空間向量的數(shù)量積運算空間向量的數(shù)量積運算教學過程一、幾個概念一、幾個概念1 1） 兩個向量的夾角的定義兩個向量的夾角的定義abbaba,0被唯一確定了，并且量的夾角就在這個規(guī)定下，兩個向范圍：bababa互相垂直，并記作：與則稱如果,2,babaAOBbOBaOAOba,.,記作：的夾角，與叫做向量則角作，在空間任取一點量如圖，已知兩個非零向O OA AB Baabb2 2）兩個向量的數(shù)量積）兩個向量的數(shù)量積注意：注意：兩個向量的數(shù)量積是數(shù)量，而不是向量兩個向量的數(shù)量積是數(shù)量，而不是向量.零向量與任意向量的數(shù)量積等于零。零向量與任意向量的數(shù)量積等于零。babababababababaaaOAaOA,cos,cos,即記作：的數(shù)量積，叫做向量，則已知空間兩個向量記作：的長度或模的長度叫做向量則有向線段設3 3）射影）射影eaeaABBAelABBABlBAlAllelaAB,cos,111111射影。方向上的正射影，簡稱或在上的在軸叫做向量，則上的射影在作點上的射影在點同方向的單位向量。作上與是，和軸已知向量BAleA1B1注意：是軸注意：是軸l l上的正射影上的正射影A A1 1B B1 1是一個可正可負的實數(shù)，是一個可正可負的實數(shù)，它的符號代表向量與它的符號代表向量與l l的方向的相對關系，大小代表的方向的相對關系，大小代表在在l l上射影的長度。上射影的長度。4)4)空間向量的數(shù)量積性質空間向量的數(shù)量積性質 aaababaeaaea2)30)2,cos) 1注意：注意：性質性質2 2）是證明兩向量垂直的依據(jù)；）是證明兩向量垂直的依據(jù)；性質性質3 3）是求向量的長度（模）的依據(jù)；）是求向量的長度（模）的依據(jù)；對于非零向量對于非零向量 ，有：，有：,a b 5)5)空間向量的數(shù)量積滿足的運算律空間向量的數(shù)量積滿足的運算律 注意：注意：分配律）交換律）()(3()2)()() 1cabacbaabbababa數(shù)量積不滿足結合律數(shù)量積不滿足結合律)()cbacba（二、二、 課堂練習課堂練習._,2,22,22. 1所夾的角為則已知bababa)()4)()()3)()()()2)(0, 0, 01. 222222qpqpqpqpqpcbacbababa則若）判斷真假：ADFCBEACEFDCEFBDEFBAEFADABFEABCD)4()3()2(11. 3）（計算：的中點。、分別是、，點等于的每條邊和對角線長都如圖：已知空間四邊形三三、典型例題典型例題例例1：已知：已知m,n是平面是平面 內的兩條相交直線，直線內的兩條相交直線，直線l與與 的交點為的交點為B，且，且lm，ln，求證：，求證：l 分析：由定義可知，只需證分析：由定義可知，只需證l l與平面內與平面內任意直線任意直線g g垂直。垂直。n nm mgg gmnll l要證要證l l與與g g垂直，只需證垂直，只需證l lg g0 0而而m m，n n不平行，由共面向量定理知，不平行，由共面向量定理知，存在唯一的有序實數(shù)對存在唯一的有序實數(shù)對(x,y)(x,y)使得使得 g=xm+yng=xm+yn 要證要證l lg g0,0,只需只需l l g= g= xlxlm+ylm+yln=0n=0而而l lm m0 0 ，l ln n0 0故故 l lg g0 0三三、典型例題典型例題例例1：已知：已知m,n是平面是平面 內的兩條相交直線，直線內的兩條相交直線，直線l與與 的交點為的交點為B，且，且lm，ln，求證：，求證：l n nm mgg gmnll l證明：在證明：在 內作不與內作不與m m、n n重合的任一條重合的任一條直線直線g,g,在在l l、m m、n n、g g上取非零向上取非零向量量l l、m m、n n、g g，因，因m m與與n n相交，得向量相交，得向量m m、n n不平行，由共面向量定理不平行，由共面向量定理可知，存在唯一的有序實數(shù)對（可知，存在唯一的有序實數(shù)對（x x，y y），），使使 g g=x=xm m+y+yn n, , l lg g=x=xl lm m+y+yl ln n l lm m=0,=0,l ln n=0=0 l lg g=0=0 lglg lglg 這就證明了直線這就證明了直線l l垂直于平面垂直于平面 內的內的任一條直線，所以任一條直線，所以ll 例例2：已知：在空間四邊形：已知：在空間四邊形OABC中，中，OABC，OBAC，求證：，求證：OCABACOBCBOA，證明：由已知A AB BC CO O 0)(0)(0,0OAOCOBOBOCOAACOBBCOA所以OAOBOCOBOBOAOCOA所以00)(0OCBAOCOBOAOCOBOCOA所以ABOC 所以鞏固練習：利用向量知識證明三垂線定理利用向量知識證明三垂線定理aA AO OP P.,0,0,0,PAaPAaaOAaPOaPAOAyPOxPAyxOAPOOAPOaOAaOAaPOaPOPOaa即使有序實數(shù)對定理可知，存在唯一的不平行，由共面向量相交，得又又而上取非零向量證明：在PAaOAaaPAOAPAPO求證：且內的射影，在是的垂線，斜線，分別是平面已知：,例例3 3 如圖，已知線段在平面如圖，已知線段在平面 內，線段內，線段，線段，線段 ，線段，線段， ，如，如果，求、之間的距離。果，求、之間的距離。AC BDAB DD 30DBD ,ABaACBDbCDAB 解：由，可知解：由，可知. .由由 知知 . . AC ACAB 30DBD ,120CABD 22222222222|()|2222cos120CDCD CDCAABBDCAABBDCA ABCA BDAB BDbabbab 22CDabbab CABDD例例4 4已知在平行六面體中，已知在平行六面體中，, , ,求對角線的長。求對角線的長。ABCDA B C D 4AB 3 ,5 ,90 ,60ADAABADBAADAA AC DCBDABCA解：解：ACABADAA 22222222|()|2()4352(0107.5)85ACABADAAABADAAAB ADAB AAAD AA |85AC 1.1.已知線段已知線段 、在平面、在平面 內，線段內，線段，如果，求、之間的距離，如果，求、之間的距離. .ABBD BDAB AC ,ABaBDbACcCDcab CABD解：解：22222222|()|CDCAABBDCAABBDabc 222CDabc2.2.已知空間四邊形的每條邊和對角線的長都等于已知空間四邊形的每條邊和對角線的長都等于 ，點分別是邊的中點。，點分別是邊的中點。求證：。求證：。ABCDaMN、ABCD、,MNABMNCDNMABDC證明：因為證明：因為MNMAADDN 所以所以222()1110244AB MNAB MAADDNAB MAAB ADAB DNaaa MNAB同理，同理，MNCD 3.3.已知空間四邊形已知空間四邊形，求證：。，求證：。,OABCOBOCAOBAOC OABC OACB證明：證明：()| |cos| |cos| |cos| |cos0OA BCOA OCOBOA OCOA OBOAOCOAOBOAOBOAOB OABC4.4.如圖，已知正方體，如圖，已知正方體， 和和 相交于相交于點，連結點，連結 ，求證：。，求證：。ABCDA B C D CD DC OAOAOCD ODCBADABC已知空間四邊形的每條邊和對角線的長都等于已知空間四邊形的每條邊和對角線的長都等于, ,點分別是的中點，求下列向量的點分別是的中點，求下列向量的數(shù)量積：數(shù)量積：ABCDaEFG、 、ABADDC、(1) (2) (3) AB ACAD DBGF AC ；(4) (5) (6) .EF BCFG BAGE GF ；GFEABCD作業(yè)講評作業(yè)講評 課堂小結課堂小結1正確分清楚空間向量的夾角。正確分清楚空間向量的夾角。作業(yè)：作業(yè)：P106 4P106 4，2兩個向量的數(shù)量積的概念、性質兩個向量的數(shù)量積的概念、性質和計算方法。和計算方法。