第四章 不定積分 前面討論了一元函數(shù)微分學(xué)，從本章開始我們將討論高等數(shù)學(xué)中的第二個核心內(nèi)容：一元函數(shù)積分學(xué)．本章主要介紹不定積分的概念與性質(zhì)以及基本的積分方法． 第1節(jié) 不定積分的概念與性質(zhì) 1.1 不定積分的概念 在微分學(xué)中，我們討論了求一個已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的問題，例如，變速直線運(yùn)動中已知位移函數(shù)為 ， 則質(zhì)點(diǎn)在時刻的瞬時速度表示為 ． 實(shí)際上，在運(yùn)動學(xué)中常常遇到相反的問題，即已知變速直線運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)在時刻的瞬時速度 ， 求出質(zhì)點(diǎn)的位移函數(shù) ． 即已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求原來的函數(shù)．這種問題在自然科學(xué)和工程技術(shù)問題中普遍存在．為了便于研究，我們引入以下概念． 1.1.1原函數(shù) 定義1 如果在區(qū)間上，可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，即對任一，都有 或 ， 那么函數(shù)就稱為在區(qū)間I上的原函數(shù)． 例如，在變速直線運(yùn)動中，，所以位移函數(shù)是速度函數(shù)的原函數(shù)； 再如，，所以是在上的一個原函數(shù)．所以是在的一個原函數(shù)． 一個函數(shù)具備什么樣的條件，就一定存在原函數(shù)呢？這里我們給出一個充分條件． 定理1 如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，那么在區(qū)間上一定存在可導(dǎo)函數(shù)，使對任一都有 ． 簡言之，連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)．由于初等函數(shù)在其定義區(qū)間上都是連續(xù)函數(shù)，所以初等函數(shù)在其定義區(qū)間上都有原函數(shù)． 定理1的證明，將在后面章節(jié)給出. 關(guān)于原函數(shù)，不難得到下面的結(jié)論： 若，則對于任意常數(shù)，都是的原函數(shù)．也就是說，一個函數(shù)如果存在原函數(shù)，則有無窮多個． 假設(shè)和都是的原函數(shù)，則，必有,即一個函數(shù)的任意兩個原函數(shù)之間相差一個常數(shù)． 因此我們有如下的定理： 定理2 若和都是的原函數(shù)，則（為任意常數(shù)）． 若，則（為任意常數(shù)）表示的所有原函數(shù)．我們稱集合為的原函數(shù)族．由此，我們引入下面的定義． 1.1.2不定積分 定義2 在區(qū)間上，函數(shù)的所有原函數(shù)的全體，稱為在上的不定積分， 記作 ． 其中稱為積分號，稱為被積函數(shù)，稱為被積表達(dá)式，稱為積分變量． 由此定義，若是的在區(qū)間上的一個原函數(shù)，則的不定積分可表示為 ． 注 （1）不定積分和原函數(shù)是兩個不同的概念，前者是個集合，后者是該集合中的一個元素． （2）求不定積分，只需求出它的某一個原函數(shù)作為其無限個原函數(shù)的代表，再加上一個任意常數(shù)． 例1 求． 解 因?yàn)樗裕? 例2 求． 解 （1）因?yàn)樗裕? （2）因?yàn)樗裕? （3）因?yàn)樗? ． 例3 求． 解 由于時，，所以是在上的一個原函數(shù)，因此在內(nèi)，． 又當(dāng)時，，所以是在上的一個原函數(shù)，因此在內(nèi)，． 綜上，． 例4 在自由落體運(yùn)動中，已知物體下落的時間為，求時刻的下落速度和下落距離． 解 設(shè)時刻的下落速度為，則加速度（其中為重力加速度）． 因此 ， 又當(dāng)時，，所以．于是下落速度． 又設(shè)下落距離為，則．所以 ， 又當(dāng)時，，所以．于是下落距離． 1.1.3不定積分的幾何意義 設(shè)函數(shù)是連續(xù)的，若，則稱曲線是函數(shù)的一條積分曲線．因此不定積分在幾何上表示被積函數(shù)的一族積分曲線． 積分曲線族具有如下特點(diǎn)（如圖4.1）： （1）積分曲線族中任意一條曲線都可由其中某一條平移得到； （2）積分曲線上在橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)處的切線的斜率是相同的，即在這些點(diǎn)處對應(yīng)的切線都是平行的． 圖4-1 例5 設(shè)曲線通過點(diǎn)，且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程． 解 設(shè)曲線方程，曲線上任一點(diǎn)處切線的斜率，即是的一個原函數(shù)．因?yàn)?，又曲線過，所以 ，． 于是曲線方程為 ． 1.2 基本積分公式 由定義可知，求原函數(shù)或不定積分與求導(dǎo)數(shù)或求微分互為逆運(yùn)算， 我們把求不定積分的運(yùn)算稱為積分運(yùn)算．既然積分運(yùn)算與微分運(yùn)算是互逆的，那么很自然地從導(dǎo)數(shù)公式可以得到相應(yīng)的積分公式． 例如，因=，所以（）． 類似可以得到其他積分公式，下面一些積分公式稱為基本積分公式． ①（k是常數(shù)）; ②（）; ③; ④; ⑤; ⑥; ⑦; ⑧; ⑨; ⑩，; ?，; ?; ?; 以上13個基本積分公式，是求不定積分的基礎(chǔ)，必須牢記．下面舉例說明積分公式②的應(yīng)用． 例6 求不定積分． 解 ． 以上例子中的被積函數(shù)化成了冪函數(shù)的形式，然后直接應(yīng)用冪函數(shù)的積分公式②求出不定積分．但對于某些形式復(fù)雜的被積函數(shù)，如果不能直接利用基本積分公式求解，則可以結(jié)合不定積分的性質(zhì)和基本積分公式求出一些較為復(fù)雜的不定積分． 1.3 不定積分的性質(zhì) 根據(jù)不定積分的定義，可以推得它有如下兩個性質(zhì)． 性質(zhì)1 積分運(yùn)算與微分運(yùn)算互為逆運(yùn)算 （1）或． （2）或 性質(zhì)2 設(shè)函數(shù)和的原函數(shù)存在，則 ． 易得性質(zhì)2對于有限個函數(shù)的都是成立的． 性質(zhì)3 設(shè)函數(shù)的原函數(shù)存在，為非零的常數(shù)，則 ． 由以上兩條性質(zhì)，得出不定積分的線性運(yùn)算性質(zhì)如下： ． 例7 求． 解 ． 例8 求． 解 原式=． 例9 求． 解 原式． 例10 求． 解 ． 例11 求． 解 =． 注 本節(jié)例題中的被積函數(shù)在積分過程中，要么直接利用積分性質(zhì)和基本積分公式，要么將函數(shù)恒等變形再利用積分性質(zhì)和基本積分公式，這種方法稱為基本積分法．此外，積分運(yùn)算的結(jié)果是否正確，可以通過它的逆運(yùn)算（求導(dǎo)）來檢驗(yàn)，如果它的導(dǎo)函數(shù)等于被積函數(shù)，那么積分結(jié)果是正確的，否則是錯誤的． 下面再看一個抽象函數(shù)的例子： 例12 設(shè)，求？ 解 由，可得， 從而． 習(xí)題4-1 1．求下列不定積分． （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）； （11）； （12）； （13）； （14）； （15）； （16）； （17）； （18）． 2．已知某產(chǎn)品產(chǎn)量的變化率是時間的函數(shù)，（，為常數(shù)）．設(shè)此產(chǎn)品的產(chǎn)量函數(shù)為，且，求． 3．驗(yàn)證． 4．設(shè)，求？ 第2節(jié) 換元積分法和不定積分法 2.1 換元積分法 上一節(jié)介紹了利用基本積分公式與積分性質(zhì)的直接積分法，這種方法所能計算的不定積分是非常有限的．因此，有必要進(jìn)一步研究不定積分的求法．這一節(jié)，我們將介紹不定積分的最基本也是最重要的方法——換元積分法，簡稱換元法．其基本思想是：利用變量替換，使得被積表達(dá)式變形為基本積分公式中的形式，從而計算不定積分． 換元法通常分為兩類，下面首先討論第一類換元積分法． 2.1.1第一類換元積分法 定理1 設(shè)具有原函數(shù)，可導(dǎo)，則有換元公式 ． （4.2.1） 證明 不妨令為的一個原函數(shù),則．由不定積分的定義只需證明，利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則顯然成立． 注 由此定理可見，雖然不定積分是一個整體的記號，但從形式上看，被積表達(dá)式中的也可以當(dāng)做自變量的微分來對待．從而微分等式可以方便地應(yīng)用到被積表達(dá)式中． 例1 求． 解 ， 最后，將變量代入，即得 ． 根據(jù)例1第一類換元公式求不定積分可分以下步驟: （1）將被積函數(shù)中的簡單因子湊成復(fù)合函數(shù)中間變量的微分； （2）引入中間變量作換元； （3）利用基本積分公式計算不定積分； （4）變量還原． 顯然最重要的是第一步——湊微分，所以第一類換元積分法通常也稱為湊微分法． 例2 求． 解 被積函數(shù)是復(fù)合函數(shù)，中間變量，，這里缺少了中間變量的導(dǎo)數(shù)4，可以通過改變系數(shù)湊出這個因子： ． 例3 求． 解 為復(fù)合函數(shù)，是中間變量，且， ． 對第一類換元法熟悉后，可以整個過程簡化為兩步完成． 例4 求． 解 ． 注 如果被積表達(dá)式中出現(xiàn)，，通常作如下相應(yīng)的湊微分： ， ． 例5 求． 解 因?yàn)椋嗉?，所? ． 例6 求． 解 因?yàn)?，所? ． 例7 求． 解 因?yàn)椋? ． 在例4至例7中，沒有引入中間變量，而是直接湊微分．下面是根據(jù)基本微分公式推導(dǎo)出的常用的湊微分公式． ① ． ②． ③． ④． ⑤ ． ⑥ ． ⑦． ⑧ ． ⑨． ⑩． 在積分的運(yùn)算中，被積函數(shù)有時還需要作適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)式或三角函數(shù)式的恒等變形后，再用湊微分法求不定積分． 例8 求． 解 將函數(shù)變形，由，所以得到 ． 例9 求． 解 ． 例10 求． 解 =． 同理，我們可以推得． 例11 求． 解 ． 例12 求． 解 ． 例13 求． 解 ． 例14 求． 解 ． 同理，我們可以推得． 注 對形如的積分，如果，中有奇數(shù)，取奇次冪的底數(shù)（如是奇數(shù)，則?。┡c湊微分，那么被積函數(shù)一定能夠變形為關(guān)于另一個底數(shù)的多項式函數(shù)，從而可以順利的計算出不定積分;如果，均為偶數(shù)，則利用倍角（半角）公式降冪，直至將三角函數(shù)降為一次冪，再逐項積分． 例15 求． 解 == =． 一般的，對于形如下列形式 ， ， ， 的積分（），先將被積函數(shù)用三角函數(shù)積化和差公式進(jìn)行恒等變形后，再逐項積分． 例16 求． 解 因?yàn)? ， 所以 ． 這是一個有理函數(shù)（形如的函數(shù)稱為有理函數(shù)，，均為多項式）的積分，將有理函數(shù)分解成更簡單的部分分式的形式，然后逐項積分，是這種函數(shù)常用的變形方法．下面再舉幾個被積函數(shù)為有理函數(shù)的例子． 例17 求． 解 先將有理真分式的分母因式分解，得．然后利用待定系數(shù)法將被積函數(shù)進(jìn)行分拆． 設(shè) =， 從而 ， 分別將代入中，易得． 故原式==． 例18 求． 解 由， 令 ， 兩邊同乘以，得 ． 令得；令得；令，得． 所以 ． 故 = ． 2.1.2 第二類換元積分方法 定理2 設(shè)是單調(diào)，可導(dǎo)的函數(shù)，并且，又設(shè)具有原函數(shù)，則有換元公式， ， 其中，是的反函數(shù)． 證明 設(shè)的原函數(shù)為．記，利用復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)求導(dǎo)法則得 ， 則是的原函數(shù)．所以 ． 利用第二類換元法進(jìn)行積分，重要的是找到恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)代入到被積函數(shù)中，將被積函數(shù)化簡成較容易的積分，并且在求出原函數(shù)后將還原．常用的換元法主要有三角函數(shù)代換法、簡單無理函數(shù)代換法和倒代換法． 一、三角函數(shù)代換法 例19 求． 解 設(shè)，，， 于是=． 因?yàn)? ，所以 為求出，利用作輔助三角形（圖4-2），求得， 所以 ． 圖4-2 例20 求． 解 令， =． 利用作輔助三角形（圖4-3），求得 所以 ． 圖4-3 例21 求． 解 當(dāng)時，令， =． 利用作輔助三角形（圖4-4），求得， 所以 ，． 當(dāng)時，令則，由上面的結(jié)果，得 =． 綜上， ． 圖4-4 注 當(dāng)被積函數(shù)含有形如，，的二次根式時，可以作相應(yīng)的換元：，，將根號化去．但是具體解題時，要根據(jù)被積函數(shù)的具體情況，選取盡可能簡捷的代換，不能只局限于以上三種代換． 二、簡單無理函數(shù)代換法 例22 求． 解 令， =． 例23 求． 解 被積函數(shù)中出現(xiàn)了兩個不同的根式，為了同時消去這兩個根式，可以作如下代換： 令，則，，從而 ． 例24 求． 解 為了去掉根式，作如下代換：，則，，從而 ． 一般的，如果積分具有如下形式 （1），則作變換； （2），則作變換，其中是，的最小公倍數(shù)； （3），則作變換． 運(yùn)用這些變換就可以將被積函數(shù)中的根數(shù)去掉，被積函數(shù)就化為有理函數(shù)． 三、倒代換法 在被積函數(shù)中如果出現(xiàn)分式函數(shù)，而且分母的次數(shù)大于分子的次數(shù)，可以嘗試?yán)玫勾鷵Q，即令，利用此代換，常?？梢韵ケ环e函數(shù)中分母中的變量因子． 例25 求． 解 令， = ． 例26 求． 解 設(shè) 于是 , 當(dāng)時，有 ． 時，結(jié)果相同． 本例也可用三角代換法,請讀者自行求解． 四、指數(shù)代換 例27 求． 解 設(shè) 于是 ． 注 本節(jié)例題中，有些積分會經(jīng)常遇到，通常也被當(dāng)作公式使用．承接上一節(jié)的基本積分公式，將常用的積分公式再添加幾個（）： ①; ②; ③=; ④; ⑤; ⑥=; ⑦; ⑧; ⑨． 例28 求． 解 =． 例29 求． 解 =． 例30 求． 解 =． 例31 求． 解 被積函數(shù)為有理函數(shù)，且分母為二次質(zhì)因式的平方，把二次質(zhì)因式進(jìn)行配方：，令，則 ，． 所以 ． 圖4-5 按照變換作（輔助三角形圖4-5），則有 ，， 于是 ． 2.2 分部積分法 前面我們得到了換元積分法．現(xiàn)在我們利用“兩個函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則”來推導(dǎo)求積分的另一種基本方法—分部積分法． 定理1 設(shè)函數(shù)，具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則 ． （4.2.2） 證明 微分公式兩邊積分得 ， 移項后得 ． 我們把公式（4.2.2）稱為分部積分公式．它可以將不易求解的不定積分轉(zhuǎn)化成另一個易于求解的不定積分． 例32 求． 解 根據(jù)分部積分公式，首先要選擇和，顯然有兩種方式，我們不妨先設(shè) 即，則 ． 采用這種選擇方式，積分很順利的被積出，但是如果作如下的選擇： 設(shè) 即，則 ， 比較原積分與新得到的積分，顯然后面的積分變得更加復(fù)雜難以解出． 由此可見利用分部積分公式的關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)倪x擇和．如果選擇不當(dāng)，就會使原來的積分變的更加復(fù)雜． 在選取和時一般考慮下面兩點(diǎn): （1）要容易求得； （2）要比容易求出． 例33 求． 解 令,則 ． 例34 求． 解 令，則利用分部積分公式得 ， 這里運(yùn)用了一次分部積分公式后，雖然沒有直接將積分積出，但是的冪次比原來降了一次，顯然比容易積出，根據(jù)例4.3.2，我們可以繼續(xù)運(yùn)用分部積分公式，從而得到 ． 注 當(dāng)被積函數(shù)是冪函數(shù)與正（余）弦或指數(shù)函數(shù)的乘積時，冪函數(shù)在的前面，正（余）弦或指數(shù)函數(shù)至于的后面． 例35 求． 解 令，，則 ． 在分部積分公式運(yùn)用比較熟練后，就不必具體寫出和，只要把被積表達(dá)式寫成的形式，直接套用分部積分公式即可． 例36 求． 解 ． 注 當(dāng)被積函數(shù)是冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)的乘積時，對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)在的前面，冪函數(shù)至于的后面． 下面再來舉幾個比較典型的分部積分的例子． 例37 求． 解 （法一） =， ． （法二） = = =， ∴ ． 當(dāng)被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù)與正（余）弦函數(shù)的乘積時，任選一種函數(shù)湊微分，經(jīng)過兩次分部積分后，會還原到原來的積分形式，只是系數(shù)發(fā)生了變化，我們往往稱它為“循環(huán)法”，但要注意兩次湊微分函數(shù)的選擇要一致． 例38 求． 解 ， 利用 并解方程得 =+． 在求不定積分的過程中，有時需要同時使用換元法和分部積分法． 例39 求． 解 令， ． 例40 求． 解 令， =． 下面再看一個抽象函數(shù)的例子． 例41 已知的一個原函數(shù)是，求？ 解 因?yàn)榈囊粋€原函數(shù)是，所以， 且 ．從而 原式． 習(xí)題4-2 一、求下列不定積分． 1．； 2．； 3．（）； 4．； 5．； 6．； 7．； 8．； 9．； 10．； 11．； 12．； 13．； 14．； 15．； 16．； 17．； 18．； 19．； 20．； 21．； 22．； 23．； 24．； 25．； 26．； 27．； 28．； 29．； 30．； 31．； 32．； 33．； 34．； 35．； 36．； 37．； 38．； 39．； 40．； 41．； 42．； 43．； 44．； 45．； 46．． 二、求下列不定積分． 1．； 2．； 3．； 4．； 5．； 6．（）； 7．； 8．； 9．； 10．； 11．； 12．； 13．； 14．； 15．； 16．； 17．； 18．． 三、已知的一個原函數(shù)是，求. 第3節(jié) 有理函數(shù)的積分 3.1 有理函數(shù)的積分 有理函數(shù)的形式 有理函數(shù)是指由兩個多項式的商所表示的函數(shù)即具有如下形式的函數(shù): 其中m和n都是非負(fù)整數(shù) a0a1a2an及b0b1b2bm都是實(shí)數(shù)并且a00b00當(dāng)nm時稱這有理函數(shù)是真分式而當(dāng)nm時稱這有理函數(shù)是假分式 假分式總可以化成一個多項式與一個真分式之和的形式例如 真分式的不定積分 求真分式的不定積分時如果分母可因式分解則先因式分解然后化成部分分式再積分 例1 求 解 6ln|x3|5ln|x2|C 提示AB13A2B3A6B5 分母是二次質(zhì)因式的真分式的不定積分 例2 求 解 提示 例3 求 解 提示 3.2 三角函數(shù)有理式的積分 三角函數(shù)有理式是指由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算所構(gòu)成的函數(shù)其特點(diǎn)是分子分母都包含三角函數(shù)的和差和乘積運(yùn)算由于各種三角函數(shù)都可以用sin x及cos x的有理式表示故三角函數(shù)有理式也就是sin x、cos x的有理式 用于三角函數(shù)有理式積分的變換: 把sin x、cos x表成的函數(shù)然后作變換 變換后原積分變成了有理函數(shù)的積分 例4 求 解 令則x2arctan u 于是 說明: 并非所有的三角函數(shù)有理式的積分都要通過變換化為有理函數(shù)的積分 例如 習(xí)題4-3 求下列不定積分． 1.； 2.； 3.； 4. ； 5.； 6.； 7.； 8.； 9. ； 10.； 11.； 12.. 第4節(jié) MATLAB軟件的應(yīng)用 在高等數(shù)學(xué)中，經(jīng)常利用函數(shù)圖形研究函數(shù)的性質(zhì)，在此，我們應(yīng)用MATLAB命令來實(shí)現(xiàn)這一操作.MATLAB符號運(yùn)算工具箱提供了int函數(shù)來求函數(shù)的不定積分，該函數(shù)的調(diào)用格式為： Int(fx,x) %求函數(shù)f(x)關(guān)于x的不定積分 參數(shù)說明：fx是函數(shù)的符號表達(dá)式，x是符號自變量，當(dāng)fx只含一個變量時，x可省略. 例計算下面的不定積分. syms x I=int((x+sin(x)/(1+cosx))) I=X*tan(x/2) 說明：由上述運(yùn)行結(jié)果可知，int函數(shù)求取的不定積分是不帶常數(shù)項的，要得到一般形式的不定積分，可以編寫以下語句： syms x c fx=f(x); int(fx,x)+c 以為例，編寫如下語句可以得到其不定積分： syms x c fx=(x+sin(x))/(1+cos(x)); I=int(fx,x)+c I=C+x*tan(x/2) 在上述語句的基礎(chǔ)上再編寫如下語句即可觀察函數(shù)的積分曲線族： ezplot(fx,[-2,2]) hf=ezplot(fx,[-2,2]); xx=linspace(-2,2); plot(xx,subs(fx,xx),’k’,’LineWidth’,2) hold on for c=0:6 Y=inline(subs(I,C,c)); Plot(xx,y(xx),’LineStyle’,’- -’); End legend(‘函數(shù)曲線’，’積分曲線族’，4). 總習(xí)題4 (A) 一、填空題 1．若的一個原函數(shù)為，則=． 2．設(shè)，則＝． 3．． 4．． 5．＝． 二、選擇題 1．曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，且過點(diǎn)，則該曲線方程為． (A) (B) (C) (D) 2．設(shè)的一個原函數(shù)是，則． (A) (B) (C) (D) 3．設(shè)是的一個原函數(shù)，則． (A) (B) (C) (D) 4．設(shè)的原函數(shù)為，則等于． (A) (B) (C) (D) 5．． (A) (B) (C) (D) 三、計算下列各題 1．； 2．； 3．； 4．； 5．； 6．； 7．； 8．； 9．； 10．； 11．； 12．； 13．； 14．； 15．； 16．； 17．； 18．； 19．； 20．； 21．； 22．； 23．； 24．； 25．； 26．； 27．； 28．； 29．； 30．； 31．； 32．； 33．； 34．； 35．； 36．． (B) 1.（1999、數(shù)學(xué)一）設(shè)是連續(xù)函數(shù)是的原函數(shù),則( ). (A) 當(dāng)是奇函數(shù)時,必是偶函數(shù). (B) 當(dāng)是偶函數(shù)時,必是奇函數(shù). (C) 當(dāng)是周期函數(shù)時,必是周期函數(shù). (D) 當(dāng)是單調(diào)增函數(shù)時,必是單調(diào)增函數(shù). 2.（2006、數(shù)學(xué)二） 求. 3.（2003、數(shù)學(xué)二） 計算不定積分. 4.(2009、數(shù)學(xué)三) 計算不定積分.