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轉動慣量指導書 力學實驗室 2016年3月 轉動慣量的測量 【預習思考】 １．轉動慣量的定義式是什么？ ２．轉動慣量的單位是什么？ ３．轉動慣量與質量分布的關系？ ４．了解單擺中擺長與周期的關系？ ５．擺角對周期的影響。 【儀器照片】 【原理簡述】 1、轉動慣量的定義 構件中各質點或質量單元的質量與其到給定軸線的距離平方乘積的總和，即 （1） 轉動慣量是剛體轉動時慣性的量度，其量值取決于物體的形狀、質量分布及轉軸的位置。剛體的轉動慣量有著重要的物理意義，在科學實驗、工程技術、航天、電力、機械、儀表等工業(yè)領域也是一個重要參量。 圖1 電磁系儀表的指示系統(tǒng)，因線圈的轉動慣量不同，可分別用于測量微小電流（檢流計）或電量（沖擊電流計）。在發(fā)動機葉片、飛輪、陀螺以及人造衛(wèi)星的外形 設計上，精確地測定轉動慣量，都是十分必要的。 2、轉動慣量的公式推導 測定剛體轉動慣量的方法很多，常用的有三線擺、扭擺、復擺等。本實驗采用的是三線擺，是通過扭轉運動測定物體的轉動慣量，其特點是無力圖像清楚、操作簡便易行、適合各種形狀的物體，如機械零件、電機轉子、槍炮彈丸、電風扇的風葉等的轉動慣量都可用三線擺測定。這種實驗方法在理論和技術上有一定的實際意義本實驗的目的就是要求學生掌握用三線擺測定物體轉動慣量的方法，并驗證轉動慣量的平行軸定理。 兩半徑分別為和（>）的剛性均勻圓盤，用均勻分布的三條等長的無彈性、無質量的細線相連，半徑為的圓盤在上，作為啟動盤，其懸點到盤心的距離為；半徑為的圓盤在下，作為懸盤，其懸點到盤心的距離為。將啟動盤固定，則構成一振動系統(tǒng)，稱為三線擺（圖2）。當施加力矩使懸盤轉過角后，懸盤將繞中心軸做角簡諧振動。 圖2 如圖2所示，當懸盤轉過角時，懸線點上升到，懸盤上升高度為。則 （2） (3) 可得： （4） 當很小時，括號中第二項遠小于1，作近似 （5） 式中， 為兩盤靜止時的垂直距離，和均為時間的函數(shù)。 因系統(tǒng)遵從機械能守恒，則對懸盤有下式 （6） 式中，為懸盤轉到角時上升的高度， 為懸盤上升的最大高度， 是懸盤的質量， 是懸盤繞中心軸的轉動慣量， 是懸盤轉至角、上升至時的角速度， 是懸盤的上升速度。 將式（5）和式（6）分別對時間微分，經(jīng)合并整理，得 （7） 此式表明，懸盤在作角簡諧振動，其振動周期為 (8) 因此，可知懸盤空載時繞中心軸作扭轉擺動時的轉動慣量 (9) 由式（8）可以看出，振動系統(tǒng)的周期將取決于結構參數(shù)，，和振子（懸盤）的質量及轉動慣量（而轉動慣量又與質量和質量分布狀況有關）。如果將質量為，轉動慣量為的圓環(huán)放在懸盤上，則新振子質量為，轉動慣量為，則此新振動系 統(tǒng)的振動周期將發(fā)生改變: （10） 若懸盤的、為已知，可用比較法求得，即聯(lián)立式（8）和式（10）求解，得: (11) 測出、、后代入式（3.4-8）即可求得。 實驗時，測出、、、及，由（3-2-4）式求出圓盤的轉動慣量。在下盤上放上另一個質量為，轉動慣量為（對OO′軸）的物體時，測出周期為，則有 （12） 從（12）減去（9）得到被測物體的轉動慣量為： （13） 在理論上，對于質量為，內(nèi)、外直徑分別為、的均勻圓環(huán)，通過其中心垂直軸線的轉動慣量為。而對于質量為、直徑為的圓盤，相對于中心軸的轉動慣量為。 【拓展實驗】 1. 驗證平行軸定理。 2. 研究高度H與周期T的關系？ 3. 研究質量分布與周期T的關系？ 4. 研究轉動角度對周期的影響？ 5. 研究不規(guī)則物體轉動慣量的測量？ 【思考題】 1． 扭轉角α的大小對實驗結果有無影響？若有影響，能否進行修正？ 2． 三線擺在擺動中受到空氣阻尼，振幅越來越小，它的周期如何變化？請觀察實驗，并說出理論根據(jù)。 3． 加上待測物體后，三線擺的周期是否一定比空盤的周期大？為什么？ 4． 在本實驗中，計算轉動慣量公式中的R，是否就是下圓盤的半徑？它的值如何測量？ 5． 當待測物體的轉動慣量比下圓盤的轉動慣量小得多時，為什么不適宜用三線擺測量？ 6． 用三線擺測量剛體轉動慣量時，為什么必須保持下盤水平？ 7． 在測量過程中，如果下盤出現(xiàn)晃動對周期的測量有影響么？如有影響，應該如何避免？ 8． 測量圓環(huán)的轉動慣量時，若圓環(huán)的轉軸與下盤轉軸不重合，對實驗結果有何影響？ 9． 三線擺放上待測物后，其擺動周期是否一定比空盤的轉動周期大？為什么？ 10． 三線擺經(jīng)什么位置計時誤差較??？為什么？ 11． 如何利用三線擺測定任意形狀的物體繞某軸的轉動慣量？ 12． 檢驗平行軸定理時，為什么要對稱的放兩個小圓柱體？只放置一個小圓柱體行不行？ 13． 實驗中誤差來源有哪些？如何克服？ 14． 比較兩種方法求的優(yōu)劣？ 15． 在測量圓柱的轉動慣量時，圓柱體上有一細絲，注意其作用。 【注意事項】 1． 注意儀器的水平調節(jié)； 2． 注意霍爾開關的安裝； 3． 注意預置次數(shù)與周期的關系； 4． 注意正確啟動三線擺。 【數(shù)據(jù)表格】 1． 周期地測定 表1 周期與質量 測量項目 懸盤質量 圓環(huán)質量 預設次數(shù) 20 20 10個周期的總時間t（s） 1 2 3 4 5 平均時間(s) 平均周期(s) 2． 幾何參數(shù)1（） 表2 幾何參數(shù)及其間距離 測量項目 次數(shù) 1 測 測 測 測 測 測 2 測 測 測 測 測 測 3 測 測 測 測 測 測 平均值 【參考數(shù)據(jù)處理】 1．計算各量的平均值，填入表中。 2．計算、的值，填入表2中。 3．計算的值，填入表3中。 4．懸盤空載時的轉動慣量： 實驗值： 理論值： 絕對誤差： 結果表示： 相對誤差： 5． 圓環(huán)的轉動慣量： 總轉動慣量： 圓環(huán)轉動慣量： 理論值： 絕對誤差： 結果表示： 相對誤差： 6．平行軸定理的驗證 總轉動慣量： 一個圓柱的轉動慣量： 理論值： 相對誤差： 由此可知：在誤差范圍內(nèi)，可以認為,既平行軸定理成立。 【知識拓展】 　　對于質量分布均勻，外形不復雜的物體可以從它的外形尺寸的質量分布用公式計算出相對于某一確定轉軸的轉動慣量。對于幾何形狀簡單、質量分布均勻的剛體可以直接用公式計算出它相對于某一確定轉軸的轉動慣量。而對于外形復雜和質量分布不均勻的物體只能通過實驗的方法來精確地測定物體的轉動慣量，因而實驗方法就顯得更為重要。 　　Moment of Inertia剛體繞軸轉動慣性的度量。其數(shù)值為J=∑ mi*ri^2，式中mi表示剛體的某個質點的質量，ri表示該質點到轉軸的垂直距離。 　　求和號（或積分號）遍及整個剛體。轉動慣量只決定于剛體的形狀、質量分布和轉軸的位置，而同剛體繞軸的轉動狀態(tài)（如角速度的大?。o關。規(guī)則形狀的均質剛體，其轉動慣量可直接計得。不規(guī)則剛體或非均質剛體的轉動慣量，一般用實驗法測定。轉動慣量應用于剛體各種運動的動力學計算中。 　　描述剛體繞互相平行諸轉軸的轉動慣量之間的關系，有如下的平行軸定理：剛體對一軸的轉動慣量，等于該剛體對同此軸平行并通過質心之軸的轉動慣量加上該剛體的質量同兩軸間距離平方的乘積。由于和式的第二項恒大于零，因此剛體繞過質量中心之軸的轉動慣量是繞該束平行軸諸轉動慣量中的最小者。 垂直軸定理 　　還有垂直軸定理：垂直軸定理 　　一個平面剛體薄板對于垂直它的平面的軸的轉動慣量，等于繞平面內(nèi)與垂直軸相交的任意兩正交軸的轉 垂直軸定理 動慣量之和。 　　表達式:Iz=Ix+Iy 　　剛體對一軸的轉動慣量，可折算成質量等于剛體質量的單個質點對該軸所形成的轉動慣量。由此折算所得的質點到轉軸的距離 ，稱為剛體繞該軸的回轉半徑κ，其公式為 I=MK^2，式中M為剛體質量；I為轉動慣量。 　　轉動慣量的量綱為L^2M，在SI單位制中，它的單位是kgm^2。 　　剛體繞某一點轉動的慣性由更普遍的慣量張量描述。慣量張量是二階對稱張量，它完整地刻畫出剛體繞通過該點任一軸的轉動慣量的大小。 　　補充對轉動慣量的詳細解釋及其物理意義： 　　先說轉動慣量的由來，先從動能說起大家都知道動能E=(1/2)mv^2，而且動能的實際物理意義是：物體相對某個系統(tǒng)（選定一個參考系）運動的實際能量，（P勢能實際意義則是物體相對某個系統(tǒng)運動的可能轉化為運動的實際能量的大?。?。 　　E=(1/2)mv^2 （v^2為v的2次方） 　　把v=wr代入上式 (w是角速度,r是半徑，在這里對任何物體來說是把物體微分化分為無數(shù)個質點，質點與運動整體的重心的距離為r,而再把不同質點積分化得到實際等效的r) 　　得到E=(1/2)m(wr)^2 　　由于某一個對象物體在運動當中的本身屬性m和r都是不變的，所以把關于m、r的變量用一個變量K代替, 　　K=mr^2 　　得到E=(1/2)Kw^2 　　K就是轉動慣量，分析實際情況中的作用相當于牛頓運動平動分析中的質量的作用，都是一般不輕易變的量。 　　這樣分析一個轉動問題就可以用能量的角度分析了，而不必拘泥于只從純運動角度分析轉動問題。