第第39課時課時 相似形的應(yīng)用相似形的應(yīng)用考點管理考點管理1觀察者眼睛的位置叫做視點，從視點出發(fā)經(jīng)過觀察者眼睛的位置叫做視點，從視點出發(fā)經(jīng)過觀察點的射線叫做視線，兩條視線的夾角叫做視角；觀察點的射線叫做視線，兩條視線的夾角叫做視角；觀察者看不見的區(qū)域叫做盲區(qū)觀察者看不見的區(qū)域叫做盲區(qū)2幾何圖形的證明與計算常見問題：包括計算線幾何圖形的證明與計算常見問題：包括計算線段的數(shù)量關(guān)系，求線段的長度，圖形的面積大小等段的數(shù)量關(guān)系，求線段的長度，圖形的面積大小等等等解法：首先根據(jù)題中的條件，構(gòu)造出相似三角形，解法：首先根據(jù)題中的條件，構(gòu)造出相似三角形，再利用相似三角形的性質(zhì)解答再利用相似三角形的性質(zhì)解答1小明在一次軍事夏令營活動中，進(jìn)行打靶訓(xùn)練，小明在一次軍事夏令營活動中，進(jìn)行打靶訓(xùn)練，在用槍瞄準(zhǔn)目標(biāo)點在用槍瞄準(zhǔn)目標(biāo)點B時，要使眼睛時，要使眼睛O，準(zhǔn)星，準(zhǔn)星A，目標(biāo)，目標(biāo)B在同在同一條直線上，如圖一條直線上，如圖391所示，在射擊時，小明有輕微的所示，在射擊時，小明有輕微的抖動，致使準(zhǔn)星抖動，致使準(zhǔn)星A偏離到偏離到A，若，若OA0.2米，米，OB40米，米，AA0.001 5米，則小明射擊到的點米，則小明射擊到的點B偏離目標(biāo)點偏離目標(biāo)點B的長的長度度BB為為( )圖圖391BA3米米 B0.3米米C0.03米米 D0.2米米22010樂山樂山某校數(shù)學(xué)興趣小組為測量學(xué)校旗桿某校數(shù)學(xué)興趣小組為測量學(xué)校旗桿AC的高度，在點的高度，在點F處豎立一根長為處豎立一根長為1.5米的標(biāo)桿米的標(biāo)桿DF，如圖，如圖392所示，量出所示，量出DF的影子的影子EF的長度為的長度為1米，再量出旗桿米，再量出旗桿AC的影子的影子BC的長度為的長度為6米，那么旗桿米，那么旗桿AC的高度為的高度為 ( )A6米米B7米米C8.5米米D9米米D 圖圖392 圖圖39332010衡陽衡陽如圖如圖393，已知零件的外徑為，已知零件的外徑為25 mm，現(xiàn)用一個交叉卡鉗，現(xiàn)用一個交叉卡鉗(兩條尺長兩條尺長AC和和BD相等，相等，OCOD)量零件的內(nèi)孔直徑量零件的內(nèi)孔直徑AB.若若OC OA1 2，量得，量得CD10 mm，則零件的厚度，則零件的厚度x_mm.2.54如圖如圖394，陽光通過窗口照射到室內(nèi)，陽光通過窗口照射到室內(nèi)(太陽光線太陽光線是平行光線是平行光線)，在地面上留下，在地面上留下2.7 m寬的亮區(qū)，已知亮區(qū)到寬的亮區(qū)，已知亮區(qū)到窗口下墻腳的距離窗口下墻腳的距離EC8.7 m，窗口高，窗口高AB1.8 m，求窗，求窗口底邊離地面的高口底邊離地面的高BC. 圖圖394解解：AEBD，AECBDC.又又CC，AECBDC，BC4(m)歸類探究歸類探究類型之一利用相似測量物體的高（寬）度類型之一利用相似測量物體的高（寬）度 2012北京北京如圖如圖395，小明同學(xué)用自，小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板制的直角三角形紙板DEF測量樹的高度測量樹的高度AB，他調(diào)整自，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且邊保持水平，并且邊DE與點與點B在同一直線上，已知紙板的兩條直角邊在同一直線上，已知紙板的兩條直角邊DE40 cm，EF20 cm，測得邊，測得邊DF離地面的高度離地面的高度AC1.5 m，CD8 m，則樹高，則樹高AB_m.5.5圖圖395【解析解析】 DEFDCB90，DD，DEFDCB，DE40 cm0.4 m，EF20 cm0.2 m，AC1.5 m，CD8 m，BC4，ABACBC1.545.5 (m)類型之二利用相似解決生活實際問題類型之二利用相似解決生活實際問題 2012江西江西小紅家的陽臺上放置了一個小紅家的陽臺上放置了一個曬衣架，如圖曬衣架，如圖396(1)如圖如圖396(2)是曬衣架的側(cè)面是曬衣架的側(cè)面示意圖，立桿示意圖，立桿AB，CD相交于點相交于點O, B，D兩點立于地面，兩點立于地面，經(jīng)測量：經(jīng)測量： ABCD136 cm，OAOC51 cm，OEOF34 cm，現(xiàn)將曬衣架完全穩(wěn)固張開，扣鏈，現(xiàn)將曬衣架完全穩(wěn)固張開，扣鏈EF成一成一條線段，且條線段，且EF32 cm. (1) (2)圖圖396(1)求證：求證：ACBD；(2)求扣鏈求扣鏈EF與立桿與立桿AB的夾角的夾角OEF的度數(shù)的度數(shù)(精確到精確到0.1)；(3)小紅的連衣裙穿在衣架后的總長度達(dá)到小紅的連衣裙穿在衣架后的總長度達(dá)到122 cm，垂掛在曬衣架上是否會拖落到地面？請通過計算說明理垂掛在曬衣架上是否會拖落到地面？請通過計算說明理由由(參考數(shù)據(jù)：參考數(shù)據(jù)：sin61.90.882，cos61.90.471，tan28.10.534，可使用科學(xué)計算器，可使用科學(xué)計算器)解解：(1)證法一：證法一：AB，CD相交于點相交于點O，AOCBOD.OAOC，OACOBD, ACBD.證法二：證法二：ABCD136 cm，OAOC51 cm，OBOD85 cm，又又AOCBOD，AOCBOD，OACOBD, ACBD. (2)在在OEF 中，中，OEOF34 cm，EF32 cm，作作OMEF于點于點M，如答圖，則，如答圖，則EM16 cm，用科學(xué)計算器求得用科學(xué)計算器求得OEF61.9.(3)解法一：小紅的連衣裙垂掛在曬衣架上會拖落到解法一：小紅的連衣裙垂掛在曬衣架上會拖落到地面理由如下：地面理由如下： 在在RtOEM 中，中，同同(1)可證可證 EFBD，ABDOEF，過點過點A作作AHBD于點于點H，則則RtOEMRtABH，小紅的連衣裙垂掛在曬衣架后總長度小紅的連衣裙垂掛在曬衣架后總長度122 cm曬曬衣架高度衣架高度AH120 cm, 小紅的連衣裙垂掛在曬衣架上會拖落到地面小紅的連衣裙垂掛在曬衣架上會拖落到地面解法二：小紅的連衣裙垂掛在曬衣架上會拖落到地解法二：小紅的連衣裙垂掛在曬衣架上會拖落到地面理由如下：面理由如下：同同(1)可證：可證： EFBD，ABDOEF61.9，過點過點A作作AHBD于點于點H，在，在RtABH中，中，AHABsinABD136sin61.91360.882120.0.小紅的連衣裙垂掛在曬衣架后總長度小紅的連衣裙垂掛在曬衣架后總長度122 cm曬衣架高度曬衣架高度AH120 cm，小紅的連衣裙垂掛在曬衣架上會拖落到地面小紅的連衣裙垂掛在曬衣架上會拖落到地面 例例2答圖答圖類型之三相似三角形與其他知識的綜合運用類型之三相似三角形與其他知識的綜合運用2012南充南充如圖如圖397，矩形，矩形ABCD中，中，AB2AD，E為為AD的中點，的中點，EFEC交交AB于點于點F，連結(jié)，連結(jié)FC.(1)求證：求證：AEFDCE；(2)求求tanECF的值的值 圖圖397【解析解析】 (1)由四邊形由四邊形ABCD是矩形，是矩形，EFEC，易得，易得AD90，AFEDEC，由有兩組角對應(yīng)相，由有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，即可判定等的兩個三角形相似，即可判定AEFDCE；(2)由由AEFDCE和三角函數(shù)的概念求解和三角函數(shù)的概念求解. 解解：(1)證明：在矩形證明：在矩形ABCD中，中，AD90.EFEC，F(xiàn)EC 90.FEACED90.FEAEFA90，EFACED.AEFDCE.(2)AB2AD，E為為AD的中點，的中點，【點悟點悟】 此類問題一般涉及到相似三角形的判定此類問題一般涉及到相似三角形的判定與性質(zhì)，特殊四邊形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的定義與性質(zhì)，特殊四邊形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的定義等常常用到數(shù)形結(jié)合思想，分類討論思想等等常常用到數(shù)形結(jié)合思想，分類討論思想等2012株洲株洲如圖如圖398，在矩形，在矩形ABCD中，中，AB6，BC8，沿直線，沿直線MN對折，使對折，使A，C重合，直線重合，直線MN交交AC于于O.(1)求證：求證：COMCBA；(2)求線段求線段OM的長度的長度圖圖398解解：(1)證明：證明：A與與C關(guān)于直線關(guān)于直線MN對稱，對稱，ACMN，COMB.又又MCOACB，COMCBA.(2)在在RtCBA中，中，AB6，BC8，AC10，OC5.COMCBA，類型之四坐標(biāo)系中的位似變換類型之四坐標(biāo)系中的位似變換B圖圖399BCAB3，延長延長AB交交BC于點于點E，點點A的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(1，2)，OE1，ECAE312，正方形正方形ABCD的邊長為的邊長為1， 例例4答圖答圖 圖圖3910C【點悟點悟】 在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點，那么位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)的比等于的坐標(biāo)的比等于k或或k，解答此類問題時，一定要考，解答此類問題時，一定要考慮兩種情況慮兩種情況測量樹的高度問題探究測量樹的高度問題探究【教材原型教材原型】【】【浙江教育版九上浙江教育版九上P116例例3】數(shù)學(xué)興趣小組測校園內(nèi)一棵樹高，有以下兩種方法：數(shù)學(xué)興趣小組測校園內(nèi)一棵樹高，有以下兩種方法：方法一：如圖方法一：如圖3911，把鏡子放在離樹，把鏡子放在離樹(AB)8 m的點的點E處，然后沿著直線處，然后沿著直線BE后退到點后退到點D，這時恰好在鏡子里看到，這時恰好在鏡子里看到樹梢頂點樹梢頂點A，再用皮尺量得，再用皮尺量得DE2.8 m，觀察者目高，觀察者目高CD1.6 m；方法二：如圖方法二：如圖3912，把長為，把長為2.40 m的標(biāo)桿的標(biāo)桿CD直立在直立在地面上，量出樹的影長為地面上，量出樹的影長為2.80 m，標(biāo)桿的影長為，標(biāo)桿的影長為1.47 m. 圖圖3911圖圖3912分別根據(jù)上述兩種不同方法求出樹高分別根據(jù)上述兩種不同方法求出樹高(精確到精確到0.1 m)請你自己寫出求解過程，并與同伴探討還有其請你自己寫出求解過程，并與同伴探討還有其他測量樹高的方法嗎？他測量樹高的方法嗎？【預(yù)測理由預(yù)測理由】 利用相似三角形測量物體的高度，利用相似三角形測量物體的高度，是相似三角形的重要的應(yīng)用，此類考題是新課標(biāo)的要是相似三角形的重要的應(yīng)用，此類考題是新課標(biāo)的要求，也是熱點考題之一求，也是熱點考題之一預(yù)測變形預(yù)測變形1一天，小青在校園內(nèi)發(fā)現(xiàn)：旁邊一棵一天，小青在校園內(nèi)發(fā)現(xiàn)：旁邊一棵樹在陽光下的影子和她本人的影子在同一直線上，樹頂?shù)臉湓陉柟庀碌挠白雍退救说挠白釉谕恢本€上，樹頂?shù)挠白雍退^頂?shù)挠白忧『寐湓诘孛娴耐稽c，同時還發(fā)現(xiàn)影子和她頭頂?shù)挠白忧『寐湓诘孛娴耐稽c，同時還發(fā)現(xiàn)她站立于樹影的中點她站立于樹影的中點(如圖如圖3913所示所示)如果小青的身高如果小青的身高為為1.65米，由此可推斷出樹高是米，由此可推斷出樹高是_米米. 【解析解析】 由中位線的性質(zhì)可知樹高為由中位線的性質(zhì)可知樹高為1.6523.3(米米)圖圖39133.3預(yù)測變形預(yù)測變形2如圖如圖3914是小明設(shè)計用手電來測量是小明設(shè)計用手電來測量某古城墻高度的示意圖，點某古城墻高度的示意圖，點P處放一水平的平面鏡，光線處放一水平的平面鏡，光線從點從點A出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后剛好射到古城墻出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后剛好射到古城墻CD的頂端的頂端C處，處，已知已知ABBD，CDBD，且測得，且測得AB1.2米，米，BP1.8米，米，PD12米，那么該古城墻的高度是米，那么該古城墻的高度是 ( ) 圖圖3914A6米米 B8米米C18米米 D24米米B【解析解析】 由平面鏡的入射角等于反射角，易得由平面鏡的入射角等于反射角，易得APBCPD，又又BD90，ABPCDP，解得解得CD8(米米)，選，選B.預(yù)測變形預(yù)測變形3為了測量被池塘隔開的為了測量被池塘隔開的A，B兩點之兩點之間的距離，根據(jù)實際情況，作出如圖間的距離，根據(jù)實際情況，作出如圖3915所示的圖所示的圖形，其中形，其中ABBE，EFBE，AF交交BE于于D，C在在BD上有四位同學(xué)分別測量出以下四組數(shù)據(jù)：上有四位同學(xué)分別測量出以下四組數(shù)據(jù)：BC，ACB; CD，ACB，ADB；EF，DE，BD；DE，DC，BC.能根據(jù)所測數(shù)據(jù)，求出能根據(jù)所測數(shù)據(jù)，求出A，B間距離間距離的有的有( )C 圖圖3915A1組組 B2組組C3組組 D4組組【解析解析】 此題比較綜合，要多方面考慮此題比較綜合，要多方面考慮因為知道因為知道ACB和和BC的長，所以可利用的長，所以可利用ACB的的正切來求正切來求AB的長；的長；可利用可利用ACB和和ADB的正切求出的正切求出AB；無法求出無法求出A，B間距離間距離故共有故共有3組可以求出組可以求出A，B間距離間距離故選故選C.比例尺理解偏差比例尺理解偏差2010淮安淮安在比例尺為在比例尺為1 200的地圖上，測得的地圖上，測得A，B兩地間的圖上距離為兩地間的圖上距離為4.5 cm，則，則A，B兩地間的實際兩地間的實際距離為距離為_m.【錯解錯解】 設(shè)設(shè)A，B兩地間的實際距離為兩地間的實際距離為x m，1 2004.5 x，x900 m，A，B兩地間的實際距離為兩地間的實際距離為900 m.【錯因錯因】 求兩條線段的比例時單位要統(tǒng)一，解答本求兩條線段的比例時單位要統(tǒng)一，解答本題時要設(shè)實際長度為題時要設(shè)實際長度為x cm，結(jié)果的單位要化為米，否則容，結(jié)果的單位要化為米，否則容易出錯易出錯【正解正解】 設(shè)設(shè)A，B兩地間的實際距離為兩地間的實際距離為x cm，1 2004.5 x，x900 cm.900 cm9 m，A，B兩地間的實際距離為兩地間的實際距離為9 m