第3課時等比數(shù)列第五章數(shù)列第五章數(shù)列回歸教材回歸教材 夯實雙基夯實雙基基礎梳理基礎梳理1等比數(shù)列的相關概念等比數(shù)列的相關概念相關相關名詞名詞等比數(shù)列等比數(shù)列an的相關概念及公式的相關概念及公式定義定義 q(q是常數(shù)且是常數(shù)且q0，nN*)或或 _q(q是常數(shù)且是常數(shù)且q0，nN*且且_)n2相關相關名詞名詞等比數(shù)列等比數(shù)列an的相關概念及公式的相關概念及公式通項通項公式公式an_amqnm前前n項和項和公式公式Sna1qn1na1相關相關名詞名詞等比數(shù)列等比數(shù)列an的相關概念及公式的相關概念及公式等比等比中項中項設設a、b為任意兩個同號的實數(shù)，為任意兩個同號的實數(shù)，則則a、b的等比中項的等比中項G_2.等比數(shù)列的性質(zhì)等比數(shù)列的性質(zhì)(1)對任意的正整數(shù)對任意的正整數(shù)m、n、p、q，若，若mnpq則則_.特別地特別地mn2p則則_.amanapaq(3)在等比數(shù)列中，每隔相同的項抽出在等比數(shù)列中，每隔相同的項抽出來的項按照原來順序排列，構成的新來的項按照原來順序排列，構成的新數(shù)列仍是等比數(shù)列，即數(shù)列仍是等比數(shù)列，即am，amk，am2k，am3k，仍是等比數(shù)列仍是等比數(shù)列(4)若數(shù)列若數(shù)列an是等比數(shù)列，是等比數(shù)列，Sn為其前為其前n項和，則項和，則Sm，S2mSm，S3mS2m，是等比數(shù)列是等比數(shù)列(例如數(shù)列例如數(shù)列1，1,1，1，除外除外) 思考探究答案：答案：2若等比數(shù)列若等比數(shù)列an滿足滿足anan116n，則公比，則公比q_.答案：答案：43(2011高考天津卷改編高考天津卷改編)已知已知an為為等差數(shù)列，其公差為等差數(shù)列，其公差為2且且a7是是a3與與a9的等比中項的等比中項Sn為為an的前的前n項和，項和，nN*，則，則S10的值為的值為_答案：答案：1104若若an是等比數(shù)列且是等比數(shù)列且an0，nN*，又，又a2a42a3a5a4a625，則，則a3a5_.答案：答案：5考點探究考點探究 講練互動講練互動考點考點1等比數(shù)列基本量的計算及性質(zhì)等比數(shù)列基本量的計算及性質(zhì)的應用的應用設首項為正數(shù)的等比數(shù)列設首項為正數(shù)的等比數(shù)列an中，中，它的前它的前n項和項和Sn80，前，前2n項和項和S2n6560，且前，且前n項中數(shù)值最大的項為項中數(shù)值最大的項為54.求此數(shù)列的首項求此數(shù)列的首項a1與公比與公比q.例例1【名師點評名師點評】(1)等比數(shù)列中有五個等比數(shù)列中有五個量量a1，n，q，an，Sn，一般利用通項，一般利用通項公式和前公式和前n項和公式，通過方程組項和公式，通過方程組“知知三求二三求二”利用等比數(shù)列的性質(zhì)可以利用等比數(shù)列的性質(zhì)可以靈活地處理等比數(shù)列的相關問題，體靈活地處理等比數(shù)列的相關問題，體現(xiàn)了非常強的靈活性和技巧性現(xiàn)了非常強的靈活性和技巧性(2)本題主要應用前本題主要應用前n項和公式及通項項和公式及通項公式求解，應用前公式求解，應用前n項和公式時要注意項和公式時要注意對公比對公比q的討論，同時，還要注意單的討論，同時，還要注意單調(diào)性的判定及整體代換思想的應用調(diào)性的判定及整體代換思想的應用變式訓練變式訓練1(2011高考大綱全國卷高考大綱全國卷)設等比數(shù)設等比數(shù)列列an的前的前n項和為項和為Sn.已知已知a26,6a1a330，求，求an和和Sn.考點考點2等比數(shù)列的判定或證明等比數(shù)列的判定或證明設設Sn為數(shù)列為數(shù)列an的前的前n項和，且滿項和，且滿足足2Sn3(an1)(1)證明：數(shù)列證明：數(shù)列an是等比數(shù)列并求是等比數(shù)列并求Sn；例例2(2)若若bn4n5，將數(shù)列，將數(shù)列an和和bn的的公共項按它們在原數(shù)列中的順序排成公共項按它們在原數(shù)列中的順序排成一個新的數(shù)列一個新的數(shù)列dn，證明：，證明：dn是等比是等比數(shù)列并求其通項公式數(shù)列并求其通項公式(2)易知易知d1a2b19，設設ak3k是是bn中的第中的第m項，項，又是又是dn中的第中的第n項，即項，即dn3k4m5.因因ak13k13(4m5)4(3m3)3不是數(shù)列不是數(shù)列bn中的項，而中的項，而ak23k29(4m5)4(9m10)5是是bn中中的第的第(9m10)項，項，【解解】(1)設成等差數(shù)列的三個正數(shù)設成等差數(shù)列的三個正數(shù)分別為分別為ad，a，ad，據(jù)題意得，據(jù)題意得(ad)a(ad)15，a5，故，故bn中的中的b3，b4，b5依次依次為為7d,10,18d.解：解：(1)因為因為2an1ann，則，則2anan1n1(n2)，兩式相減得：，兩式相減得：2an13anan11.即即2(an1an1)anan11(n2)，即，即2bnbn1.所以數(shù)列所以數(shù)列bn為等比數(shù)列為等比數(shù)列考點考點3等差等比數(shù)列綜合應用等差等比數(shù)列綜合應用設數(shù)列設數(shù)列an是等差數(shù)列，是等差數(shù)列，a56.(1)當當a33時，請在數(shù)列時，請在數(shù)列an中找一中找一項項am，使，使a3，a5，am成等比數(shù)列；成等比數(shù)列；(2)當當a32時，若自然數(shù)時，若自然數(shù)n1，n2，nt，(tN*)滿足滿足5n1n2nt，使得，使得a3，a5，an1，an2，ant成等比數(shù)列，成等比數(shù)列，求數(shù)列求數(shù)列nt的通項公式的通項公式例例3(2)a32，a56，d2，當，當n5時，時，ana5(n5)d2n4，又又a3，a5，an1，an2，ant，成等比數(shù)列，成等比數(shù)列，【名師點評名師點評】(1)在解決等差在解決等差(比比)數(shù)數(shù)列時，本著化繁為簡的原則抓住首項列時，本著化繁為簡的原則抓住首項a1和公差和公差d(或公比或公比q)研究問題的內(nèi)在研究問題的內(nèi)在關系，這就是數(shù)列關系，這就是數(shù)列“基本量方法基本量方法”；(2)由等差數(shù)列由等差數(shù)列(或等比數(shù)列或等比數(shù)列)中抽出部中抽出部分項組成等比數(shù)列分項組成等比數(shù)列(或等差數(shù)列或等差數(shù)列)時，時，要注意利用這些量的雙重身份去分析要注意利用這些量的雙重身份去分析轉(zhuǎn)化問題例如：轉(zhuǎn)化問題例如：ant在等差數(shù)列中應在等差數(shù)列中應為數(shù)列為數(shù)列an的第的第nt項，故項，故ant2nt4，而它在等比數(shù)列中應為第，而它在等比數(shù)列中應為第(t2)項項，故，故anta33t123t1.方法技巧方法技巧1解決等比數(shù)列有關問題的常見思想解決等比數(shù)列有關問題的常見思想方法方法(1)方程思想：等比數(shù)列中有五個量方程思想：等比數(shù)列中有五個量a1、n、q、an、Sn，一般可以，一般可以“知三求知三求二二”，通過列方程，通過列方程(組組)求關鍵量求關鍵量a1和和q，問題可迎刃而解，問題可迎刃而解當公比當公比q1時，因為時，因為a10，所以，所以Snna1是是n的正比例函數(shù)的正比例函數(shù)反過來，如果已知數(shù)列的前反過來，如果已知數(shù)列的前n項和公式項和公式SnAqnA(A0，q0且且q1，nN*)，那么這個數(shù)列一定是等比數(shù)，那么這個數(shù)列一定是等比數(shù)列列失誤防范失誤防范1常數(shù)列都是等差數(shù)列，但不一定是常數(shù)列都是等差數(shù)列，但不一定是等比數(shù)列，只有當常數(shù)列各項不為等比數(shù)列，只有當常數(shù)列各項不為0時時，才是等比數(shù)列，才是等比數(shù)列3等比數(shù)列等比數(shù)列an的前的前n項和公式的推項和公式的推導方法即錯位相減法是很重要的方法導方法即錯位相減法是很重要的方法，必須熟練掌握在應用錯位相減法，必須熟練掌握在應用錯位相減法求數(shù)列的前求數(shù)列的前n項和時，若含有參數(shù)，易項和時，若含有參數(shù)，易忽視分類討論，一般分為忽視分類討論，一般分為q1，q1兩類情況討論兩類情況討論考向瞭望考向瞭望 把脈高考把脈高考命題預測命題預測1從近幾年的江蘇高考試題來看，等從近幾年的江蘇高考試題來看，等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項公式及前比數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項公式及前n項和公式是高考的熱點，題型既有填項和公式是高考的熱點，題型既有填空題，又有解答題，難度中等偏高空題，又有解答題，難度中等偏高客觀題突出客觀題突出“小而巧小而巧”，考查學生對，考查學生對基礎知識的掌握程度，主觀題考查較基礎知識的掌握程度，主觀題考查較為全面，在考查基本運算、基本概念為全面，在考查基本運算、基本概念的基礎上，又注重考查函數(shù)與方程、的基礎上，又注重考查函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化、分類討論等思想方法等價轉(zhuǎn)化、分類討論等思想方法2預測預測2013年江蘇高考綜合等比數(shù)年江蘇高考綜合等比數(shù)列的通項公式，前列的通項公式，前n項和以及利用性質(zhì)項和以及利用性質(zhì)解題仍將是命題的熱點，但先對等比解題仍將是命題的熱點，但先對等比數(shù)列適度數(shù)列適度“異化異化”再處及非再處及非“標準標準”的等比數(shù)列可能成為命題的新特點，的等比數(shù)列可能成為命題的新特點，要給予適當?shù)年P注要給予適當?shù)年P注典例透析典例透析 (2011高考江蘇卷高考江蘇卷)設設1a1a2a7，其中，其中a1，a3，a5，a7成公比為成公比為q的等比數(shù)列，的等比數(shù)列，a2，a4，a6成公差為成公差為1的等差數(shù)列，則的等差數(shù)列，則q的最小的最小值是值是_例例【解析解析】a1，a3，a5，a7成公比成公比為為q的等比數(shù)列，的等比數(shù)列，又又a11，a3q，a5q2，a7q3，又又a2，a4，a6成公差為成公差為1的等差數(shù)列的等差數(shù)列，a4a21，a6a22.由由1a1a2a3a7，【得分技巧得分技巧】解決本題的關鍵在于解決本題的關鍵在于抓住抓住a1，a3，a5，a7成等比數(shù)列，首成等比數(shù)列，首項為項為1及及a2，a4，a6成等差數(shù)列公差成等差數(shù)列公差為為1，用，用a2及及q表示表示a4，a5，a6，a7，再利用再利用1a2a3a4a5a6a7列出列出q所滿足的不等式，進而求出所滿足的不等式，進而求出q最最小值小值【失分溯源失分溯源】本題難度較大，得分本題難度較大，得分率較低，造成失分的原因主要在于率較低，造成失分的原因主要在于(1)思路不清晰，不能利用已知不等式思路不清晰，不能利用已知不等式找出找出q所滿足的不等式；所滿足的不等式；(2)不能用基本量不能用基本量a1及公差及公差d表示數(shù)列表示數(shù)列的各項的各項