121.理解分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理，會用兩原理解決簡單實際問題.2.理解排列、組合的概念，掌握排列數(shù)和組合數(shù)公式，并能應(yīng)用解決簡單的實際問題.3 43 ( 1. ) 某校 名高三畢業(yè)學(xué)生每人選報 個自主招生志愿中的一個志愿，則選擇的方法共有A.81 B. 48C.18 D.36種 種種 種A解析433381A. 由于每名同學(xué)均可從 個自主招生志愿中選擇一個志愿，因此每人均有 種選法，由分步計數(shù)原理可知共有 即種選法，故選易錯點忽略每個志愿均可重復(fù)選擇4 34522 . 2 現(xiàn)有 個紅球，個白球和 個黑球，從中任選 個球， 則所選的 球顏色不同的選法有A 66 B.132C 47 D.94 種種 種種C 解析 113412113 515114520121527.C04選球共分為三類：第一類是選 個紅球和 個白球，有種選法；第二類是選 個紅球和 個黑球，有種選法；第三類是選 個白球和 個黑球，有種選法由分類計數(shù)原理可知共有種不同的選法，故選5 6(3)3.6名同學(xué)分別坐到前后兩排 每排 個座位 的 個座位上，共有_種不同的坐法720解析66 66A720人坐到前后兩排可視為將 人排成一列，且前三人坐標(biāo)前排，后三個坐后排，故共有種易錯點()nmmnk 從 個不同元素中選 個排成一列和排成能確定誰是第一位，誰是最后一位的 排實質(zhì)是相同的6 1,21,2,3,4,54.ZZZ已知集合 滿足，則不同的集合 共有_個解析1323123333331,23,4,513,4,5123CCC1C8CCZZZZ 由已知，而可不屬于 ，有 種，也可屬于 ，即從中選， 個，個和 個，分別有，和種，故共有個87 7781 1220CCC_5.12 nnnm mmmn乘積用排列、組合數(shù)表示， 可表示為_； 已知，則 的值為解析2120.A( 1)m2120Am1481.分類加法計數(shù)原理完成一件事,有n類辦法,在第1類辦法中有m1種不同的方法,在第2類辦法中有m2種不同的方法，在第n類辦法中有mn種不同的方法,那么完成這件事共有N= 種不同的方法.2.分步乘法計數(shù)原理完成一件事,需要分成n個步驟,做第1步有m1種不同的方法,做第2步有m2種不同的方法，,做第n步有mn種不同的方法,那么完成這件事共有N= 種不同的方法.m1+m2+m3+mnm1m2mn93.分類和分步的區(qū)別分類：完成一件事同時存在n類方法，每一類都能獨立完成這件事，各類互不相關(guān).分步：完成一件事須按先后順序分n步進(jìn)行，每一步缺一不可，只有當(dāng)所有步驟完成，這件事才完成.4.排列基礎(chǔ)理論(1)排列的定義.從n個不同元素中,任取m(mn)個不同元素,按照一定的 排成一列,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.順序10(2)排列數(shù)的定義.從n不同元素中,任取m(mn)個不同元素的所有排列的個數(shù),叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù),用符號 表示.(3)排列數(shù)計算公式. =n(n-1)(n-2)(n-m+1)= (其中mn).()若m=n，排列稱為全排列，記 =123(n-1)n=n!(稱為n的階乘)；()規(guī)定0!1.mnAmnA!()!nnmnnA115.組合基礎(chǔ)理論(1)組合的定義.從n個不同元素中，取出m(mn)個不同元素組成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.(2)組合數(shù)的定義.從n個不同元素中,取出m(mn)個不同元素的所有組合的個數(shù),叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù),用符號 表示.mnC12(3)組合數(shù)計數(shù)公式. = = . = .規(guī)定 =1.(4)組合數(shù)的兩個性質(zhì).() = ;() = + .mnCmnmmAA(1)(2)(1)!n nnnmm!()!nm nm0nCmnCn mnC1mnCmnC1mnC136.排列與組合的區(qū)別排列與組合的共同點是“從n個不同元素中，任取m個不同元素”；而不同點是排列要“按照一定的順序排成一列”，而組合卻是“只需組成一組（與順序無關(guān)）”.因此，“有序”與“無序”是排列與組合的 重 要 標(biāo) 志 . “ ” 為 排 列 問題,“ ”為組合問題.有序無序14題型一 簡單組合應(yīng)用問題 例1 6415 3 1 2 32 1 某乒乓球隊有男運動員 名，女運動員 名，其中男、女隊長各 名選派 名外出比賽在下列情形中各有多少種選派方法？男運動員 名，女運動員 名；至少有 名女運動員；既要有隊長，又要有女運動員15解析 362432643C2CCC11 1423324202111方法第一步：選 名男運動員，有種選法 第二步：選 名女運動員，有種選法 共有種選法至少 名女運動員包括以下幾種情況：女 男，女 男，女 男，女 男 由分類加法計數(shù)原理可：得總選法為 246種51056“1”“”105CC2 至少 名女運動員 的反面為 全是男運動員 ，可用間接法求解從人中任選 人有種選法，其中全是男運動員的選法有方法 ：種16“1所以 至少有 名女運動員 的選法為246種 494845CCC3 當(dāng)有女隊長時，其他人選任意，共有種選法 不選女隊長時，必選男隊長，共有種選法，其 中不含女運動員的選法有種，所以不選女隊長 時的選法共有所以既有隊長又有女運動員的選法共有191種17評析()“”“”(“”)nm mn 從 個不同元素中只要選取個不同元素的問題即組合問題，其主要特征是 元素?zé)o序 ，同時正面情況較多時，可應(yīng)用 間接法 或 減去數(shù) ，將總選法減去反面選法求得選法種法184541 為了參加學(xué)校的元旦文藝會演，某班決定從愛好唱歌的 名男同學(xué)和 名女同學(xué)中選派 名參加小合唱節(jié)目，如果要求男女同學(xué)至少各選派 名，那么不同的選派方法有多少種？素材1解析4060200112按選派的男同學(xué)的人數(shù)分三類：選派一名男同學(xué)，三名女同學(xué)有選派兩名男同學(xué)，兩名女同學(xué)有選派三名男同學(xué)，一名女同學(xué)有由分類計數(shù)原理 方法 ：，共有不同的選派方法有種19494445C12126C1C51262015 在這九名同學(xué)中任選四名，有種方法 其中四人都是男同學(xué)的有種方法；四人 都是女同學(xué)的有種方法，因此符合要求 的選派方法有方法 ：種20題型二 簡單排列應(yīng)用問題例2 342 12 32 3 現(xiàn)有 名男生，名女生，分別求符合下列各條件下的不同排列方法總數(shù)排成前后三排：前排 人，中排 人，后排 人；全體排成一排：甲不站排頭也不站排尾；全體排成一排：男女相間21解析 165676647415AA 1 23A5040A A =360A(A0)由排列的概念可知，排成三排可轉(zhuǎn)化為排成一排后，前二人站第一排，中間三人站第二排，最后二人站第三排，故共有種排法先滿足甲的要求，在一排中間五個位置中選一個位置站甲，有種，然后讓其余的人站剩下的位置，有種，故共有種排法先將女生排好，共有種，然后在女生之間 不含首末位置 的三個位置插入男生，共有343343AA144種，故共有種排法22評析 帶有限制條件的排列問題，一般都是對某個或某些元素或位置加以限制的問題，被限制的元素通常稱為特殊元素，被限制的位置稱為特殊位置這一類題通常從三種途徑考慮：以元素為主考慮，這時，一般先解決特殊元素的排法問題，即先滿足特殊元素；以位置為主考慮，這時，一般先解決特殊位置的排法問題，即先滿足特殊位置；先不考慮限制條件，計算出排列總數(shù)，再減去不符合要求的排列23 3 2 1 六人按下列要求站一橫排，分別有多少種不同的站法？甲、乙必須相鄰；甲、乙不相鄰；甲、乙之間間隔兩人素材2解析 52525252“”AAAA21014先把甲、乙作為一個 整體 ，看作一個人， 有種站法，再把甲、乙進(jìn)行全排列，有種站法， 根據(jù)分步計數(shù)原方法理，：共有種站法24 4415224124524425442404A5AA AAA“”4A2145()A2A先把甲、乙以外的 個人作全排列，有種站法， 再在 個空當(dāng)中選出一個供甲、乙放入，有種站法， 最后讓甲、乙全排列，有種站法，共有站法種因為甲、乙不相鄰，中間有隔擋，可用 插空法 第一步先讓甲、乙以外的 個人站隊，有種；第二步再 方法 ：方法 ： 將甲、乙排在 人形成的 個空當(dāng) 含兩端 中，有種，故 共有站法 25665252652652A“” 6A2A480480A240AAA7202402種 也可用 間接法 ，個人全排列有種站法，由知 甲、乙相鄰有種站法，所以不相鄰的站法有 方法 ：種25 442242422433222324324A3AA3A42A2“”2AAA1441431A42A先將甲、乙以外的 個人作全排列，有種， 然后將甲、乙按條件插入站隊，有種，故共有 種站法 先從甲、乙以外的 個人中任選 人排在甲、 乙之間的兩個位置上，有種，然后把甲、乙及中 間 人看作一個 大元素 與余下 人作全排列有種方 法，最后對甲、乙進(jìn)行排列，有種方法方法 ： 方，故共有 法 ： 種站法26題型三 計數(shù)原理及應(yīng)用例3 (2010) 4()01011 10()在某種信息傳輸過程中，用個數(shù)字的一個排列 數(shù)字允許重復(fù) 表示一個信息，不同排列表示不同信息，若所用數(shù)字只有 和 ，則與信息至多有兩個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息個數(shù)為 卷 南湖A.10 B.11 C.12 D.1527 4“” “” “” “” “”._(2010_2_) )(有 位同學(xué)在同一天的上、下午參加 身高與體重 、立定跳遠(yuǎn) 、肺活量 、握力 、 臺階 五個項目的測試，每位同學(xué)上、下午各測試一個項目，且不重復(fù)若上午不測 握力 項目，下午不測 臺階 項目，其余項目上、下午都各測試一人浙江卷則不同的安排方式共有種 用數(shù)字作答 解析241401100110C6011 0C4 (1)與信息至多有兩個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息包括三類：與信息有兩個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同，有種；與信息有一個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同，有種；28 04440110C10110641.A24 12 1ABCDEEDABCAABCA 與信息沒有對應(yīng)位置上的數(shù)字相同，有種 所以與信息至多有兩個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信 息個數(shù)為設(shè) 、 、 、 、 依次代表題設(shè)中的五個測試項目 上午的總測試方法有種若上午測試 的同學(xué)下 午測試 ，則上午測試 的同學(xué)下午只能測試 、 ，確定 上午測試 的同學(xué)后其余兩個同學(xué)上、下午測試 、 、中一個，則上午測試323 32449296BCE、 、 中任何一個的下午都可以測 試 ，安排完該同學(xué)后，其余兩同學(xué)的測試方法只能有 種， 故共有種測試方法由乘法原理和加法原理，總的測試方法共有種29評析“”“”“”“”“” “” 將復(fù)雜問題 簡單化 的方法之一是 分類 ，將過程繁雜問題 簡單化 的方法之一是 分步 ，這既是技巧也是方法，同時有關(guān) 至多 、至少 的問題分析研究常分步30 （1）現(xiàn)要排一份天的值班表，每天有一人值班，共有人，每人可以多天值班或不值班，但相鄰兩天不準(zhǔn)由同一人值班，問此值班表共有 種不同排法.1280素材3(2)三角形的三邊長均為整數(shù),且最長的邊長為11,則這樣的三角形的個數(shù)有( )A.25個 B.26個 C.36個 D.37個C31 (1)值班表須依題設(shè)一天一天的分步完成.第一天有5人可選，有5種排法，第二天不能用第一天的人，有4種排法，同理，第三天、第四天、第五天也有4種，故由分步 計 數(shù) 原 理 排 值 班 表 共 有54444=1280種，應(yīng)填1280.解析32 (2)設(shè)另兩邊長為x、y,且1xy11 (x、yZ)，構(gòu)成三角形，則x+y12，當(dāng)y取11時，x=1,2,3,11,有11個;當(dāng)y取10時，x=2,3,10,有個;當(dāng)y取9時，x=3,4,9,共7個;當(dāng)y取6時，x也只能為6，有1個，故 滿 足 題 設(shè) 的 三 角 形 共 有 ：11+9+7+5+3+1=36個，故選C.33421xA3xA13xxC11xxC1xxC22xxC 解下列方程：(1) +1=140 ;(2) = + + .34則有 (1)根據(jù)排列的意義及公式得 42x+1 3x (2x+1)2x(2x-1)(2x-2)=140 x(x-1)(x-2), x (4x-23)(x-3)=0,解之并檢驗得x=3.解析35(2)由組合數(shù)的性質(zhì)可得 + + = + + = + .又 = ,所以 = + ,即 + = + ,所以 = ，所以5=x+2,x=3,經(jīng)檢驗知x=3.13xxC11xxC1xxC22xxC11xC21xC42xC22xC42xC23xC23xC22xC42xC12xC22xC22xC42xC12xC42xC36凡遇到解排列、組合的方程，不等式問題時，應(yīng)首先應(yīng)用性質(zhì)和排列、組合的計算公式進(jìn)行變形與化簡，并注意有關(guān)解排列、組合的方程、不等式問題，最后結(jié)果都需評析：要檢驗371.解決有關(guān)排列、組合應(yīng)用題時，應(yīng)分析：要完成做一件什么事；這件事怎樣做才可以做好；需要分類還是分步.運用分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理，關(guān)鍵在于兩方面，認(rèn)真分析題意，設(shè)計合理的求解程序是求解問題的關(guān)鍵.382.如果任何一類辦法中的任何一種方法都能完成這件事，即類與類之間是相互獨立的，即分類完成，則選用分類計數(shù)原理；如果完成一件事要經(jīng)歷幾個步驟（即幾步），且只有當(dāng)這些步驟都做完，這件事才能完成，即步與步之間是相互依存、相互連續(xù)的，即分步完成，則選用分步計數(shù)原理.3.排列與組合的本質(zhì)區(qū)別在于排列不僅取而且排，即與順序有關(guān)，而組合只取出一組即可，與順序無關(guān).39 4.注意排列數(shù)公式、組合數(shù)公式有連乘形式與階乘形式兩種， 公式 =n(n-1)(n-m+1), = 常用于計算, 而公式 = , = 常用于證明恒等式.mnAmnC(1)(2)(1)!n nnnmm!()!nnmmnAmnC!()!nm nm40433 從 名男大學(xué)生，名女大學(xué)生中選 人擔(dān)任志愿者，其中男生和女生都要求有，有多少種不同選法？錯解1143151114354C3CCCCC60 分三步完成人選，第一步：先從 名男生中選一名，有種；第二步：從 名女生中選一名，有種；第三步：再從剩下的人中任選一名，有種，故由乘法計數(shù)原理，共有種41錯解分析ABCCBA 錯誤認(rèn)為滿足某條件的選法是將所選元素從總體中選出去，后續(xù)選擇時它不再參與，例如若第一步所選的是男生 ，第二步所選的是女生 ，第三步所選的是男生 ，計數(shù)時計為一種選法，但若第一步所選的是男生 ，第二步所選的還是女生 ，第三步所選的是男生 ，計數(shù)時又計為一種選法，因此重復(fù)計數(shù)正解124321122143434312C C2301C CC CC C 分兩類確定選法數(shù)，第一類： 男 女，有種；第二類：男 女，有種，故共有種