1.()2.xsincosysin參數(shù)方程為參數(shù) 化為普通方程是210(22)xyx 3 13(2.)()22.xcosaysina 若曲線為參數(shù) 經(jīng)過點， ，則13122223.coscosaasinsina 由，得，平方相加可解解得析：相交234390().2xcosxyysin直線：與圓：為參數(shù)的位置關(guān)系是220,02| 9|234d因為圓心，半徑為 ，故圓心到直線的距離，所以直線與解析：圓相交(04) 0,4，3.54.xcosysin橢圓的兩個焦點坐標(biāo)是223355+1.925(04) 0,4xcosxcosysinysinxy由，得，所以可得其焦點的坐標(biāo)為 ，解析：2 30215.2()2.xttyxBytCBC 直線為參數(shù) 與拋物線交于 、兩點，則線段的長等于222121212221515()24 5100|44 5402 30.xytyxBC 將直線方程化為標(biāo)準式得， 為參數(shù) ，代入，得，所以解析： 【例1】在曲線C1： (為參數(shù))上求一點，使它到直線 l: (t為參 數(shù))的距離最小，并求出該點的坐標(biāo)和最小距離.1 cossinxy 12 22112xtyt 參數(shù)方程與普通方程參數(shù)方程與普通方程互化互化 【解析】直線 l 的直角坐標(biāo)方程為 x+y+ -1=0. 設(shè)P(1+cos , sin), 0 , 2)， 則2 21 cossin2 2 12sin() 242 sin()4d 所以，當(dāng) 時，即= 時，dmin=1,此時P .342 54 22(1,)22 曲線C1的直角坐標(biāo)方程為圓: (x -1)2+y2=1，利用圓的參數(shù)方程可以使圓上的坐標(biāo)變得簡單.本題也可以利用圓的幾何性質(zhì)求解.22 () 11.3xOyP xyxySxy在平面直角坐標(biāo)系中，點， 是【橢圓變式練習(xí) 】上的一個動點，求的最大值【解析】因橢圓 +y2=1的參數(shù)方程為 (為參數(shù)), 故可設(shè)動點 P 的坐標(biāo)為(3cos , sin)，其中02.因此， .所以，當(dāng)= 時，S取最大值2.23x3cossinxy 313cossin2(cossin )222sin()3Sxy 6 直線參數(shù)方程標(biāo)準式直線參數(shù)方程標(biāo)準式的應(yīng)用的應(yīng)用【例2】已知直線 l 過點P(1 , 5),且傾斜角為 ,求:(1)直線 l 的參數(shù)方程； (2)若直線 l 與直線 l：x+y -1=0 相交，求交點到定點 P(1，5)的距離； (3)若直線 l 與圓 x2+y2=16 交于A、B兩點，求 A、B 兩點到定點 P 的距離之和及|AB|.3 【解析】(1) (t為參數(shù)) (*)； (2)將(*)式代入直線 l：x+y -1=0中,得 ，解得 t= . 所以交點到定點P的距離為 .112352xtyt 13151022tt 5 35 5 35t 2222223*1613(1)(5)16,2225 31100. 5 3110,|5 31, ()436 10 3. 5 3136 10 3ABABABABABABA Bxyttttttttttttttttt tABPAB 將式代入中，得整理得由韋達定理可得（），所以所以 、 兩點到定點 的距離之和為， 本題(2)求直線 l 與直線 l的交點到定點 P 的距離，可根據(jù)參數(shù) t 的幾何意義，即只要求出交點對應(yīng)的參數(shù) t 的絕對值；(3)要求A、B兩點到定點P的距離之和，由參數(shù)的幾何意義，即只要求 |tA|+|tB|, 求|AB|即求出 |tA - tB|, 這要利用韋達定理和直線的參數(shù)方程中 t 的幾何意義.因此，韋達定理是解決直線和二次曲線問題常用的方法.【變式練習(xí)2】設(shè)直線 (t為參數(shù))與拋物線 y2=4x 交于兩個不同點P、Q，已知點A(2 , 4)，求： (1)AP+AQ的值； (2)線段PQ的長度.24xtyt 2212122212121212121212222()242412 2160.12 216()()4224.10| 12 2.2|2244 14.xtyyxAPAQPQAPAQ 直線方程可化為，將之代入整理得所以，所以，解析：因為所以參數(shù)方程與極坐標(biāo)方參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程的綜合應(yīng)用程的綜合應(yīng)用 2 sin325()41235CxtltytClxMNCMN 已 知 曲 線的 極 坐 標(biāo) 方 程 是， 直 線的 參 數(shù) 方 程 是為 參 數(shù) 將 曲 線的 極 坐 標(biāo) 方 程 化 為 直 角 坐 標(biāo) 方 程 ；設(shè) 直 線 與 軸 的 交 點 是，是 曲 線上 一 動【 例點 ，求的】最 大 值 22222212sin.cossin20.24(2)3022,00,115.515 1.CxyxyCxyylyxyxMCCrMCMNMCrMN 曲線的極坐標(biāo)方程可化為又，所以曲線的直角坐標(biāo)方程為將直線 的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，得令，得 ，即點的坐標(biāo)為又曲線為圓，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑 ，則所以 ，即的最大【值為】+解析 解決參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程的通解通法是將參數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，也即由陌生向熟悉轉(zhuǎn)化，進而在熟悉的環(huán)境中解決問題 sin()441()31535CxlxttlCyt 在極坐標(biāo)系中，曲線 的極坐標(biāo)方程為，以極點為原點，極軸為 軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線 的參數(shù)方程為為參數(shù) ，求直線 被曲線 所截【變式練習(xí) 】得的弦長2224152 2sin(),(3415)220,3410.( 1,1)22 462( ).55xttytxyxyxyCCCl 將方程 為參數(shù) 分別化為普通方程由曲線 的圓心為，半徑為，所以圓心到直線 的距離為，故所求弦長為【解析】1.113(0)xttCyttttC 已知曲線 的參數(shù)方程為，為參數(shù)，求曲線 的普通方程22212123360.xttyxttCxy 因為，所以，故曲線 的普通方程為：解析：212()13)3.2(xttytxcosysin 求直線為參數(shù) ，被圓為參數(shù) ，截得的弦長2222122.1239.322222 9-22 7.1232 7.123xtxyytxcosxyysinOdLRdxtxcosytysin 把直線方程化為普通方程為將圓化為普通方程為圓心 到直線的距離，所以弦長以直線被圓，截得的弦長為解析：132()3724()43.xtltytxcosCqysin已知直線 的參數(shù)方程為為參數(shù) ，曲線 的參數(shù)方程為為參數(shù) 222222212121 241621.416216.1322()372168 3360244.xcosxcosysinysinxyxttytxyttABABttttt t 由，得故圓的方程為方法一：把為參數(shù)代入解方程，得，所以為：線析段的長 2222132()372340.10,04|4|23122 16-44 3.xttytlxyRldABRd 方法二：由為參數(shù) ，得 的普通方程為由知：圓心的坐標(biāo)為，圓的半徑，所以圓心到直線 的距離，所以4. 已知過點P0(-1 , 2)的直線 l 的參數(shù)方程是 (t為參數(shù))，求點P0到直線 l與另一直線 2x -y+1=0 的交點P的距離.1 32 4xtyt 【解析】因為 , 所以此直線的參數(shù)方程不是標(biāo)準式. 令 t= -5t, 將直線的參數(shù)方程化為標(biāo) 準式得 (t為參數(shù))， 將其代入方程 2x -y+1=0, 得 ,223( 4)5 1315425xtyt 342( 1) (2) 1055tt 故得交點P對應(yīng)的參數(shù) ,所以 .32pt 032pPPt 5.已知直線 l 的參數(shù)方程為(t為參數(shù)), P是橢圓 上任意一點，求點P到直線 l 的距離的最大值.4 22xtyt 2214xy 【解析】 直線 l 的參數(shù)方程為 (t為參 數(shù)),故直線 l 的普通方程為 x+2y=0. 因為P為橢圓 上任意一點，故 可設(shè)P(2cos , sin)，其中R.4 22xtyt 2214xy 因此，點P到直線 l 的距離是 . 所以，當(dāng)= ，kZ時，d 取得最大值 .222cos2sin122 2 sin()45d 4k 2 105 1.選取參數(shù)時的一般原則是：(1)x , y與參數(shù)的關(guān)系較明顯，并能列出關(guān)系式；(2)當(dāng)參數(shù)取一值時，可唯一地確定 x、y 的值；(3)在研究與時間有關(guān)的運動物體時，常選時間作為參數(shù)；在研究旋轉(zhuǎn)物體時，常選用旋轉(zhuǎn)角作為參數(shù).此外，也常用線段的長度、傾斜角、斜率、截距等作為參數(shù). 2.求曲線的參數(shù)方程常常分成以下幾步：(1)建立直角坐標(biāo)系，在曲線上設(shè)任意一點P(x , y); (2)選取適當(dāng)?shù)膮?shù); (3)找出 x、y 與參數(shù)的關(guān)系，列出關(guān)系式；(4)證明(常常省略). 1212121212012121201212 3.1,|; 2,0; 312 .2.1MptMMlMMtttM MttMM MttM MttMM MtPttM Mt根據(jù)直線的參數(shù)方程中 的幾何意義，有如下常用結(jié)論： 若、為 上任意兩點，、對應(yīng)的值分別為 、則若為線段的中點 則有若線段的中點為，則一般地，若點 分線段所成的比為 ，則 4.直線的參數(shù)方程的一般式 (t為參數(shù))是過點 M0(x0 , y0) 斜率為 的直線的參數(shù)方程. 當(dāng)且僅當(dāng) a2+b2=1 且 b0時，才是標(biāo)準方程，t 才具有標(biāo)準方程中的幾何意義. 將非標(biāo)準方程 化為標(biāo)準程00 xxatyybt ab00 xxatyybt 是 (tR), 式中“”號，當(dāng)a , b 同號時取正；當(dāng) a , b 異號時取負.222200axxabbyyab 5.參數(shù)方程與普通方程互化時，要注意：(1)不是所有的參數(shù)方程都能化為普通方程；(2)在化參數(shù)方程為普通方程時變量的范圍不能擴大或縮??；(3)把普通方程化為參數(shù)方程時，由于選擇的參數(shù)不同而不同，而參數(shù)的選擇又是由具體的問題來決定的.