第二章 三角、反三角函數(shù)一、考綱要求1.理解任意角的概念、弧度的意義，能正確進(jìn)行弧度和角度的互換。2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義，了解余切、正割、余割的定義，掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，掌握正弦、余弦的誘導(dǎo)公式，理解周期函數(shù)與最小正周期的意義。3.掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。4.能正確運(yùn)用三角公式，進(jìn)行簡(jiǎn)單三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)，求值和恒等式的證明。5.了解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)，正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)，會(huì)用“五點(diǎn)法”畫正弦函數(shù)，余弦函數(shù)和函數(shù)y=Asin(wx+)的簡(jiǎn)圖，理解A、w、的物理意義。6.會(huì)由已知三角函數(shù)值求角，并會(huì)用符號(hào)arcsinx、arccosx、arctgx表示。7.掌握正弦定理、余弦定理，并能初步運(yùn)用它們解斜三角形，能利用計(jì)算器解決三角形的計(jì)算問題。8.理解反三角函數(shù)的概念，能由反三角函數(shù)的圖像得出反三角函數(shù)的性質(zhì)，能運(yùn)用反三角函數(shù)的定義、性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單問題。9.能夠熟練地寫出最簡(jiǎn)單的三角方程的解集。二、知識(shí)結(jié)構(gòu)1.角的概念的推廣：(1)定義：一條射線OA由原來的位置OA，繞著它的端點(diǎn)O按一定方向旋轉(zhuǎn)到另一位置OB，就形成了角。其中射線OA叫角的始邊，射線OB叫角的終邊，O叫角的頂點(diǎn)。(2)正角、零角、負(fù)角：由始邊的旋轉(zhuǎn)方向而定。(3)象限角：由角的終邊所在位置確定。第一象限角：2k2k+,kZ第二象限角：2k+2k+,kZ第三象限角：2k+2k+,kZ第四象限角：2k+ 2k+2,kZ(4)終邊相同的角：一般地，所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)(而且只有這樣的角)，可以表示為k360+，kZ。(5)特殊角的集合：終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合，kZ終邊在一、三象限角平分線上角的集合k+，kZ終邊在二、四象限角平分線上角的集合k-，kZ終邊在四個(gè)象限角平分線上角的集合k-，kZ2.弧度制：(1)定義：用“弧度”做單位來度量角的制度，叫做弧度制。(2)角度與弧度的互化：1弧度，1弧度()(3)兩個(gè)公式：(R為圓弧半徑，為圓心角弧度數(shù))?；￠L(zhǎng)公式：l=R扇形面積公式：S=lR=R23.周期函數(shù)：(1)定義：對(duì)于函數(shù)y=f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得x取定義域內(nèi)的任意值時(shí)，都有f(x+T)=f(x)，那么函數(shù)y=f(x)叫做周期函數(shù)，其中非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的一個(gè)周期，如果T中存在一個(gè)最小的正數(shù)，則這個(gè)最小正數(shù)叫做這個(gè)函數(shù)的最小正周期。(2)幾個(gè)常見結(jié)論：如果T是函數(shù)y=f(x)的一個(gè)周期，那么kT(kZ，且k0)也是y=f(x)的周期。 (1)如果T是函數(shù)y=f(x)的一個(gè)周期，那么也是y=f(wx)(w0)的周期。一個(gè)周期函數(shù)不一定有最小正周期，如常函數(shù)y=f(x)=c。4.三角函數(shù)定義：(1)定義：設(shè)是一個(gè)任意大小的角，P(x，y)是角終邊上任意一點(diǎn)，它與原點(diǎn)的距離PO=r,那么角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余弦分別是sin=,cos=,tg=,ctg=,Sec=,csc= (如圖(1)。(2)六個(gè)三角函數(shù)值在每個(gè)象限的符號(hào)：(如圖(2)(3)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：倒數(shù)關(guān)系：sincsc=1,cossec=1,tgctg=1商數(shù)關(guān)系：tg=,ctg=平方關(guān)系：sin2+cos2=1,1+tg2=sec2,1+ctg2=csc2(4)誘導(dǎo)公式：2k+-+2-+正弦sin-sinsin-sin-sincoscos余弦coscos-cos-coscossin-sin正切tg-tg-tgtg-tgctg-ctg余切ctg-ctg-ctgctg-ctgtg-tg上述公式可以總結(jié)為：奇變偶不變，符號(hào)看象限。5.已知三角函數(shù)值求角6.三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)：(1)三角函數(shù)線：如圖(3)，sin=MP,cos=OM,tg=AT,ctg=BS(2)三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)：函數(shù)y=sinxy=cosxy=tgxy=ctgx圖象定義域RRxxR且xk+,kZxxR且xk,kZ值域-1，1x=2k+ 時(shí)ymax=1x=2k- 時(shí)ymin=-1-1,1x=2k時(shí)ymax=1x=2k+時(shí)ymin=-1R無最大值無最小值R無最大值無最小值周期性周期為2周期為2周期為周期為奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在2k-,2k+ 上都是增函數(shù)；在2k+ ,2k+上都是減函數(shù)(kZ)在2k-，2k上都是增函數(shù)；在2k，2k+上都是減函數(shù)(kZ)在(k-，k+)內(nèi)都是增函數(shù)(kZ)在(k，k+)內(nèi)都是減函數(shù)(kZ)7.函數(shù)y=Asin(wx+)的圖像：函數(shù)y=Asin(wx+)的圖像可以通過下列兩種方式得到： 0，圖像左移(1)y=sinx y=sin(x+) 0，圖像右移 w1，橫坐標(biāo)縮短為原來的倍 y=sin(wx+) 0w1，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的倍 A1，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的A倍 y=Asin(wx+) 0A1，縱坐標(biāo)縮短為原來的A倍 w1,橫坐標(biāo)縮短為原來的倍(2)y=sinx 0w1,橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的倍 0，圖像左移y=sin(wx) 0,圖像右移 A1，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來A倍y=sin(wx+) y=Asin(wx+) 0A1，縱坐標(biāo)縮短為原來A倍8.兩角和與差的三角函數(shù)：(1)常用公式：兩角和與差的公式：sin()sincoscossin，cos()=coscossinsin，tg()=倍角公式：sin2=2sincos，cos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2，tg2=.半角公式：sin=,cos=,tg=.積化和差公式：sincos=sin(+)+sin(-),cossin= sin(+)-sin(-)coscos= cos(+)+cos(-),sinsin=- cos(+)-cos(-)和差化積公式：sin+sin=2sincos,sin-sin=2cossin cos+cos=2coscos ,cos-cos=-2sinsin 萬能公式：sin=，cos=,tg=(2)各公式間的內(nèi)在聯(lián)系：(3)應(yīng)注意的幾個(gè)問題：凡使公式中某個(gè)式子沒有意義的角，都不適合公式。靈活理解各公式間的和差倍半的關(guān)系。在半角公式中，根號(hào)前的符號(hào)由半角所在像限來決定。常具的變形公式有：cos=,sin2=,cos2=,tg+tgtg(+)(1-tgtg).asin+bcos=sin(+).(其中所在位置由a，b的符號(hào)確定，的值由tg=確定)。9.解斜三角形：在解三角形時(shí)，常用定理及公式如下表：名稱公式變形內(nèi)角和定理A+B+C=+-，2A+2B2-C余弦定理a2=b2+c2-2bccosAb2=a2+c2-2accosBc2=a2+b2-2abcosCcosA=cosB=cosC正弦定理=2RR為ABC的外接圓半徑a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinCsinA=,sinB=,sinC=射影定理acosB+bcosA=cacosC+cosA=bbcosC+ccosB=a面積公式S=aha=bhb=chcS=absinC=acsinB=bcsinAS=S=(P= (a+b+c)S= (a+b+c)r(r為ABC內(nèi)切圓半徑)sinA=sinB=sinC=10.反三角函數(shù)：名稱反正弦函數(shù)反余弦函數(shù)反正切函數(shù)反余切函數(shù)定義y=sinx(x-, 的反函數(shù)，叫做反正弦函數(shù)，記作x=arsinyy=cosx(x0,)的反函數(shù)，叫做反余弦函數(shù)，記作x=arccosyy=tgx(x(- , )的反函數(shù)，叫做反正切函數(shù)，記作x=arctgyy=ctgx(x(0,)的反函數(shù)，叫做反余切函數(shù)，記作x=arcctgy理解arcsinx表示屬于-,且正弦值等于x的角arccosx表示屬于0，且余弦值等于x的角arctgx表示屬于(-,)，且正切值等于x的角arcctgx表示屬于(0，)且余切值等于x的角圖像性質(zhì)定義域-1，1-1，1(-，+)(-，+)值域-，0，(-，)(0，)單調(diào)性在-1，1上是增函數(shù)在-1，1上是減函數(shù)在(-，+)上是增數(shù)在(-，+)上是減函數(shù)奇偶性arcsin(-x)=-arcsinxarccos(-x)=-arccosxarctg(-x)=-arctgxarcctg(-x)=-arcctgx周期性都不是同期函數(shù)恒等式sin(arcsinx)=x(x-1，1)arcsin(sinx)=x(x-,)cos(arccosx)=x(x-1,1) arccos(cosx)=x(x0,)tg(arctgx)=x(xR)arctg(tgx)=x（x(-,)）ctg(arcctgx)=x(xR)arcctg(ctgx)=x(x(0,)互余恒等式arcsinx+arccosx=(x-1,1)arctgx+arcctgx=(XR)11.三角方程：(1) 最簡(jiǎn)單三角方程的解集：方程方程的解集sinx=aa1a=1xx=2k+arcsina,kza1xx=k+(-1)karcsina,kzcosx=aa1a=1xx=2k+arccosa,kza1xx=2karccosa,kztgx=axx=k+arctga,kzctgx=axx=k+arcctga,kz(2)簡(jiǎn)單三角方程：轉(zhuǎn)化為最簡(jiǎn)單三角方程。三、知識(shí)點(diǎn)、能力點(diǎn)提示三角函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容之一，也是每年高考的必考內(nèi)容，其主要內(nèi)容由以下三部分構(gòu)成：三角函數(shù)的定義，圖像和性質(zhì)；三角恒等變形；反三角函數(shù)。在高考中，第二部分為主要內(nèi)容，進(jìn)行重點(diǎn)考查，當(dāng)然也不放棄前后兩部的考查，對(duì)近幾年高考試題進(jìn)行分析后，可以看出：對(duì)三角函數(shù)的考查主要有兩種方式：?jiǎn)为?dú)考查三角函數(shù)或與其它學(xué)科綜合考查，前一部分通常是容易題或中等題，而后一部分有一定難度。下面對(duì)常見考點(diǎn)作簡(jiǎn)單分析：1.角、三角函數(shù)定義的考點(diǎn)：這是對(duì)三角基礎(chǔ)知識(shí)的直接考查，一般不會(huì)單獨(dú)成題，更多地是結(jié)合其它方面的內(nèi)容(如：三角恒等變形，三角函數(shù)性質(zhì)等)對(duì)多個(gè)知識(shí)點(diǎn)作綜合考查。2.三角函數(shù)圖像的考查：通常有三種方式：由圖像到解析式：由圖像到性質(zhì)；圖像的應(yīng)用。3.三角函數(shù)性質(zhì)的考查(1)定義域和值域：(2)周期性：通常結(jié)合恒等變形考查如何求三角函數(shù)的最小正周期，或考查與周期性相關(guān)的問題，如：設(shè)f(x)是(-，+)上的奇函數(shù)，f(x+2)=-f(x)，當(dāng)0x1時(shí)，f(x)=x，則f(7.5)=( )(3)單調(diào)性：通常以處理最值問題的形式出現(xiàn)，總與恒等變形聯(lián)系在一起，一般地二次函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)等的最值問題相結(jié)合。4.三角恒等變形：以化簡(jiǎn)、求值、證明等各種題型出現(xiàn)，以題中通?？疾楹?、差、倍、半各公式的運(yùn)用，大題中通?？疾楹头e互化公式的運(yùn)用，這是三角函數(shù)的重要內(nèi)容。5.反三角函數(shù)：對(duì)這部分的考查多屬于容易題或中檔題，重點(diǎn)是反三角函數(shù)的定義和性質(zhì)。6.代數(shù)、三角、解幾、立幾，不等式等的綜合考查。進(jìn)行三角恒等變形是處在三角問題最常用的技能，下面分析幾種常見的解題思路：1.角的變換：觀察各角之間的和、差、倍、半關(guān)系，減少角的種類，化異角為同角。2.函數(shù)名的變換：觀察、比較題設(shè)與結(jié)論之間，等號(hào)的左右兩邊的函數(shù)名差異，化異名為同名。3.常數(shù)的變換：常用方式有1=sin2+cos2=sec2-tg2=tg,=sin等。4.次數(shù)的變化：常用方式是升次或降次：主要公式是二倍角的余弦公式及其逆向使用。5.結(jié)構(gòu)變化：對(duì)條件，結(jié)論的結(jié)構(gòu)施行調(diào)整，或重新分組，或移項(xiàng)，或變除為乘，或求差等6.和積互化：這既是一種基本技能，也是一種常見解題思路，且應(yīng)用比較廣泛。7.綜合運(yùn)用上述各種方式。例1 sin600的值是( )A. B.- C. D.- 解：sin600=sin(360+240)=sin240=sin(180+60)=-sin60=-應(yīng)選D.例2 已知sin+cos=,(0,),則ctg的值是_.解:sin+cos=(sin+cos)2=()2sincos=-.sin和cos是方程t2-t-=0,即方程25t2-5t-12=0的兩根.25t2-5t-12=(5t+3)(5t-4)=0的兩根為t1=,t2=-.(0.) sin0.sin= ,從而cos=-,ctg=.=-.應(yīng)填- .例3 tg20+tg40+tg20tg40的值是_.解：=tg60=tg(20+40)=,tg20+tg40= (1-tg20tg40).原式=(1-tg20tg40)+ tg20tg40).=應(yīng)填.例4 求值：coscos=_.解：coscos=(cos+cos)= (-+0)=-.例5 關(guān)于函數(shù)f(x)=4sin(2x+) (xR),有下列命題：由f(x1)=f(x2)=0可得x1-x2必是的整數(shù)倍；y=f(x)的表達(dá)可以改寫為y=4cos(2x-)；y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(- ,0)對(duì)稱；y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=-對(duì)稱；其中正確命題的序號(hào)是_.(注：把你認(rèn)為正確的命題序號(hào)都填上)解：分別討論四個(gè)命題.令4sin(2x+)=0,得2x+=k (kZ),x=- (kZ),設(shè)x1=-,x2=- ,k1k2,k1,k2Z,則f(x1)=f(x2)=0,但x1-x2=(k1-k2),當(dāng)k1-k2為奇數(shù)時(shí)，x1-x2不是的整數(shù)倍命題不正確.y=f(x)=4sin(2x+)=4cos-(2x+)=4cos(-2x+)=4cos(2x-)命題正確根據(jù)2x+02X-Y040-40作出y=f(x)=4sin(2x+)的草圖，如圖由圖知，f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(-，0)對(duì)稱，命題正確由圖知，y=f(x)的圖像不關(guān)于直線x=-對(duì)稱命題不正確應(yīng)填、例6 函數(shù)y=sin(x-)cosx的最小值是_.解：利用積化和差公式(注：今后高考試卷中會(huì)印寫公式)，得y=sin(2x-)+sin(-)= sin(2x-)-.sin(2x- )-1,1,ymin=-.應(yīng)填-.例7 y= +sin2x,則y的最小值是_.解：利用3倍公式：sin3x=3sinx-4sin3x,cos3x=4cos3x-3cosx.y=+sin2x=+sin2x=+sin2x=+sin2x=+sin2x= +sin2x=cos2x+sin2x=sin(2x+)ymin=-.應(yīng)填- 例8 在直角三角形中，兩銳角為A和B，則sinAsinB( )A.有最大值和最小值0B.有最大值但無最小值C.既無最大值也無最小值D.有最大值1但無最小值解：A+B=.sinAsinB=sinAcosA=sin2A,A(0, )2A(0,)sinAcosA有最大值但無最小值.應(yīng)選B.例9 求函數(shù)y=sin2x+2sinxcosx+3cos2的最大值解：2sinxcosx=sin2x,sin2x+cos2x=1,cos2x=y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=(sin2x+cos2x)+2sinxcosx+2cos2x=1+sin2x+2 =sin2x+cos2x+2=(sin2xcos+cos2xsin)+2= sin(2x+)+2當(dāng)2x+=+2k時(shí),ymax=2+ 即x=+K(KZ)，y的最大值為2+例10 已知是第三象限角，且sin=-則tg=( )A. B. C.- D.- 解：sin=,sin=-,-=.化簡(jiǎn)得12tg2+25tg +12=0，即(4tg+3)(3tg+4)=0.解出tg =-,tg =- .又已知是第三象限角，即(+2k，+2k)，+k，+k)，tg (-，-1)，tg =- (舍去tg=-1).應(yīng)選D.例11 sin220+cos280+sin20cos80=_.解：sina220+cos280+sin20cos80=+2sin20cos80=1-(cos40+cos20)+ (sin100-sin60)=1-cos30cos10+ cos10-=應(yīng)填.例12 求sin220+cos250sin20cos50的值_.解:sin220+cos250+sin20cos50=sin220+sin240+sin20sin40=(sin20+sin40) 2-sin20sin40=(2sin30cos10) 2+ (cos60-cos20)=+ (-cos20)=應(yīng)填.例13 tg20+4sin20=_.解：tg20+4sin20=.例14 cos275cos215cos75cos15的值等于( )A. B. C. D.1+解：cos275+cos215cos75cos15=(sin215+cos215)+sin15=1+=.應(yīng)選C.例15 已知ctg=3,則cos=_.解：由已知有tg=.cos=.例16 已知tgA+ctgA=m,則sin2A_.解：tgA+ctgA=mtg2A+1=mtgAsin2A= =.例17 已知sinA+sin3A+sin5A=a,cosA+cos3A+cos5A=b.(1)b0時(shí)，求tg3A的值(用a、b表示)；(2)求(1+2cos2A)2（用a、b表示）.解：(1)利用和差化積公式可得：a=sin3A(1+2cos2A),b=cos3A(1+2cos2A),tg3A=.(2)由上可知ab=sin3Acos3A(1+2cos2A)2(1+2cos2A) 2=.又sin6A= =,(1+2cos2A)2=a2+b2.例18 一個(gè)直角三角形三內(nèi)角的正弦值成等比數(shù)列，其最小內(nèi)角為( )A.arcos B.arcsinC.arccos D.arcsin 解：不妨設(shè)此直角三角形三內(nèi)角為A、B、C且ABC=90.由已知，sinA,sinB,sin90=1成等比數(shù)列，sin2B=sinA又A+B=90，得sinB=cosA,cos2A=sinA,1-sin2A=sinA，即sin2A+sinA-1=0.解出sinA= (舍去sinA=)A=arcsin ,應(yīng)選B.例19 如圖，若sin2xcos2x，則x的取值范圍是( ). A. x2k-x2k+,kZB. x2k+x2k+,kZC. xk-xk+,kZD. xk+xk+,kZ解：由于sin2x和cos2x的周期都是，故可先研究在0,上不等式的解.在同一坐標(biāo)系在區(qū)間0，上作出sinx和cosx的圖像.把，的cosx的圖像沿x軸上翻后，求出兩曲線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1=,x2.在(+2k，+2k)上有sin2xcos2x.應(yīng)選D.例20 下列四個(gè)命題中的假命題是( )A.存在這樣的和的值，使得cos(+)=coscos+sinsinB.不存在無窮多個(gè)和的值，使得cos(+)=coscos+sinsinC.對(duì)于任意的和，使得cos(+)=coscos-sinsinD.不存在這樣的和的值，使得cos(+)coscos-sinsin解：C是兩角和的余弦展開公式，當(dāng)然正確，從而D也正確.對(duì)于A，取=0，則cos(0+0)=cos0cos0+sin0sin0,A正確.對(duì)于B，取=2k，kZ，則cos(2k+cos2k)=cos2kcos2k+sin2ksin2k,B.不正確.應(yīng)選B.例21 解不等式(arctgx) 2-3arctgx+20.解：(arctgx)-1(arctgx)-20.arctgx1或arctgx2.又-arctgx .-arctgx1,即有-xtg1.例22 滿足arccos(1-x)arccosx的x的取值范圍是( )A.-1,- B.-,0C.0, D.,1解：反余弦函數(shù)的定義域?yàn)?1,1,且為減函數(shù). -11-x1 -1x1 x1 1-xx應(yīng)選D.例23 已知cos2=,(0,),sin=-,(, )求+(用反三角函數(shù)表示).解：由題設(shè)得sin=,從而cos=,且cos=-又+(,2)(+-)(0,),cos(+)=coscos-sinsin=-.cos(+-)=cos-(+)=- .-+(+)=arccos 即+=+arccos 例24 記函數(shù)y=的圖像為l1，y=arctgx的圖像為l2，那么l1和l2的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是( )A.無窮多個(gè) B.2個(gè) C.1個(gè) D.0個(gè)解：作出函數(shù)草圖可知有2個(gè)交點(diǎn).又x:0時(shí),arctgx:0+, :+0.x0時(shí)，l1和l2有一個(gè)交點(diǎn).又arctgx和都是奇函數(shù)，x0時(shí)，l1和l2也有一個(gè)交點(diǎn).應(yīng)選B.四、能力訓(xùn)練1.設(shè)M第一像限角，N小于90角，則MN是( )(A)第一像限角 (B)銳角 (C)小于90角 (D)非以上答案(考查象限角的概念)2.扇形圓心角為60，半徑為a，則扇形內(nèi)切圓面積與扇形面積之比是( )(A)13 (B)23 (C)43 (D)49(考查扇形面積公式)3.是第四象限角，且coscos，則在( )(A)第一象限 (B)第四象限 (C)第一四象限 (D)第二、三象限(考查象限角與三角函數(shù)值的符號(hào))4.sin21+sin22+sin290的值屬于區(qū)間( )(A)（43，44） (B)（44，45） (C)（45，46） (D)（46，47）(考查同角三角函數(shù)的關(guān)系及三角函數(shù)的有界性)5.已知角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸正半軸重合，終邊為射線4x+3y=0(x0)，則sin(sin+ctg)+cos2的值是( )(A) (B) (C) (D) (考查三角函數(shù)定義和直線方程)6.己知0a1，則下列元數(shù)M=(sin)logasin,N=(cos)logcos,P=(cos)logasin的大小關(guān)系是( )(A)MNP (B)MPN (C)MNP (D)MPN(考查對(duì)數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，同角三角函數(shù)關(guān)系)7.若f(sinx)=sin3x,則cos3x等于( )(A)f(cosx) (B)-f(cosx) (C)f(sinx) (D)-f(sinx)(考查誘導(dǎo)公式與函數(shù)解析式)8.方程sinx=lgx的實(shí)根個(gè)數(shù)是( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)以上都錯(cuò)(考查三角函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像)9.函數(shù)y=sin(2x+)的圖像中的一條對(duì)稱軸方程是( )(A)x=- (B)x=- (C)x= (D)x=(考查三角函數(shù)圖像的特征)10.如圖是周期為2的三角函數(shù)y=f(x)的圖像，那么f(x)的解析式可以寫成( )(A)f(x)=sin(1+x)(B)f(x)=-sin(1+x)(C)f(x)=sin(x-1)(D)f(x)=sin(1-x)(考查三角函數(shù)的圖像與解析式)11.對(duì)于函數(shù)y=cos(sinx)，正確的命題是( )(A)它的定義域是-1，1(B)它是奇函數(shù)(C)ycos1,1(D)不是周期函數(shù)(考查三角函數(shù)有關(guān)性質(zhì)及弧度制)12.函數(shù)y=tg-的最小正周期是( )(A) (B) (C) (D)2 (考查三角函數(shù)的周期和恒等變形)13.函數(shù)y=cscxcos3x-cscxcos5x是( )(A)周期為的奇函數(shù) (B)周期為的偶函數(shù)(C)周期為的奇函數(shù) (D)周期為的偶函數(shù)(考查三角函數(shù)的性質(zhì)，同角三角函數(shù)關(guān)系)14.若a=sin14+cos14，b=sin16+cos16，則下列不等式中成立的是( )(A)ab (B)ab (C)ab (D)ba(考查輔助角公式，三角函數(shù)的單調(diào)性)15.下列四個(gè)命題中的假命題是( )(A)存在這樣的和的值，使得cos(+)=coscos+sinsin(B)不存在無窮多個(gè)和的值，使得cos(+)=coscos+sinsin(C)對(duì)于任意的和，都有cos(+)=coscos-sinsin(D)不存在這樣的和的值，使得cos(+)coscos-sinsin(考查公式的記憶，理解和邏輯語(yǔ)言的理解)16.tg、tg是方程7x2-8x+1=0的二根，則sin2(+)-sin(+)cos(+)+cos2(+)的值是( )(A) (B) (C) (D) (考查兩角和的正切公式，同角三角函數(shù)關(guān)系及有關(guān)求值)17.sin(+)=-，sin(-)= ，且-(，)，+(，2)。則cos2( )(A)-1 (B)1 (C) (D)-(考查同角三角函數(shù)關(guān)系，兩角差的余弦公式)18.若ctgx=3，則cos2x+sin2x的值是( )(A)- (B)- (C) (D)(考查同角三角函數(shù)關(guān)系，半角公式，萬能公式)19.tg9-tg27+tg63+tg81的值為( )(A)-4 (B)4 (C)2 (D)-2(考查同角三角函數(shù)關(guān)系，倍角公式，和積互化公式)20.在ABC中，(1)已知tgA= sinB=，則C有且只有一解，(2)已知tgA=,sinB=,則C有且只有一解，其中正確的是( )(A)只有(1) (B)只有(2) (C)(1)與(2)都正確 (D)(1)與(2)均不正確(考查綜合有關(guān)公式，靈活處理三角形中的計(jì)算)21.在ABC中，若a，b，c為A，B，C的對(duì)邊，且cos2B+cosB+cos(A-C)=1，則( )(A)a，b，c成等差數(shù)列 (B)a，c，b成等差數(shù)列(C)a，c，b成等比數(shù)列 (D)a，b，c成等比數(shù)列(考查三角形的內(nèi)角和定理，正弦定理，和差化積，倍角公式，兩個(gè)基本數(shù)列)22.給出下列四個(gè)命題：若sin2A=sin2B，則ABC是等腰三角形；若sinA=cosB，則ABC是直角三角形；若sin2A+sin2B+sin2C2，則ABC是鈍角三角形；若cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1，則ABC是等邊三角形，以上命題正確的個(gè)數(shù)是( )(A)1個(gè) (B)2個(gè) (C)3個(gè) (D)4個(gè)(考查靈活運(yùn)用公式判斷三角形形狀和判斷正誤的能力)23.函數(shù)y=cosx(x2)的反函數(shù)是( )(A)y=+arccosx (B)y=-arcsinx(C)y=+arcsinx (D)y=-arccosx(考查反函數(shù)的求法，誘異公式，反三角弦函數(shù)定義)24.下列各組函數(shù)中表示同一函數(shù)的一組是( )(A)y=arcsin(cosx)與y=arccos(sinx)(B)y=sin(arccosx)與y=cos(arcsinx)(C)y=arctgx與y=arcctg(D)y=sin(arcsinx)與y=tg(arctgx)(考查有關(guān)反三角恒等式及其運(yùn)算，函數(shù)的定義)25.設(shè)m=arcsin,n=arccos,p=arctg，則m，n，p的大小關(guān)系是( )(A)pnm (B)nmp (C)pmn (D)mnp(考查反三角函數(shù)的運(yùn)算及其單調(diào)性)26.設(shè)函數(shù)y=2arcsin(cosx)的定義域?yàn)?-，)，則其值域是( )(A)( ，) (B)( ，)(C)(- ，) (D)(- ，)(考查三角函數(shù)與反三角函數(shù)的定義域和值域)27.函數(shù)y=logsinx(2cosx+1)的定義域是_。(考查函數(shù)定義域的求法，數(shù)形結(jié)合解三角不等式)28.f(x)=sinx-sinx的值域是_(考查絕對(duì)值定義，誘異公式，正弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖，函數(shù)值域)29.把y=sinx的圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的(縱坐標(biāo)不變)。然后將新得圖像向左平移單位，這樣得到的圖像的解析式是_。(考查三角函數(shù)圖像的變換)30.若函數(shù)y=sin(x+)+cos(x+)是偶函數(shù)，則的值是_。(考查函數(shù)的奇偶性，三角恒等變形，最簡(jiǎn)單三角方程)31：(1)tg70+tg50-tg70tg50=_(2)ABC中，(1+tgA)(1+tgB)=2，則log2sinc=_(3)(1+tg1)(1+tg2)(1+tg3)(1+tg45)=_(4)己知tgA+tgB+=tgAtgB，且sinAcosB=，則ABC的形狀是_(5)己知A、C是銳角ABC的兩個(gè)內(nèi)角，且tgA,tgC是方程x2-px+1-p0(p0，且pR)，的兩個(gè)實(shí)根，則tg(A+C)=_，tgA,tgC的取值范圍分別是_和_，P的取值范圍是_(考查兩角和的正切公式的變形運(yùn)用，倍角公式，韋達(dá)定理，對(duì)數(shù)值計(jì)算)32.函數(shù)y=cosx-1(0x2)的圖像與x軸所圍成圖形的面積是_。(考查三角函數(shù)圖形的對(duì)稱變換)33.函數(shù)y=arcsin+arctgx的值域是_(考查反三角函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性)34.關(guān)于函數(shù)f(x)=4sin(2x+)(xR)，有下列命題由f(x1)=f(x2)=0，可得x1-x2必是的整數(shù)倍；y=f(x)的表達(dá)式可改寫為y=4cos(2x-)；y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(-，0)對(duì)稱；y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=-對(duì)稱其中正確命題的序號(hào)是_(考查簡(jiǎn)單三角方程，誘導(dǎo)公式，圖像的對(duì)稱性)35.設(shè)三角函數(shù)f(x)=sin(+)，其中k0(1)寫出f(x)的極大值M，極小值m，最小正周期T。(2)試求最小的正整數(shù)k，使得當(dāng)自變量x在任意兩個(gè)整數(shù)間(包括整數(shù)本身)變化時(shí)，函數(shù)f(x)至少有一個(gè)值是M與一個(gè)值m，(考查三角函數(shù)的最值、周期，以及分析問題、解決問題的能力)36.己知x+=2cos，試求xn+(nN)的值(結(jié)合三角函數(shù)，考查數(shù)學(xué)歸納法，增量法)37.求值：(1) (2)sec50+tg10(考查同角三角函數(shù)關(guān)系，倍角公式，輔助角公式，和差化積等)38.解答下列各題：(1)己知A、B均為鈍角，且sinA=,sinB=,求A+B(2)己知、(0,),且tg(-)=,tg=-,求2-(3)己知、都是銳角，且3sin2+2sin2=1，3sin2-2sin2=0，求證：+2=(4)求證：arcsin+arcsin(-)arcsin(考查如何求角，如何證明關(guān)于角的等式)39.根據(jù)下列所給條件，分別求出cos(+)的值：(1)己知sin-sin=，cos-cos=(2)己知、是方程2cosx-sinx+b=0的兩個(gè)根(2k+,kz)；(3)己知z1=cos+isin，z2=cos+isin，z1-z2=+i；(4)己知直線y=2x+m與圓x2+y2=1有兩個(gè)公共點(diǎn)M，N，且x軸正半軸逆轉(zhuǎn)到兩射線OM，ON(O為原點(diǎn))的最小正角依次為、(考查三角與方程、復(fù)數(shù)、解幾的聯(lián)系，萬能公式的運(yùn)用)40.解答下列各題：(1)銳角ABC中，求證：sinA+sinB+sinCcosA+cosB+cosC(2)銳角ABC中，求證：tgAtgBtgC1(3)、0，己知+=2，求證：+=(考查三角函數(shù)的單調(diào)性)41.解答下列各題：(1)若y=acosx+b的最大值是1，最小值是-7，求acosx+bsinx的最大值。(2)求y=的最值(3)設(shè)函數(shù)y=-2sin2x-2cosx-2a+1的最小值是f(a)，寫出f(a)的表達(dá)式；試確定能使f(a)= 的a的值。(4)求f(x)=的值域(5)求y=2sinxsin2x的最大值(6)若為鈍角，求y=+(ab0)的最小值(7)己知sinxsiny=，求cosxcosy的取值范圍(8)己知3sin2+2sin2=2sin，求cos2+cos2的最值(考查三角函數(shù)常見最值的求法)42.a、b、c是ABC的三邊，求證：=(考查三角形中恒等式的證明)43.在ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，設(shè)a+c=2b，A-C，求sinB的值。(考查三角形中的有關(guān)計(jì)算)44.在ABC中，sinAcosB-sinB=sinC-sinAcosC,若ABC的周長(zhǎng)為12，求其面積的最大值。(考查三角形中的最值問題)45.己知f(x)=tgx,x(0,)，若x1,x2(0, )，且x1x2，證明：f(x1)+f(x2)f() (綜合考查三角函數(shù)與不等式)46.己知實(shí)數(shù)x，y滿足x +y =1，問x2+y2是否為定值?若是，請(qǐng)求該值：否則求其取值范圍。(考查代數(shù)與三角的綜合題)47.在高出地面30m的小山頂C處建造一座電視塔CD(如圖)，今在距離B點(diǎn)60m的地面上取一點(diǎn)A，若測(cè)得CD對(duì)A所張的角為45，求電視塔的高度。(考查應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)處理實(shí)際問題的能力)48.如圖，海中小島A周圍20海里內(nèi)有暗礁，船向正南航行，在B處測(cè)得小島A在船的角偏東30，在C處測(cè)得A在船的南偏東60，如果此船不改變航向，有無觸礁的危險(xiǎn)?(考查應(yīng)用正弦定理處理實(shí)際問題的能力)49.外國(guó)船只，除特許者外，不得進(jìn)入離我海岸線D里以內(nèi)的區(qū)域，設(shè)A，B是我們的觀測(cè)站，A與B間的距離是S里，海岸線是過A，B的直線，一外國(guó)船只在P點(diǎn)，在A處測(cè)得BAP=，同時(shí)在B處測(cè)得ABP=，問及滿足什么三角不等式時(shí)，就應(yīng)當(dāng)問這艘未經(jīng)特許的外國(guó)船發(fā)出警告，命令退出我海域?(考查靈活應(yīng)用三角知識(shí)處理實(shí)際問題的能力)50.半圓O的直徑為2，A為直徑延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，OA=2，B為半圓周長(zhǎng)的動(dòng)點(diǎn)，以AB為邊，向形外作等邊ABC，問B點(diǎn)在什么位置時(shí)，四邊形OACB的面積最大?并求出這個(gè)最大值。(考查分析問題和解決問題的能力)51.己知半徑為1，圓心角為的扇形，求一邊在半徑上的扇形的內(nèi)接矩形的最大面積。(考查三角函數(shù)在圓形最值中的運(yùn)用)52.腰為a的等腰ABC中，A=90，當(dāng)A，B分別在x軸，y軸正半軸上移動(dòng)，且點(diǎn)C與原點(diǎn)O在AB的兩側(cè)時(shí)，求OC長(zhǎng)的最大值。(綜合考查三角、解幾、最值問題)53.如圖所示，水渠橫斷面為等腰梯形，渠深為h，梯形面積為S，為使渠道的滲水量達(dá)到最小，應(yīng)使梯形兩腰及下底邊長(zhǎng)之和最小，問此時(shí)腰與下底夾角應(yīng)該是多少?(考查代數(shù)與三角的綜合)54.用一塊長(zhǎng)為a，寬為b(ab)的矩形木塊，在二面角為的墻角處圍出一個(gè)直三棱柱的儲(chǔ)物倉(cāng)(使木板垂直于地面的兩邊緊貼墻面，另一邊與地面緊貼)試問，怎樣圍才能使儲(chǔ)物倉(cāng)的容積最大?并求出這個(gè)最大值(考查代數(shù)、三角、立幾的綜合運(yùn)用)55.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，在y軸的正半軸上給定兩點(diǎn)A，B，試在x軸正半軸上求一點(diǎn)C，使ACB最大。(考查代數(shù)，三角，解幾的綜合運(yùn)用)能力訓(xùn)練參考答案1.D 2.B 3.B 4.C 5.C 6.B 7.B 8.C 9.B 10.D 11.C 12.B 13.C 14.B 15.B 16.C 17.A 18.D 19.B 20.B 21.D 22.B 23.C 24.B 25.D 26.D27.x2kx2k+，且x2k+，kz 28.-2，2 29.y=sin(2x+) 30.=k+ (kz) 31.(提示：應(yīng)用公式tg+tgtg(+)(1-tgtg)(1)- (2)- (3)223(提示：用(2)的結(jié)論) (4)正三角形 (5) ；(0，)；(0，)；，1) 32.2 33.0， 34. 35.(1)M=1,m=-1，T= (2)k=32 (提示：令T1)36.2cosn方法(一)：用數(shù)學(xué)歸納法方法(二)：設(shè)x=cos+t,則=cos-tt2=-sin2于是取t=isin x=cos+isin 代入即可37.(1)-4 (2) 38.(1)A+B(0，)，sin(A+B)=1 A+B=(2)tg=tg(+)-=(0,1) (0,) tg=-(-1,0) (,)2-(-,- ) 又tg(2+)=tg+(-)=1 2-=-(3)+2(0，) sin(+2)1 +2=(4)arcsin+arcsin(-)(-，)， arcsin(0, ) 又兩邊正弦相等等式成立。39.提示：?jiǎn)栴}都可歸結(jié)為tg=-cos(+)= 40.提示：(1)(2)A+B A-B0 sinAsin(-B)cosB同理：sinBcosC,sinCcosA(3)顯然：,必定一個(gè)大于1，一個(gè)不小于1，不妨設(shè)sin2cos2 sin2cos2 + + +41.(1)5 (2)ymax=，ymin=(提示：有三種解法：萬能公式，解析法：轉(zhuǎn)化為asinx+bcosx=c(處理) 1 (a-2)(3)f(a)= -2a-1 (-2a2 1-4a (a2)a=-1(提示：通過換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題)(4)-,-1(-1, (5)y=4sin2xcosx y2=8sin2xsin2x2cos2x8()2ymax= (6)y=a2(1+tg2)+b2(1+ctg2)=a2+b2+(a2tg2+b2ctg2)(a+b)2ymin=(a+b)2 (7)設(shè)cosxcosy=M,則M+=cos(x-y)-1,1 M-cos(x+y)-1，1M-， (8)cos2+cos2= (sin-)2+ 又sin2=sin-sin20，1sin0, (cos2+cos2)max=2，(cos2+cos2)min=42.提示：左=右43.44.由條件可知cosA=0 A= 12=b+c+2+=6(2-) Smax=108-7245.分析：1+cos(x1+x2)2cosx1cosx2cos(x1-x2)146.設(shè)x=cos，y=cos(,0,),則sin(+)=1，+ x2+y2=147.150m48.A離航向所在直線的距離為1520繼續(xù)航行沒有觸礁的危險(xiǎn)49.設(shè)P到AB的距離為d，則S=d(ctg+ctg)當(dāng)dD，即ctg+ctg時(shí)，應(yīng)向外國(guó)船發(fā)出警告。50.設(shè)AOB=(0180，則S=+2sin(-60)=150時(shí)，Smax=2+51.設(shè)BOC=，則S(cos(2-)-)時(shí)，Smax=52.設(shè)BAO=，則OC2=a2(+sin2+cos2)OCmax=-a53.三邊之和l=+h=30時(shí)，lmin=+h54.設(shè)木板在地面上的兩頂點(diǎn)在墻角的距變分別是x、y(1)若長(zhǎng)邊緊貼地面，則a2=x2+y2-2xycos2xy(1-cos)此時(shí)Vmax=a2bctg=V1(2)若短邊緊貼地面，則b2=x2+y2-2xycos2xy(1-cos) 此時(shí)Vmax=b2actg=V2ab0 V1V2當(dāng)長(zhǎng)邊緊貼地面，且倉(cāng)的底面是以a為底邊的等腰三角形時(shí)容積最大，最大值為a2bctg55.設(shè)A(0,a),B(0,b),C(x,0) 則tgACB=tg(ACO-BCO)=當(dāng)x=時(shí)，(ACB)max=arctg