn),求證求證:(1)平面平面ABC平面平面ABC1;(2)EF平面平面BCC1B1;(3)FG平面平面AB1C1.解解:(1)ABBC,BCBC1,ABBC1=B,BC平面平面ABC1,又又BC 平面平面ABC,平面平面ABC平面平面ABC1.(2)在在AA1C1中中,E、F分別為分別為AC1,A1C1的中點(diǎn)的中點(diǎn),EFAA1,幾何體幾何體ABCA1B1C1為三棱柱為三棱柱,BB1AA1,EFBB1,BB1 平面平面BCC1B1,EF 平面平面BCC1B1,EF平面平面BCC1B1.(3)在在AA1C1中中,E,F分別為分別為AC1,A1C1的中點(diǎn)的中點(diǎn),1/ /,2,1/ /,2/ /,BE,11111111EFAA EFAAABCA B CGBBBGAA BGAAEFBGEFBGBEFG在三棱柱中為的中點(diǎn)且連接四邊形為平行四邊形變式變式2:(2010安徽模擬安徽模擬)已知已知P在矩形在矩形ABCD邊邊CD上上,AB=2,BC=1,F在在AB上且上且DFAP,垂足為垂足為E,將將ADP沿沿AP折起折起,使點(diǎn)使點(diǎn)D位于位于D位置位置,連連DB、DC得四棱錐得四棱錐D-ABCP.(1)求證求證DFAP;(2)若若PD=1并且平面并且平面DAP平面平面ABCP,求四棱錐求四棱錐D-ABCP的體積的體積.證明證明:(1)APDE,APEF,又又DE,EF是面是面DEF內(nèi)兩相交直線內(nèi)兩相交直線,AP平面平面DEF,APDF.(2)PD=1,四邊形四邊形ADPF是邊長(zhǎng)為是邊長(zhǎng)為1的正方形的正方形,ABCP2EDEEF,2,AP,ABCP,13() 1,2212.34 ABCPDABCPDD APABCP DEDES12VDE S梯形梯形平面平面平面題型三題型三 垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用例例4(2009浙江浙江)如圖如圖,平面平面PAC平面平面ABC,ABC是以是以AC為斜邊的等腰直角三角形為斜邊的等腰直角三角形,E,F,O分別為分別為PA,PB,AC的中的中點(diǎn)點(diǎn),AC=16,PA=PC=10.(1)設(shè)設(shè)G是是OC的中點(diǎn)，證明的中點(diǎn)，證明:FG平面平面BOE;(2)證明證明:在在ABO內(nèi)存在一點(diǎn)內(nèi)存在一點(diǎn)M,使使FM平面平面BOE,并求點(diǎn)并求點(diǎn)M到到OA,OB的距離的距離.解解:(1)證明證明:如圖所示如圖所示,設(shè)設(shè)PE的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為H,連結(jié)連結(jié)HG,HF.因?yàn)辄c(diǎn)因?yàn)辄c(diǎn)E,O,G,H分別是分別是PA,AC,OC,PE的中點(diǎn)的中點(diǎn),所以所以HGOE,HFEB.因此平面因此平面FGH平面平面BOE.因?yàn)橐驗(yàn)镕G在平面在平面FGH內(nèi)內(nèi),所以所以FG平面平面BOE.(2)解解:在平面在平面OAP內(nèi)內(nèi),過點(diǎn)過點(diǎn)P作作PNOE,交交OA于點(diǎn)于點(diǎn)N,交交OE于于點(diǎn)點(diǎn)Q.如圖所示如圖所示.連結(jié)連結(jié)BN,過點(diǎn)過點(diǎn)F作作FMPN,交交BN于點(diǎn)于點(diǎn)M.下證下證FM平面平面BOE.由題意由題意,得得OB平面平面PAC,所以所以O(shè)BPN.又又PNOE,所以所以PN平面平面BOE.因此因此FM平面平面BOE.所以點(diǎn)所以點(diǎn)N在線段在線段OA上上.因?yàn)橐驗(yàn)镕是是PB的中點(diǎn)的中點(diǎn),所以所以M是是BN的中點(diǎn)的中點(diǎn),因此點(diǎn)因此點(diǎn)M在在AOB內(nèi)內(nèi),點(diǎn)點(diǎn)M到到OA,OB的距離分別為的距離分別為119O B4,O N.224點(diǎn)評(píng)點(diǎn)評(píng):在應(yīng)用線面關(guān)系的定理過程中要學(xué)會(huì)找平面做媒介在應(yīng)用線面關(guān)系的定理過程中要學(xué)會(huì)找平面做媒介,注注意線面、面面的相互轉(zhuǎn)化意線面、面面的相互轉(zhuǎn)化.(),.11115 2009ABCA B CAB1 ACAA3ABC60例陜西 如圖 在直三棱柱中(1)證明證明:ABA1C;(2)求二面角求二面角AA1CB的正切值的正切值.解解:(1)證明證明:三棱柱三棱柱ABCA1B1C1為直三棱柱為直三棱柱,ABAA1.在在ABC中中,AB=1,AC= ,ABC=60,由正弦定理得由正弦定理得ACB=30,BAC=90,即即ABAC.AB平面平面ACC1A1,又又A1C 平面平面ACC1A1,ABA1C.3(2)解解:如圖所示如圖所示,作作ADA1C交交A1C于于D點(diǎn)點(diǎn),連結(jié)連結(jié)BD,又又ABA1CA1C平面平面ABDBDA1C,ADB為二面角為二面角AA1CB的平面角的平面角.在在RTAA1C中中,點(diǎn)評(píng)點(diǎn)評(píng):計(jì)算二面角的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出二面角的平面角計(jì)算二面角的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出二面角的平面角.從分析從分析構(gòu)成二面角的圖形結(jié)構(gòu)入手構(gòu)成二面角的圖形結(jié)構(gòu)入手,從中發(fā)現(xiàn)一些線、面、體的特殊從中發(fā)現(xiàn)一些線、面、體的特殊位置關(guān)系位置關(guān)系,找到二面角的平面角找到二面角的平面角.變式變式3:如圖如圖,四棱錐四棱錐PABCD的底面為正方形的底面為正方形,PA平面平面ABCD,PA=AB,F為為PA上的點(diǎn)上的點(diǎn).(1)求證求證:無論點(diǎn)無論點(diǎn)F在在PA上如何移動(dòng)上如何移動(dòng),都有都有BDFC;(2)若若PC平面平面FBD,求二面角求二面角FBDA的余弦值的余弦值.解解:(1)設(shè)設(shè)ACBD=O,底面底面ABCD為正方形為正方形,ACBD.又又PA平面平面ABCD,PABD,又又PAAC=A,BD平面平面PAC,由于由于F為為PA上的點(diǎn)上的點(diǎn),FC 平面平面PAC.BDFC.即無論點(diǎn)即無論點(diǎn)F在在PA上如何移動(dòng)上如何移動(dòng),都有都有BDFC.(2)由條件由條件PC平面平面FBD,F點(diǎn)即為點(diǎn)即為PA的中點(diǎn)的中點(diǎn),又由得又由得,BD平面平面PAC,BDAO,BDFO,FOA為二面角為二面角PBDA的平面角的平面角.不妨設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為不妨設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1,笑對(duì)高考第三關(guān)笑對(duì)高考第三關(guān) 技巧關(guān)技巧關(guān)考考 向向 精精 測(cè)測(cè)1.已知直線已知直線L平面平面,直線直線M 平面平面,有下面四個(gè)命題有下面四個(gè)命題LM;LM;LM;LM.其中正確的是其中正確的是( )A.B.C.D.答案答案:D2.如圖如圖,四棱臺(tái)四棱臺(tái)ABCDA1B1C1D1的直視圖和三視圖的直視圖和三視圖,底面底面ABCD是邊長(zhǎng)為是邊長(zhǎng)為2的的形形,BAD=60,A1A=D1D=A1D1=1,M,N分別為分別為A1D1,AD的的中點(diǎn)中點(diǎn).(1)由三視圖判斷平面由三視圖判斷平面AA1D1D與平面與平面ABCD的位置關(guān)系的位置關(guān)系(只只須作出判斷須作出判斷);(2)求證求證:BC平面平面MNBB1;(3)求二面角求二面角A1ABD的余弦值的余弦值.解解:(1)平面平面AA1D1D平面平面ABCD.(2)由條件知四邊形由條件知四邊形AA1D1D為等腰梯形為等腰梯形.M,N為上下底邊的中點(diǎn)為上下底邊的中點(diǎn),MNAD.又又AN= AB=1,BAD=60,ABN為直角三角形為直角三角形,BNAD.又又MNBN=N,AD平面平面MNBB1.ADBC,BC平面平面MNBB1.12(3)如圖作如圖作A1HAD于點(diǎn)于點(diǎn)H,在底面在底面ABCD上作上作HEAB于點(diǎn)于點(diǎn)E,連接連接A1E.平面平面AA1D1D平面平面ABCD,A1H平面平面ABCD,HEAB,A1EAB.A1EH為二面角為二面角A1ABD的平面角的平面角.課時(shí)作業(yè)課時(shí)作業(yè)(四十三四十三) 空間中的垂直關(guān)系空間中的垂直關(guān)系一、選擇題一、選擇題1.已知平面已知平面平面平面,=C,直線直線A ,直線直線B ,A,C不垂不垂直直,且且A,B,C交于同一點(diǎn)交于同一點(diǎn)P,則則“BC”是是“BA”的的( )A.既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件B.充分不必要條件充分不必要條件C.必要不充分條件必要不充分條件D.充要條件充要條件答案答案:D解析解析:BC,B ,B.又又A ,BA.反之如圖反之如圖:在在A上取一點(diǎn)上取一點(diǎn)A,作作ABC,則有則有AB,ABB.又又BA,AAB=A.B.BC,即這是一個(gè)充要條件即這是一個(gè)充要條件.2.已知兩條不同的直線已知兩條不同的直線M,N,兩個(gè)不同的平面兩個(gè)不同的平面,則下列命題則下列命題中正確的是中正確的是( )A.若若M,N,則則MNB.若若M,N,則則MNC.若若M,N,則則MND.若若M,N,則則MN答案答案:A3.如圖如圖,正三棱柱正三棱柱ABCA1B1C1的各棱長(zhǎng)都是的各棱長(zhǎng)都是2,E、F分別是分別是AB、A1C1的中點(diǎn)的中點(diǎn),則則EF與平面與平面ABC所成角的正弦值為所成角的正弦值為( )13A.B.222 52 7C. D.57解析解析:如圖所示如圖所示,取取AC的中點(diǎn)的中點(diǎn)G,連結(jié)連結(jié)EG、FG,則易得則易得FG平平面面ABC,FEG即為直線即為直線EF與平面與平面ABC所成的角所成的角,易知易知FG=2,EG=1, ,C.2 5EF5 sin FEG5選答案答案:C4.若平面若平面平面平面=A,平面平面平面平面,平面平面平面平面,則則A在平在平面面內(nèi)的射影是內(nèi)的射影是( )A.一條線段一條線段B.一條直線一條直線C.一個(gè)點(diǎn)一個(gè)點(diǎn)D.不能確定不能確定答案答案:C解析解析:如圖如圖,在在內(nèi)取一點(diǎn)內(nèi)取一點(diǎn)O A,=B,=C,過過O作直線作直線OAB,OBC.又又,OA,OB,OAA,OBA,A.故故A在平面在平面內(nèi)的射影是一個(gè)點(diǎn)內(nèi)的射影是一個(gè)點(diǎn).5.在正四面體在正四面體PABC中中,D、E、F分別是分別是AB、BC、CA的中的中點(diǎn)點(diǎn),下列結(jié)論不成立的是下列結(jié)論不成立的是( )A. BC平面平面PDFB. DF平面平面PAEC.平面平面PDE平面平面ABCD.平面平面PDF平面平面PAE答案答案:C解析解析:如圖如圖,DFBC,DF 平面平面PDF,BC平面平面PDF,A正確正確;PB=PC,AB=AC,PEBC,AEBC,則則BC平面平面PAE.又又DFBC,DF平面平面PAE,B正確正確.DF 面面PDF,平面平面PDF平面平面PAE,D正確正確.故選故選C.6.在四面體在四面體PABC中中,若若PA=PB=PC,則點(diǎn)則點(diǎn)P在平面在平面ABC內(nèi)的內(nèi)的射影是射影是ABC的的( )A.外心外心B.內(nèi)心內(nèi)心C.垂心垂心D.重心重心答案答案:A解析解析:P在平面在平面ABC內(nèi)的射影為內(nèi)的射影為O,由由PA=PB=PC,則對(duì)應(yīng)的則對(duì)應(yīng)的射影射影OA=OB=OC,故故O為為ABC的外心的外心.選選A.二、填空題二、填空題7.在正方體在正方體ABCDA1B1C1D1中中,二面角二面角C1ABC的平面的平面角等于角等于_.答案答案:45解析解析:如圖如圖,正方體正方體ABCDA1B1C1D1中中,AB平面平面BCC1,BCAB,BC1AB,則則C1BC是二面角是二面角C1ABC的平面角的平面角,又又BCC1是等腰直角三角形是等腰直角三角形,則則C1BC=45.8.四邊形四邊形ABCD是正方形是正方形,PA平面平面ABCD,在平面在平面PAB、PBC、PCD、PDA和和ABCD中中,互相垂直的平面一共有互相垂直的平面一共有_對(duì)對(duì).答案答案:5解析解析:如圖如圖,已知已知PA平面平面ABCD,PA 面面PAB,PA 面面PDA,平面平面PAB平面平面ABCD,平面平面PDA平面平面ABCD.又又BCAB,BC面面PAB,ADAB,AD面面PAB.面面PAD面面PAB,面面PBC面面PAB.又又CDAD,CDPA,CD面面PAD.平面平面PCD平面平面PDA,故共有故共有5對(duì)互相垂直的平面對(duì)互相垂直的平面.9.已知直線已知直線L平面平面,直線直線M 平面平面,有下面四個(gè)命題有下面四個(gè)命題:LM;LM;LM;LM.其中正確的命題是其中正確的命題是_.答案答案:解析解析:,L,L.又又M ,LM.故對(duì)故對(duì).中中L有可能平行于有可能平行于M,也可能與也可能與M異面異面.中中L,LM,M.又又M ,.故對(duì)故對(duì).L,LM,M,.錯(cuò)錯(cuò).正確的命題是正確的命題是.10.已知正三角形已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為的邊長(zhǎng)為10,以過以過ABC的中心且平行的中心且平行于于BC的直線的直線EF為棱為棱,將三角形折成直二面角將三角形折成直二面角AEFB,折起折起后后A、B間的距離是間的距離是_.:.3610答案三、解答題三、解答題11.(2009山東山東)如圖如圖,在直四棱柱在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中中,底面底面ABCD為等腰梯形為等腰梯形,ABCD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E,E1分分別是棱別是棱AD,AA1的中點(diǎn)的中點(diǎn).(1)設(shè)設(shè)F是棱是棱AB的中點(diǎn)的中點(diǎn),證明證明:EE1平面平面FCC1;(2)證明證明:平面平面D1AC平面平面BB1C1C.證明證明:(1)如圖如圖(1),取取A1B1的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為F1,(1)連結(jié)連結(jié)FF1,C1F1,由于由于FF1BB1CC1,所以所以F1平面平面FCC1,因此平面因此平面FCC1即為平面即為平面C1CFF1,連結(jié)連結(jié)A1D,F1C,/ /CD,/ /C.11111111A FD CA DCFA DF由于所以四邊形為平行四邊形因此又又EE1A1D,得得EE1F1C,而而EE1 平面平面FCC1,F1C 平面平面FCC1,故故EE1平面平面FCC1.(2)如圖如圖(2),連結(jié)連結(jié)AC,在在FBC中中,FC=BC=FB,(2)又又F為為AB的中點(diǎn)的中點(diǎn),所以所以AF=FC=FB,因此因此ACB=90,即即ACBC.又又ACCC1,且且CC1BC=C,所以所以AC平面平面BB1C1C,而而AC 平面平面D1AC,故平面故平面D1AC平面平面BB1C1C.12.在四棱錐在四棱錐PABCD中中,底面底面ABCD是是DAB=60,且邊長(zhǎng)且邊長(zhǎng)為為A的菱形的菱形,側(cè)面?zhèn)让鍼AD為正三角形為正三角形,其所在平面垂直于底面其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若若G為為AD邊的中點(diǎn)邊的中點(diǎn),求證求證:BG平面平面PAD;(2)求證求證:ADPB;(3)若若E為為BC邊的中點(diǎn)邊的中點(diǎn),能否在棱能否在棱PC找到一點(diǎn)找到一點(diǎn)F,使平面使平面DEF平面平面ABCD,并證明你的結(jié)論并證明你的結(jié)論.解解:(1)菱形菱形ABCD中中,DAB=60,G為為AD的中點(diǎn)的中點(diǎn),BGAD,又平面又平面PAD平面平面ABCD,平面平面PAD平面平面ABCD=AD,BG平面平面PAD.(2)連結(jié)連結(jié)PG,PAD為正三角形為正三角形,G為為AD的中點(diǎn)的中點(diǎn),PGAD,由由(1)知知BGAD,PGBG=G,PG 平面平面PGB,BG 平面平面PGB,AD平面平面PGB.PB 平面平面PGB,ADPB.(3)當(dāng)當(dāng)F為為PC的中點(diǎn)時(shí)的中點(diǎn)時(shí),平面平面DEF平面平面ABCD,證明證明:在在PBC中中,FEPB,又在菱形又在菱形ABCD中中,GBDE,而而FE 平面平面DEF,DE 平面平面DEF,EFDE=E,平面平面DEF平面平面PGB,由由(1)知知,PG平面平面ABCD,而而PG 平面平面PGB,平面平面PGB平面平面ABCD,平面平面DEF平面平面ABCD.