第八節(jié)曲線與方程全盤鞏固1方程(x2y21)0表示的曲線的大致形狀是(圖中實(shí)線部分)() 解析：選B原方程等價(jià)于或xy10，前者表示等軸雙曲線x2y21位于直線xy10下方的部分，后者為直線xy10，這兩部分合起來即為所求2已知兩定點(diǎn)A(2,0)，B(1,0)，如果動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|2|PB|，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是()A直線 B圓 C橢圓 D雙曲線解析：選B設(shè)P(x，y)，則2，整理得x2y24x0，又D2E24F16>0，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是圓3(2014·長春模擬)設(shè)圓(x1)2y225的圓心為C，A(1，0)是圓內(nèi)一定點(diǎn)，Q為圓周上任一點(diǎn)線段AQ的垂直平分線與CQ的連線交于點(diǎn)M，則M的軌跡方程為()A.1 B.1C.1 D.1解析：選DM為AQ垂直平分線上一點(diǎn)，則|AM|MQ|，|MC|MA|MC|MQ|CQ|5，故M的軌跡為橢圓a，c1，則b2a2c2，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.4已知點(diǎn)F，直線l：x，點(diǎn)B是l上的動(dòng)點(diǎn)若過B作垂直于y軸的直線與線段BF的垂直平分線交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M的軌跡是()A雙曲線 B橢圓 C圓 D拋物線解析：選D由已知得|MF|MB|.由拋物線定義知，點(diǎn)M的軌跡是以F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線的拋物線5(2014·嘉興模擬)若曲線C1：x2y22x0與曲線C2：x(ymxm)0有三個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A(0，) B(，0)(0，)C. D.解析：選D由x(ymxm)0可知x0，ym(x1)，當(dāng)直線ym(x1)與圓x2y22x0相切時(shí)，m±，當(dāng)m0時(shí)，只有兩個(gè)公共點(diǎn)，因此m.6(2014·洛陽模擬)設(shè)過點(diǎn)P(x，y)的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于y軸對稱，O為坐標(biāo)原點(diǎn)若2 ，且·1，則點(diǎn)P的軌跡方程是()A.x23y21(x>0，y>0)B.x23y21(x>0，y>0)C3x2y21(x>0，y>0)D3x2y21(x>0，y>0)解析：選A設(shè)A(a,0)，B(0，b)，a>0，b>0.由2，得(x，yb)2(ax，y)，即ax>0，b3y>0.點(diǎn)Q(x，y)，故由·1，得(x，y)·(a，b)1，即axby1.將a，b代入上式得所求的軌跡方程為x23y21(x>0，y>0)7設(shè)P是圓x2y2100上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A(8,0)，線段AP的垂直平分線交半徑OP于M點(diǎn)，則點(diǎn)M的軌跡為_解析：如圖，設(shè)M(x，y)，由于l是AP的垂直平分線，于是|AM|PM|，又由于10|OP|OM|PM|OM|AM|，即|OM|AM|10，也就是說，動(dòng)點(diǎn)M到O(0,0)及A(8,0)的距離之和是10，故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以O(shè)(0,0)，A(8,0)為焦點(diǎn)，中心在(4,0)，長半軸長是5的橢圓答案：橢圓8直線1與x，y軸交點(diǎn)的中點(diǎn)的軌跡方程為_解析：設(shè)直線1與x，y軸交點(diǎn)為A(a,0)，B(0，2a)，A，B中點(diǎn)為M(x，y)，則x，y1，消去a，得xy1，a0， a2，x0，x1.答案：xy1(x0，x1)9點(diǎn)P是圓C：(x2)2y24上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)F(2,0)，線段PF的垂直平分線與直線CP的交點(diǎn)為Q，則點(diǎn)Q的軌跡方程是_解析：依題意有|QP|QF|，|QC|QF|CP|2，又|CF|4>2，故點(diǎn)Q的軌跡是以C、F為焦點(diǎn)的雙曲線，a1，c2，b23，所求軌跡方程為x21.答案：x2110(2014·北京模擬)在RtABC中，CAB90°，AB2，AC，一曲線E過點(diǎn)C，動(dòng)點(diǎn)P在曲線E上運(yùn)動(dòng)，且保持|PA|PB|的值不變(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線E的方程；(2)直線l：yxt與曲線E交于M，N兩點(diǎn)，求四邊形MANB的面積的最大值解：(1)以AB為x軸，以AB中點(diǎn)為原點(diǎn)O建立直角坐標(biāo)系，|PA|PB|CA|CB| 2，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓，且a，c1，從而b1.曲線E的方程為y21.(2)將yxt代入y21，得3x24tx2t220.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，由得0t2<3，S四邊形MANB|AB|y1y2|y1y2|x1x2| ，故當(dāng)t0時(shí)，S四邊形MANB取得最大值，最大值為.11設(shè)橢圓方程為x21，過點(diǎn)M(0,1)的直線l交橢圓于點(diǎn)A、B，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，l上的動(dòng)點(diǎn)P滿足()，點(diǎn)N的坐標(biāo)為.當(dāng)l繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時(shí)，求：(1)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；(2)|的最小值與最大值解：(1)直線l過點(diǎn)M(0,1)，當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其斜率為k，則l的方程為ykx1.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題設(shè)可得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)(x1，y1)、(x2，y2)是方程組的解將代入并化簡得，(4k2)x22kx30，所以于是().設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則消去參數(shù)k得4x2y2y0.當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為原點(diǎn)(0,0)，也滿足方程，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為4x2y2y0.(2)由點(diǎn)P的軌跡方程得x2，知x2，即x.所以|22224x232.故當(dāng)x時(shí)，|取得最小值，最小值為；當(dāng)x時(shí)，|取得最大值，最大值為.12(2014·麗水模擬)如圖，已知點(diǎn)A(0,1)，點(diǎn)P在圓C：x2(y1)28上，點(diǎn)M在AP上，點(diǎn)N在CP上，且滿足AMMP，NMAP，設(shè)點(diǎn)N的軌跡為曲線E.(1)求曲線E的方程；(2)過原點(diǎn)且斜率為k(k0)的直線交曲線E于G，F(xiàn)兩點(diǎn)，其中G在第一象限，它在y軸上的射影為點(diǎn)Q，直線FQ交曲線E于另一點(diǎn)H，證明：GHGF.解：(1)連接NA，由題意知NM為AP的垂直平分線，|NA|NP|，又|CN|NP|2，|CN|NA|22.動(dòng)點(diǎn)N的軌跡是以點(diǎn)C(0，1)，A(0,1)為焦點(diǎn)的橢圓，且長軸長2a2，焦距2c2，a，c1，b21，曲線E的方程為x21.(2)證明：設(shè)G(x1，kx1)，H(x2，y2)，則F(x1，kx1)，Q(0，kx1)，直線FQ的方程為y2kxkx1，將其代入橢圓E的方程并整理可得(24k2)x24k2x1xk2x20.依題意可知此方程的兩根為x1，x2，于是由韋達(dá)定理可得x1x2，即x2.因?yàn)辄c(diǎn)H在直線FQ上，所以y2kx12kx2.于是GF(2x1，2kx1)，GH(x2x1，y2kx1)，則GF·GH0，所以GHGF. 沖擊名校(2013·四川高考)已知橢圓C：1(ab0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)，且橢圓C經(jīng)過點(diǎn)P.(1)求橢圓C的離心率；(2)設(shè)過點(diǎn)A(0,2)的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段MN上的點(diǎn)，且，求點(diǎn)Q的軌跡方程解：(1)由橢圓定義知，2a|PF1|PF2| 2，所以a.又由已知c1，所以橢圓C的離心率e.(2)由(1)知，橢圓C的方程為y21.設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x，y)當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，直線l與橢圓C交于(0,1)，(0，1)兩點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為ykx2.因?yàn)镸，N在直線l上，可設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為(x1，kx12)，(x2，kx22)，則|AM|2(1k2)x，|AN|2(1k2)x.又|AQ|2x2(y2)2(1k2)x2.由，得，即.將ykx2代入y21中，得(2k21)x28kx60.由(8k)24×(2k21)×60，得k2.由可知，x1x2，x1x2，代入中并化簡，得x2.因?yàn)辄c(diǎn)Q在直線ykx2上，所以k，代入中并化簡，得10(y2)23x218.由及k2，可知0x2，即x.又滿足10(y2)23x218，故x.由題意，Q(x，y)在橢圓C內(nèi)，所以1y1，又由10(y2)2183x2，有(y2)2，且1y1，則y.所以點(diǎn)Q的軌跡方程為10(y2)23x218，其中x，y.高頻滾動(dòng)已知圓C：(x4)2(ym)216(mN*)，直線4x3y160過橢圓E：1(a>b>0)的右焦點(diǎn)，且被圓C所截得的弦長為，點(diǎn)A(3,1)在橢圓E上(1)求m的值及橢圓E的方程；(2)設(shè)Q為橢圓E上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求·的取值范圍解：(1)因?yàn)橹本€4x3y160被圓C所截得的弦長為，所以圓心C(4，m)到直線4x3y160的距離為，即，解得m4或m4(舍去)又直線4x3y160過橢圓E的右焦點(diǎn)，所以橢圓E的右焦點(diǎn)F2的坐標(biāo)為(4,0)，則其左焦點(diǎn)F1的坐標(biāo)為(4,0)因?yàn)闄E圓E過A點(diǎn)，所以|AF1|AF2|2a，所以2a56，所以a3，a218，b22，故橢圓E的方程為1.(2)由(1)知C(4,4)，又A(3,1)，所以(1,3)，設(shè)Q(x，y)，則(x3，y1)，則·x3y6.令x3yn，則消去x得18y26nyn2180.因?yàn)橹本€x3yn與橢圓E有公共點(diǎn)，所以(6n)24×18×(n218)0，解得6n6，故·x3y6的取值范圍為12,0.