數(shù)學(xué)分析選講課程教學(xué)大綱一、分析選講課程說明課程代碼：0741123110課程英文名稱：Selective Lectures of Mathematic Analysis開課對象：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)本科生課程的性質(zhì)：考試學(xué)時(shí)：72 數(shù)學(xué)分析選講是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)重要的選修課,它是學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)分析數(shù)學(xué)的分支和科學(xué)研究必不可少的專業(yè)基礎(chǔ)知識(shí), 同時(shí)也可使其他理科專業(yè)學(xué)生進(jìn)一步了解微積分學(xué)知識(shí)，是報(bào)考對數(shù)學(xué)要求較高的碩士學(xué)位研究生同學(xué)的必修課程。本課程的前導(dǎo)課程為數(shù)學(xué)分析。教學(xué)目的：通過本課程的教學(xué)，使學(xué)生系統(tǒng)拓展和加深數(shù)學(xué)分析中的基本技能、基本思想和方法,主要培養(yǎng)學(xué)生分析論證問題的能力、抽象思維能力和科學(xué)研究的初步能力.教學(xué)內(nèi)容：本課程主要系統(tǒng)拓展和加深學(xué)習(xí)極限理論, 實(shí)數(shù)的連續(xù)性, 微分中值定理的及其應(yīng)用, 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和廣義積分,與“一致性”有關(guān)的幾個(gè)概念及判別法, 多元函數(shù)微分學(xué),多元函數(shù)積分學(xué)，兩個(gè)極限過程的換序這八個(gè)核心內(nèi)容。教學(xué)時(shí)數(shù)教學(xué)時(shí)數(shù)：2學(xué)時(shí)學(xué)分?jǐn)?shù)：學(xué)分教學(xué)時(shí)數(shù)具體分配：教學(xué)內(nèi)容講課(學(xué)時(shí))習(xí)題課(學(xué)時(shí)) 累計(jì)一、函數(shù)與極限 1.1函數(shù)221.2 極限66二、實(shí)數(shù)的連續(xù)性2.1 實(shí)數(shù)基本定理222.2 連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的性質(zhì)22三、微分中值定理及其應(yīng)用3.1 微分中值定理的應(yīng)用443.2 泰勒中值定理的應(yīng)用44四、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和廣義積分4.1 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂判別法884.2 無窮級(jí)數(shù)的求和法444.3 廣義積分的斂散性判別法444.4 廣義積分的求值法44五、與“一致性”有關(guān)的幾個(gè)概念及判別法5.1 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂及判別法225.2 含參變量的廣義積分的一致收斂性22六、多元函數(shù)微分法6.1 多元函數(shù)的極限與連續(xù)446.2 偏導(dǎo)數(shù)與全微分44七、多元函數(shù)積分法7.1 重積分667.2 曲線積分和曲面積分66八、兩個(gè)極限過程的換序8.1 與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)有關(guān)的換序問題228.2 與積分有關(guān)的換序問題448.3 兩個(gè)基本點(diǎn)求極限運(yùn)算的換序及兩個(gè)求導(dǎo)運(yùn)算的換序22合計(jì)72072教學(xué)方式課堂講授,課外習(xí)作及批改.考核方式和成績記載說明考核方式為考試。嚴(yán)格考核學(xué)生出勤情況，達(dá)到學(xué)籍管理規(guī)定的曠課量則取消考試資格。綜合成績根據(jù)平時(shí)成績和期末考試成績評(píng)定，平時(shí)成績占20%，期末考試成績占80%。二、講授大綱與各章的基本要求第一章函數(shù)與極限教學(xué)要點(diǎn)：本章主要研究內(nèi)容為函數(shù)性質(zhì)的確定；通過實(shí)例總結(jié)求數(shù)列與函數(shù)極限的方法，以及如何確定極限的存在性等。教學(xué)時(shí)數(shù)：8學(xué)時(shí)。教學(xué)內(nèi)容：第一節(jié)函數(shù)1.1求函數(shù)的定義域與值域1.2由已知函數(shù)關(guān)系求函數(shù)的表達(dá)式1.3確定函數(shù)的性質(zhì)1.4函數(shù)方程第二節(jié)極限2.1極限的概念2.2求極限的方法2.3確定極限存在性的方法考核要求：通過本章的學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)能理解函數(shù)的定義，準(zhǔn)確地確定函數(shù)的性質(zhì)；熟練掌握極限的概念及耱極限的各種常用方法；掌握判斷極限存在性的常用方法。第二章實(shí)數(shù)的連續(xù)性 教學(xué)要點(diǎn)：本章主要研究 教學(xué)時(shí)數(shù)：4學(xué)時(shí)。教學(xué)內(nèi)容：本章主要內(nèi)容為對實(shí)數(shù)的基本定理七大定理（確界存在定理、單調(diào)有界定理、閉區(qū)間套定理、Weierstress定理、Cauchy收斂原理、有限覆蓋定理、聚點(diǎn)定理）的內(nèi)容加以復(fù)習(xí)及沒證明過的定理給予補(bǔ)充證明，及給出例子加以說明它們的應(yīng)用，同時(shí)本章介紹連續(xù)性的證明，連續(xù)性的應(yīng)用，一致連續(xù)的判別等方面的內(nèi)容。第一節(jié)實(shí)數(shù)基本定理第二節(jié) 連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的性質(zhì)2.1基本性質(zhì)2.2介值性與連續(xù)性2.3判別一致連續(xù)的方法考核要求：通過本章的學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)者要理解實(shí)數(shù)的基本定理及其應(yīng)用，掌握連續(xù)，一致連續(xù)概念及性質(zhì)，掌握連續(xù)性的應(yīng)用及一致連續(xù)的證明。第三章 微分中值定理及其應(yīng)用教學(xué)要點(diǎn)：本章主要研究Roll中值定理、Langrange中值定理、Cauchy中值定理在實(shí)際問題中的應(yīng)用；給出了導(dǎo)數(shù)的兩大特性；討論了帶Langrange余項(xiàng)與帶Peano余項(xiàng)的Gaylor公式在解題中的若干應(yīng)用。 教學(xué)時(shí)數(shù)：8學(xué)時(shí)。 教學(xué)內(nèi)容：第一節(jié) 微分中值定理的應(yīng)用1.1 Roll定理1.2 Langrange定理1.3 導(dǎo)數(shù)的兩大特性1.4 Cauchy中值定理第二節(jié) 泰勒中值定理的應(yīng)用2.1 證明中值公式2.2 用Taylor公式證明不等式2.3 關(guān)于界的估計(jì)2.4 中值點(diǎn)的極限2.5 求無窮遠(yuǎn)處的極限考核要求：本章要求掌握Roll中值定理、Langrange中值定理、Cauchy中值定理在實(shí)際問題中的應(yīng)用；了解利用Taylor公式證明中值公式，掌握利用Taylor公式證明不等式，掌握利用Taylor公式進(jìn)行界的估計(jì)；掌握中值點(diǎn)的極限求法，了解求無窮遠(yuǎn)處的極限方法。 第四章 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和廣義積分教學(xué)要點(diǎn)：本章主要復(fù)習(xí)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂的定義及其斂散性判別法，以及無窮級(jí)數(shù)的求和法；研究廣義積分?jǐn)可⑿缘呐袆e及其求值。用有一定難度的修例子來加深這些方面的訓(xùn)練，使得學(xué)生能夠更好地掌握這一章內(nèi)容。 教學(xué)時(shí)數(shù)：20學(xué)時(shí)。教學(xué)內(nèi)容：第1節(jié) 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂判別法1.1 一般級(jí)數(shù)的收斂判別法1.2 正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂判別法1.3 任意級(jí)數(shù)收斂性的判別法第2節(jié) 無窮級(jí)數(shù)的求和法2.1 作為部分和的極限2.2 逐項(xiàng)微分與逐項(xiàng)積分法2.3 Abel方法2.4 利用微分方程的方法2.5 利用Eulor常數(shù)2.6 作為兩級(jí)數(shù)的乘積第3節(jié) 廣義積分的斂散性判別法3.1 根據(jù)定義判別廣義積分的收斂性3.2 廣義積分收斂的充要條件3.3 廣義積分?jǐn)可⑿缘谋容^判別法3.4 Abel判別法和Dirichlet判別法第4節(jié) 廣義積分的求值法4.1 利用廣義積分的定義4.2 化為已知的廣義積分4.3 利用換序性考核要求：熟練掌握常用的判別常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別法；能熟練地求無窮級(jí)數(shù)的和；掌握判別廣義積分?jǐn)可⑿缘某Ｓ门袆e法；能求具有一定難度的廣義積分的和。 第五章 與“一致性”有關(guān)的幾個(gè)概念及判別法教學(xué)要點(diǎn)：本章主要研究函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、函數(shù)列一致收斂的概念及其斂散性判別法；討論含參變量的廣義積分的一致收斂性判別法。 教學(xué)時(shí)數(shù)：4學(xué)時(shí)。 教學(xué)內(nèi)容：第一節(jié) 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂及判別法1.1 一致收斂的概念1.2 判別函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂或非一致收斂的常用方法第二節(jié) 含參變量的廣義積分的一致收斂性2.1 M-判別法2.2 Abel判別法2.3 Dirichlet判別法考核要求：準(zhǔn)確理解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂和一致收斂的概念；熟練掌握函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂的判別法；熟練應(yīng)用判別含參變量的廣義積分?jǐn)可⑿缘娜蠓椒ā?第六章 多元函數(shù)微分法教學(xué)要點(diǎn)：本章主要研究求二元函數(shù)的極限的方法，二元函數(shù)的連續(xù)性的證明及應(yīng)用；偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算及可微、不可微的證明；求極值、最值的方法。 教學(xué)時(shí)數(shù)：8學(xué)時(shí)。 教學(xué)內(nèi)容：第一節(jié) 多元函數(shù)的極限與連續(xù)1.1 求重極限的方法1.2 多元函數(shù)的連續(xù)性與一元函數(shù)連續(xù)性的關(guān)系第二節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)與全微分2.1 偏導(dǎo)數(shù)與全微分的關(guān)系2.2 求偏導(dǎo)數(shù)的方法2.3 求極大(小)值和最大(小)值的方法,考核要求：通過本章的學(xué)習(xí)，準(zhǔn)確理解二元函數(shù)極限、連續(xù)的定義、及偏導(dǎo)數(shù)、全微分的定義。掌握二元函數(shù)極限的計(jì)算方法；掌握二元函數(shù)連續(xù)性的證明及應(yīng)用；掌握二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算及可微、不可微的證明。 第七章 多元函數(shù)積分法教學(xué)要點(diǎn)：本章主要研究二重積分、三重積分的計(jì)算；第一類曲線積分、第一類曲面積分、第二類曲線積分、第二類曲面積分的計(jì)算；格林公式、高斯公式、斯托克司公式的應(yīng)用。 教學(xué)時(shí)數(shù)：12學(xué)時(shí)。 教學(xué)內(nèi)容：第一節(jié) 重積分1.1 重積分的可積性1.2 二重積分的計(jì)算方法1.3 二重積分的應(yīng)用1.4 三重積分的計(jì)算方法與應(yīng)用第二節(jié) 曲線積分和曲面積分2.1 曲線積分的計(jì)算方法與技巧2.2 曲面積分的計(jì)算方法與技巧考核要求：通過本章的學(xué)習(xí)，掌握二重積分、三重積分的計(jì)算；掌握第一類曲線積分、第一類曲面積分、第二類曲線積分、第二類曲面積分的計(jì)算；掌握格林公式、高斯公式、斯托克司公式的應(yīng)用。第八章 兩個(gè)極限過程的換序教學(xué)要點(diǎn)：本章主要研究與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)有關(guān)的換序問題（包括求和與極限的換序、求和與積分的換序、求和與求導(dǎo)的換序）；與積分有關(guān)的換序問題；兩個(gè)極限運(yùn)算的換序問題；兩個(gè)求導(dǎo)運(yùn)算的換序問題。 教學(xué)時(shí)數(shù)：8學(xué)時(shí)。 教學(xué)內(nèi)容：第一節(jié) 與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)有關(guān)的換序問題第二節(jié) 與積分有關(guān)的換序問題2.1 積分號(hào)下取極限2.2 兩個(gè)積分運(yùn)算的換序2.3 積分與微分運(yùn)算的換序第三節(jié) 兩個(gè)求極限運(yùn)算的換序及兩個(gè)求導(dǎo)運(yùn)算的換序考核要求：了解求和與極限、積分的換序，掌握求和與求導(dǎo)的換序；掌握積分號(hào)下取極限，了解兩個(gè)積分運(yùn)算的換序，掌握積分與微分運(yùn)算的換序；了解兩個(gè)求極限、兩個(gè)求導(dǎo)運(yùn)算的換充。三、推薦教材和參考書目1、數(shù)學(xué)分析講義，陳紀(jì)修、於崇華、金路編，高等教育出版社，1999年。2、數(shù)學(xué)分析解題方法600例，李世金、趙潔編，東北師范大學(xué)出版社，1992年。3、數(shù)學(xué)分析選講，劉三陽、于力、李廣民編，科學(xué)出版社2007年。