Page 1上一講回顧（上一講回顧（5）靜不定問題靜不定問題平衡方程平衡方程 120iNNfFF ,求解求解協(xié)調(diào)方程協(xié)調(diào)方程 120jgll , jNNgFF *12,0物理方程物理方程jNjlF 先假設(shè)節(jié)點(diǎn)的位移，然后畫變形圖，根據(jù)變形圖畫受力先假設(shè)節(jié)點(diǎn)的位移，然后畫變形圖，根據(jù)變形圖畫受力圖，再找各桿之間的變形協(xié)調(diào)關(guān)系圖，再找各桿之間的變形協(xié)調(diào)關(guān)系裝配應(yīng)力與熱應(yīng)力裝配應(yīng)力與熱應(yīng)力靜不定度靜不定度求解思路求解思路靜不定珩架的內(nèi)力求解靜不定珩架的內(nèi)力求解Page 2第四章第四章 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)Page 3外力外力：作用面垂直于桿軸線的力偶，稱為作用面垂直于桿軸線的力偶，稱為扭力偶扭力偶，扭力偶之矩稱為扭力偶之矩稱為扭力偶矩扭力偶矩或或扭力矩扭力矩。變形變形：各橫截面繞軸線作相對(duì)旋轉(zhuǎn)，軸線仍為直線各橫截面繞軸線作相對(duì)旋轉(zhuǎn)，軸線仍為直線。軸軸： 以扭轉(zhuǎn)變形為主要變形的直桿稱為軸以扭轉(zhuǎn)變形為主要變形的直桿稱為軸。受扭桿件的外力及變形特征受扭桿件的外力及變形特征Page 4 工程中的扭轉(zhuǎn)問題工程中的扭轉(zhuǎn)問題 傳動(dòng)軸傳動(dòng)軸Page 5Page 64.2 4.2 扭矩與扭矩圖扭矩與扭矩圖扭矩：扭矩：矢量方向垂直于橫矢量方向垂直于橫截面的截面的內(nèi)內(nèi)力偶矩，并用力偶矩，并用T T 表示。表示。符號(hào)規(guī)定：符號(hào)規(guī)定：矢量方向矢量方向( (按按右手螺旋定則右手螺旋定則) )與橫截面與橫截面外法線方向一致的扭矩外法線方向一致的扭矩為正，反之為負(fù)。為正，反之為負(fù)。BAMmmMMAmmxT扭矩扭矩 扭力矩扭力矩! !Page 7例：例：畫扭矩圖。畫扭矩圖。ABC2MM3MAC2M2TMM12TM M2MTx扭矩圖：扭矩圖：扭矩扭矩 (T) 隨軸線位置隨軸線位置(x)變化的圖線。變化的圖線。在在ABAB和和BCBC段分別切開，分別段分別切開，分別考察左與右段平衡考察左與右段平衡（設(shè)正）（設(shè)正）12TM 2TM AB段：段：BC段：段：畫扭矩圖。畫扭矩圖。注意：扭矩圖與受扭軸對(duì)齊，注意：扭矩圖與受扭軸對(duì)齊，標(biāo)注正負(fù)號(hào)。標(biāo)注正負(fù)號(hào)。Page 8 1Txmx 2Tml 32Tml 例：例：畫扭矩圖畫扭矩圖(m：?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度的扭力偶矩：?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度的扭力偶矩)。AB段：段：BC段：段：CD段：段：試與軸力圖比較，試與軸力圖比較， 考察對(duì)應(yīng)關(guān)系。考察對(duì)應(yīng)關(guān)系。/2ll/2lABDCm3Mmlxx1( )T xTx2mlml在在AB、BC和和CD段分別由三截面段分別由三截面切開，考察左（或右）段平衡切開，考察左（或右）段平衡畫扭矩圖畫扭矩圖Page 9對(duì)應(yīng)拉壓?jiǎn)栴}對(duì)應(yīng)拉壓?jiǎn)栴}與軸力圖與軸力圖2. 2. 對(duì)應(yīng)的軸力圖與扭矩圖對(duì)應(yīng)的軸力圖與扭矩圖ABDCm3Mml/2ll/2lNFql2qlxTx2mlmlq3Fql/2ll/2lPage103. 3. 軸的動(dòng)力傳遞軸的動(dòng)力傳遞已知傳動(dòng)構(gòu)件的轉(zhuǎn)速與所傳遞的已知傳動(dòng)構(gòu)件的轉(zhuǎn)速與所傳遞的功率，計(jì)算軸所承受的扭力矩。功率，計(jì)算軸所承受的扭力矩。（弧度）（弧度）牛頓米）牛頓米）（弧度）（弧度）牛頓米）牛頓米）nTTW 2( (（秒）牛頓米）（秒）千瓦）601000( 60(PPW牛頓米）(9549260000nPnPT解解: :計(jì)算一分鐘的功計(jì)算一分鐘的功 W 從扭力矩看從扭力矩看從電機(jī)看從電機(jī)看兩式得扭矩兩式得扭矩Page11分析方法：分析方法：幾何、物理、靜力學(xué)三方面。幾何、物理、靜力學(xué)三方面。關(guān)鍵是幾何方面：關(guān)鍵是幾何方面：?jiǎn)栴}：?jiǎn)栴}：橫截面應(yīng)力大小、方向、分布均未知，僅知合成扭矩橫截面應(yīng)力大小、方向、分布均未知，僅知合成扭矩T 。 連續(xù)體的靜不定問題連續(xù)體的靜不定問題 。合理假設(shè)合理假設(shè)截面上各點(diǎn)變形的規(guī)律：截面上各點(diǎn)變形的規(guī)律：實(shí)驗(yàn)觀測(cè)實(shí)驗(yàn)觀測(cè)連續(xù)體的變形協(xié)調(diào)條件連續(xù)體的變形協(xié)調(diào)條件(數(shù)學(xué)公式數(shù)學(xué)公式)MMTM12)(),(rfr 幾何方面：幾何方面：截面上各點(diǎn)變形的規(guī)律截面上各點(diǎn)變形的規(guī)律靜力學(xué)方面：靜力學(xué)方面：合成扭矩等于扭力矩合成扭矩等于扭力矩MdArTA),()(),(rGfr物理方面：物理方面：變形與應(yīng)力之間的關(guān)系變形與應(yīng)力之間的關(guān)系Page12一、試驗(yàn)與假設(shè)一、試驗(yàn)與假設(shè)縱線：縱線：傾斜同一角度并保持直線。傾斜同一角度并保持直線。 2. 扭轉(zhuǎn)平面假設(shè)扭轉(zhuǎn)平面假設(shè)各橫截面如同剛性圓片，僅繞軸線作相對(duì)旋轉(zhuǎn)。各橫截面如同剛性圓片，僅繞軸線作相對(duì)旋轉(zhuǎn)。圓周線：圓周線：形狀、大小與間距均不改變，僅繞軸線相對(duì)旋轉(zhuǎn)。形狀、大小與間距均不改變，僅繞軸線相對(duì)旋轉(zhuǎn)。1. 實(shí)驗(yàn)觀測(cè)實(shí)驗(yàn)觀測(cè)這一假設(shè)為建立單參數(shù)的變形協(xié)調(diào)公式提供了依據(jù)。這一假設(shè)為建立單參數(shù)的變形協(xié)調(diào)公式提供了依據(jù)。Page13二、扭轉(zhuǎn)應(yīng)力的一般公式二、扭轉(zhuǎn)應(yīng)力的一般公式Page14取楔形體取楔形體O1O2ABCD 為為研究對(duì)象研究對(duì)象微段扭轉(zhuǎn)微段扭轉(zhuǎn)變形變形 d 1. 幾何方面（截取楔形體，動(dòng)畫）幾何方面（截取楔形體，動(dòng)畫）Page151. 幾何方面（變形公式推導(dǎo)）幾何方面（變形公式推導(dǎo)）tanddadddx dddaddx 由此得由此得其中其中截面常數(shù)截面常數(shù)Page162. 物理方面物理方面ddx G dGdx 考察：扭轉(zhuǎn)切應(yīng)考察：扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力分布規(guī)律力分布規(guī)律與與 成正比，成正比，垂直于半徑垂直于半徑Page17AdAT PTI 3. 靜力學(xué)方面靜力學(xué)方面圓軸扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的圓軸扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的一般公式。一般公式。dAOT2AdGdATdx 2pAIdA 極慣性矩極慣性矩定義：定義：PdTdxGI 扭轉(zhuǎn)角變化率扭轉(zhuǎn)角變化率dGdx 公式中還有哪些量未被確定？公式中還有哪些量未被確定？Page18maxPPTRTIIR 三、最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力三、最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力OmaxRPPIWR 定義：定義： 抗扭截面系數(shù)抗扭截面系數(shù)maxPTW 最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力發(fā)生在圓軸最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力發(fā)生在圓軸表面表面Page192dAd /2442P/22(1)32DdIdD dD 3P4(1),16WD 空心圓截面空心圓截面dDd 四四. . 極慣性矩與抗扭截面系數(shù)極慣性矩與抗扭截面系數(shù)實(shí)心圓截面實(shí)心圓截面0 設(shè)設(shè)4P,32DI 3P16DW 2pAIdA Page20圓軸扭轉(zhuǎn)應(yīng)力小結(jié)圓軸扭轉(zhuǎn)應(yīng)力小結(jié)公式的適用范圍：公式的適用范圍：圓截面軸；圓截面軸；maxp 外部變形外部變形平面假設(shè)平面假設(shè)物理方程物理方程( (應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系) )靜力學(xué)條件靜力學(xué)條件( (平衡方程平衡方程) )橫截面上剪應(yīng)力橫截面上剪應(yīng)力PTI 切應(yīng)變切應(yīng)變ddx 求出截面常數(shù)求出截面常數(shù) 完全確定切應(yīng)變分布完全確定切應(yīng)變分布dxd剪切胡克定律剪切胡克定律Page21例：例：畫橫截面扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力分布示意圖。畫橫截面扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力分布示意圖。組合軸組合軸空心軸空心軸OT1R2RT1R2R2G1GOO21()GG 設(shè)平面假設(shè)成立設(shè)平面假設(shè)成立Page22 薄壁圓管的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力薄壁圓管的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力1 1、精確計(jì)算、精確計(jì)算按空心軸的計(jì)算辦法按空心軸的計(jì)算辦法2 2、近似計(jì)算、近似計(jì)算管壁薄管壁薄假設(shè)切應(yīng)力沿假設(shè)切應(yīng)力沿 管壁均勻分布管壁均勻分布 R1R2當(dāng)當(dāng)R0/10時(shí)，足夠精確時(shí)，足夠精確T= AR0A 2 R0 202TR Page23 切應(yīng)力互等定理切應(yīng)力互等定理薄壁園管的扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)，沿壁厚方向取一微體薄壁園管的扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)，沿壁厚方向取一微體Page24切應(yīng)力互等定理切應(yīng)力互等定理在微體的在微體的互垂互垂截面上，垂直于截面交線的切應(yīng)力數(shù)截面上，垂直于截面交線的切應(yīng)力數(shù)值相等，方向均指向或離開交線。值相等，方向均指向或離開交線。0zM 11 01dydxdzdxdydzxyzdydxdzdydz1dydz1將所取微體置于坐標(biāo)系下，研將所取微體置于坐標(biāo)系下，研究其平衡究其平衡Page25切應(yīng)力互等定理的幾點(diǎn)推論切應(yīng)力互等定理的幾點(diǎn)推論 矩形截面軸角點(diǎn)上矩形截面軸角點(diǎn)上的切應(yīng)力為零。的切應(yīng)力為零。 縱截面上存在切應(yīng)力縱截面上存在切應(yīng)力 受扭軸橫截面邊緣上任一點(diǎn)的切應(yīng)力方向與該點(diǎn)的切受扭軸橫截面邊緣上任一點(diǎn)的切應(yīng)力方向與該點(diǎn)的切線方向一致（即線方向一致（即邊緣切應(yīng)力平行于周邊）邊緣切應(yīng)力平行于周邊）Page26作業(yè)作業(yè)3-30，4-1a,d(畫扭矩圖畫扭矩圖)，4，62(1)EG 注意：注意：Page27上一講回顧（上一講回顧（6）受扭圓軸的外力特征與變形特征受扭圓軸的外力特征與變形特征扭矩的符號(hào)（扭矩矢離開截面為正）與扭矩圖扭矩的符號(hào)（扭矩矢離開截面為正）與扭矩圖圓軸的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力圓軸的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力扭轉(zhuǎn)變形基本公式扭轉(zhuǎn)變形基本公式扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力適用范圍適用范圍極慣性矩與抗彎截面系數(shù)極慣性矩與抗彎截面系數(shù)pdTdxGI pTI maxTW maxp 44132pDI 34116pDW dD 切應(yīng)力互等定理切應(yīng)力互等定理 (適用范圍？）適用范圍？）202TR 薄壁管的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力近似計(jì)算薄壁管的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力近似計(jì)算適用范圍？適用范圍？Page28一、扭轉(zhuǎn)失效與扭轉(zhuǎn)極限應(yīng)力一、扭轉(zhuǎn)失效與扭轉(zhuǎn)極限應(yīng)力扭轉(zhuǎn)極限應(yīng)力扭轉(zhuǎn)極限應(yīng)力扭轉(zhuǎn)屈服應(yīng)力，塑性材料扭轉(zhuǎn)屈服應(yīng)力，塑性材料扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度極限，脆性材料扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度極限，脆性材料sub Page29maxPmaxTW un maxpmaxTW二、圓軸扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件二、圓軸扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件許用切應(yīng)力：許用切應(yīng)力： maxPTW 等截面圓軸：等截面圓軸：強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件：安全因數(shù)安全因數(shù)n塑性材料：塑性材料： =（0.50.577） s s 脆性材料：脆性材料： = （0.81.0） s st ss與與 關(guān)系關(guān)系詳細(xì)討論見第九章詳細(xì)討論見第九章工作應(yīng)力工作應(yīng)力：等截面與非等截面園軸等截面與非等截面園軸Page30思考：竹竿扭轉(zhuǎn)破壞沿縱向還是沿橫向開裂？思考：竹竿扭轉(zhuǎn)破壞沿縱向還是沿橫向開裂？Page31思考：思考：是否是愈大愈好？是否是愈大愈好？0/R 三、圓軸合理截面與減緩應(yīng)力集中三、圓軸合理截面與減緩應(yīng)力集中空心軸空心軸實(shí)心軸實(shí)心軸dA0R1. 合理截面形狀合理截面形狀maxPmaxTW 增大增大pWPage322. 采用變截面軸與階梯形軸采用變截面軸與階梯形軸試討論怎樣設(shè)試討論怎樣設(shè)計(jì)變截面軸和計(jì)變截面軸和階梯形軸。階梯形軸。3. 合理分配載荷合理分配載荷 減小減小Tmax Page33截面尺寸突變截面尺寸突變配置過(guò)渡圓角配置過(guò)渡圓角MMMM4. 4. 減小應(yīng)力集中減小應(yīng)力集中在截面尺寸突變或急劇改變處，會(huì)產(chǎn)生應(yīng)力集在截面尺寸突變或急劇改變處，會(huì)產(chǎn)生應(yīng)力集中，因此在階梯軸交界處，宜配置適當(dāng)尺寸過(guò)中，因此在階梯軸交界處，宜配置適當(dāng)尺寸過(guò)度圓角以減小應(yīng)力集中。度圓角以減小應(yīng)力集中。Page34微段微段dx的扭轉(zhuǎn)變形的扭轉(zhuǎn)變形一、圓軸扭轉(zhuǎn)變形公式一、圓軸扭轉(zhuǎn)變形公式相距相距l(xiāng) 的兩橫截面的扭轉(zhuǎn)角的兩橫截面的扭轉(zhuǎn)角PdTdxGI PTddxGI PllTddxGI長(zhǎng)長(zhǎng)l 常扭矩等截面圓軸常扭矩等截面圓軸PTlGI 圓軸截面圓軸截面扭轉(zhuǎn)剛度扭轉(zhuǎn)剛度GIpPage35PdTdxGI 二、圓軸扭轉(zhuǎn)剛度條件二、圓軸扭轉(zhuǎn)剛度條件 PmaxTGI 剛度條件剛度條件: : ( )/m 單位長(zhǎng)度許用扭轉(zhuǎn)角：?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度許用扭轉(zhuǎn)角：工程常用單位工程常用單位等截面圓軸等截面圓軸: : PmaxTGI rad/m: :扭轉(zhuǎn)角沿軸線的變化率扭轉(zhuǎn)角沿軸線的變化率單位單位dxd /m 180m/rad 1 注意注意注意單位換算注意單位換算: : 一般傳動(dòng)軸，一般傳動(dòng)軸， = 0.5 = 0.5 1 1 /m/mPage36例：例：已知軸的尺寸，計(jì)算總扭轉(zhuǎn)，校核強(qiáng)度與剛度。已知軸的尺寸，計(jì)算總扭轉(zhuǎn)，校核強(qiáng)度與剛度。 解：解：1、畫扭轉(zhuǎn)圖（與軸位置對(duì)齊），確定危險(xiǎn)截面。、畫扭轉(zhuǎn)圖（與軸位置對(duì)齊），確定危險(xiǎn)截面。xaaaad D3M2MmaABM可能危險(xiǎn)截面可能危險(xiǎn)截面A A、B Bx2MMABT2MTxaPage37 a4444402M2a32323232TxMaMaMadxDDDDdGGGG xaaaad D3M2MmaABM(分分4段計(jì)算段計(jì)算)2、總扭轉(zhuǎn)角、總扭轉(zhuǎn)角T x2MMABT2MTxaPage38 max max334max2:,:11616MMABDD 3、強(qiáng)度校核（危險(xiǎn)截面、強(qiáng)度校核（危險(xiǎn)截面A和和B）xaaaad D3M2MmaABMx2MMABT2MTxaPage39 max max444max2:,:13232MMABDD 4、剛度校核、剛度校核注意注意 單位換算單位換算 設(shè)計(jì)軸，可按，分別設(shè)計(jì)，取較大者設(shè)計(jì)軸，可按，分別設(shè)計(jì)，取較大者 xaaaadD3M2MmaABMx2MMABT2MTxaPage40max602120NTml 解：解：最大扭矩發(fā)生在最大扭矩發(fā)生在B端（危險(xiǎn)截面）端（危險(xiǎn)截面）lABm例：例：，均布力偶矩，均布力偶矩 ， 設(shè)計(jì)實(shí)心軸直徑設(shè)計(jì)實(shí)心軸直徑 30MPa,1 /m 2lm 60Nm m,80GPa,mGdPage41 max3116Td 127.311mmd max4232TdG 130.588mmd 31mmd 設(shè)計(jì)實(shí)心圓軸直徑設(shè)計(jì)實(shí)心圓軸直徑d。a、根據(jù)強(qiáng)度條件、根據(jù)強(qiáng)度條件b、根據(jù)剛度條件、根據(jù)剛度條件lABm取取max120NT Page42Tmx 331116PxWdl 33161mxxxdl 0dxdx ,2lx max36427mld max32mlld 例：例：求最大切應(yīng)力。求最大切應(yīng)力。解：解：思考：危險(xiǎn)截面思考：危險(xiǎn)截面在何處？在何處？d2dxlm比較：比較：Page43MabCAB例例1：圓軸兩端固定在剛性墻面上，中部作用一集中扭力：圓軸兩端固定在剛性墻面上，中部作用一集中扭力偶，其矩為偶，其矩為M ，抗扭剛度抗扭剛度GIp, , 求兩端的扭矩求兩端的扭矩 。兩個(gè)未知數(shù)：兩個(gè)未知數(shù)： MA與與MB一個(gè)方程：一個(gè)方程： MAMB M 扭轉(zhuǎn)靜不定問題扭轉(zhuǎn)靜不定問題如何解如何解 ？Page44AxFFCAB1.1. 解除多余的約束，代以約束反力解除多余的約束，代以約束反力 F1l2lCAB對(duì)應(yīng)拉壓靜不定問題對(duì)應(yīng)拉壓靜不定問題考查對(duì)應(yīng)的拉壓靜不定問題的解法考查對(duì)應(yīng)的拉壓靜不定問題的解法解：解：0A2. 2. 對(duì)解除的約束端施加變形協(xié)調(diào)條件對(duì)解除的約束端施加變形協(xié)調(diào)條件 3. 3. 利用變形協(xié)調(diào)條件求解約束反力利用變形協(xié)調(diào)條件求解約束反力212AxFlFll 4. 4. 利用平衡條件求另一約束反力利用平衡條件求另一約束反力FFFBxAx211llFlFBxPage450A AMbMab 解：解：MabCABAMMCAB扭轉(zhuǎn)靜不定問題的解法扭轉(zhuǎn)靜不定問題的解法MMMBAbaMaMB疊加原理疊加原理Page46例例2: 管和軸兩端由剛性圓盤連接，求管和軸的內(nèi)力。管和軸兩端由剛性圓盤連接，求管和軸的內(nèi)力。問題：?jiǎn)栴}：對(duì)應(yīng)拉壓靜不定問題是什么？對(duì)應(yīng)拉壓靜不定問題是什么？取什么為未知量（幾個(gè)未知量）？取什么為未知量（幾個(gè)未知量）？變形協(xié)調(diào)方程怎么列？變形協(xié)調(diào)方程怎么列？MMPage47 管管軸軸變形協(xié)調(diào)條件：變形協(xié)調(diào)條件：MMTTMMTT分析：分析：將管和將管和軸拆開，曝露軸拆開，曝露它們之間的內(nèi)它們之間的內(nèi)力偶力偶T。Page48對(duì)應(yīng)的拉壓靜不定問題對(duì)應(yīng)的拉壓靜不定問題MMFF合合力力Page49例例 3 圖示組合軸，圖示組合軸，承受集度為承受集度為 m 的均布扭力偶，與的均布扭力偶，與矩為矩為 M = ml 的集中扭力偶。的集中扭力偶。已知：已知： G1 = G2 = G，Ip1 = 2Ip2 。試求：試求：圓盤的轉(zhuǎn)角。圓盤的轉(zhuǎn)角。解：解：1. 1. 建立平衡方程建立平衡方程沿截面沿截面 B 切開切開, ,畫受力圖畫受力圖Page502. 2. 建立補(bǔ)充方程建立補(bǔ)充方程(a) , 021mlTTMBBx BB21 變形協(xié)調(diào)條件變形協(xié)調(diào)條件未知力偶矩未知力偶矩2，平衡方程，平衡方程1，一度靜不定，一度靜不定 lBxGIxT0p111d)( )()(11xlmTxTBPage51聯(lián)立求解平衡（聯(lián)立求解平衡（a)a)與補(bǔ)充方程與補(bǔ)充方程(b)(b)，p22p2222GImlGIlTBBB圓盤轉(zhuǎn)角為圓盤轉(zhuǎn)角為3.3.扭矩與圓盤轉(zhuǎn)角扭矩與圓盤轉(zhuǎn)角 2121p11mllTGIBB p222GIlTBB (a) , 021mlTTMBBx lBxGIxT0p111d)( )()(11xlmTxTB BB21 變形協(xié)調(diào)條件變形協(xié)調(diào)條件(b) 2221BBTmlT221mlTTBB 得得Page52思考：該題是否可以這樣做？思考：該題是否可以這樣做？將組合軸當(dāng)作一個(gè)整體，則將組合軸當(dāng)作一個(gè)整體，則2213PPPPIIII)2()()(xlmxlmmlxT222200223)3( )2()()(PPlPlPGImllIGmdxxlGImdxGIxTlx結(jié)果同前結(jié)果同前Page53課堂練習(xí)：課堂練習(xí)：圖示兩端固定的等截面園軸，截面的極慣性矩為圖示兩端固定的等截面園軸，截面的極慣性矩為IP，剪切模剪切模量為量為G，在截面，在截面C上有抗扭彈簧剛度為上有抗扭彈簧剛度為K（kN m/rad)d彈彈簧），試求兩端的反作用力偶矩。（提示：設(shè)載荷作用下，簧），試求兩端的反作用力偶矩。（提示：設(shè)載荷作用下，截面截面C的轉(zhuǎn)角為的轉(zhuǎn)角為 C，則彈簧的提供的扭力偶，則彈簧的提供的扭力偶MCK C)Page54maMMMCBA0()0aAABpppMmxMma aM adxGIGIGIpBcCGIaMKKMma-MAMAMB53232PAPGIKamaMGIKa232PBPGImaMGIKa232CPmaKaMGIKaPage55maMMMCBA0)(0pBpAapAGIaMGIamaMdxGImxMpBcCGIaMKKMma-MAMAMB？Page56作業(yè)作業(yè)4-94-104-134-17Page57歷史回顧歷史回顧Navier（法）研究扭轉(zhuǎn)，梁彎曲問題，提（法）研究扭轉(zhuǎn)，梁彎曲問題，提出了靜不定問題位移解法，出了靜不定問題位移解法，1826，第一本，第一本材料力學(xué)。材料力學(xué)。1784，Coulomb，圓桿扭轉(zhuǎn)應(yīng)力公式，圓桿扭轉(zhuǎn)應(yīng)力公式， Navier錯(cuò)誤用于非圓截面桿達(dá)半個(gè)世紀(jì)。錯(cuò)誤用于非圓截面桿達(dá)半個(gè)世紀(jì)。Navier (France)Page58St.Venant 研究了扭轉(zhuǎn)，梁彎曲研究了扭轉(zhuǎn)，梁彎曲問題，提出了問題，提出了 St.Venant原理。原理。1855年，提出非圓截面問題的年，提出非圓截面問題的正確解法。正確解法。St.Venant (France)St.Venant (France)Page59一、一、矩形截面軸的扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)矩形截面軸的扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)Page60工字形截面軸的扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)工字形截面軸的扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)Page61限制扭轉(zhuǎn)限制扭轉(zhuǎn)：橫截面的翹曲受到限制的扭轉(zhuǎn)。：橫截面的翹曲受到限制的扭轉(zhuǎn)。 橫截面上存在切應(yīng)力和正應(yīng)力橫截面上存在切應(yīng)力和正應(yīng)力(很小）很?。┳杂膳まD(zhuǎn)自由扭轉(zhuǎn)：橫截面的翹曲沒有限制的扭轉(zhuǎn)。：橫截面的翹曲沒有限制的扭轉(zhuǎn)。對(duì)非圓截面軸受扭時(shí)橫截面發(fā)生翹曲，平截面假設(shè)不再適對(duì)非圓截面軸受扭時(shí)橫截面發(fā)生翹曲，平截面假設(shè)不再適用，因而圓軸扭轉(zhuǎn)應(yīng)力公式對(duì)非圓截面軸不再適用。用，因而圓軸扭轉(zhuǎn)應(yīng)力公式對(duì)非圓截面軸不再適用?？偨Y(jié)：總結(jié)：Page62二、矩形截面軸的扭轉(zhuǎn)二、矩形截面軸的扭轉(zhuǎn)（彈性理論解）（彈性理論解）max 1 邊緣處的切應(yīng)力平行于周邊邊緣處的切應(yīng)力平行于周邊,角角點(diǎn)處的切應(yīng)力為零。點(diǎn)處的切應(yīng)力為零。 在長(zhǎng)在長(zhǎng)邊中點(diǎn)，短邊中點(diǎn)的邊中點(diǎn)，短邊中點(diǎn)的 也相也相當(dāng)大。當(dāng)大。 max 1hb max 1max2tTTWhb 1max 3tTlTlGIG hb 0.208 0.219 0.231 0.239 0.246 0.258 0.267 0.282 0.299 0.307 0.313 0.333 0.141 0.166 0.196 0.214 0.229 0.249 0.263 0.281 0.299 0.307 0.313 0.333 1.000 0.930 0.859 0.820 0.795 0.766 0.753 0.745 0.743 0.742 0.742 0.742 系數(shù)系數(shù) , , , , 表表h/b 1.0 1.2 1.5 1.75 2.0 2.5 3.0 4.0 6.0 8.0 10.0 Page6333TlGh max23Th 狹長(zhǎng)矩形截面軸狹長(zhǎng)矩形截面軸: :/10, ,h b 接近接近1h中心線總長(zhǎng)中心線總長(zhǎng)Page64maxtTW tTlGI 三、橢圓等非圓截面軸扭轉(zhuǎn)三、橢圓等非圓截面軸扭轉(zhuǎn),ttW I的計(jì)算公式見附錄的計(jì)算公式見附錄D。Page65描述薄壁截面的幾何參量：描述薄壁截面的幾何參量：截面中心線截面中心線截面壁厚截面壁厚 的平分線的平分線開口薄壁桿開口薄壁桿閉口薄壁桿閉口薄壁桿截面中心截面中心線為封閉曲線的薄壁桿線為封閉曲線的薄壁桿壁厚壁厚薄壁桿在航空結(jié)構(gòu)上大量應(yīng)用薄壁桿在航空結(jié)構(gòu)上大量應(yīng)用Page66一、閉口薄壁桿的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力一、閉口薄壁桿的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力問題：?jiǎn)栴}：切應(yīng)力沿截面中心線如何分布？如何計(jì)算？切應(yīng)力沿截面中心線如何分布？如何計(jì)算？假設(shè)：假設(shè)：切應(yīng)力沿壁厚均勻分布，其方向平行于中心線切應(yīng)力沿壁厚均勻分布，其方向平行于中心線 假設(shè)依據(jù)：假設(shè)依據(jù)：Tdxabcdabcd21dx1122切應(yīng)力互等定理切應(yīng)力互等定理利用切應(yīng)力互等定理，轉(zhuǎn)化為研究縱向截面切應(yīng)力，利用切應(yīng)力互等定理，轉(zhuǎn)化為研究縱向截面切應(yīng)力，利用平衡方程求解利用平衡方程求解.Page67dTdS 2TdS 截面中心線所圍面積的截面中心線所圍面積的2倍倍:2 2T maxmin2T 思考：思考：O點(diǎn)位置可否任選，如截面外？點(diǎn)位置可否任選，如截面外？ds odsabcd21dx1122, 0 xF 11220dxdx 1122 常數(shù)，稱為剪流，代表中常數(shù)，稱為剪流，代表中心線單位長(zhǎng)度上的剪力。心線單位長(zhǎng)度上的剪力。思考思考：公式的適用范圍？：公式的適用范圍？Page68例 平均半徑平均半徑R0，鉚釘總數(shù)，鉚釘總數(shù)n，壁厚壁厚 求鉚釘剪切力求鉚釘剪切力解： 202 RM 02 , 0S lnFFx20RnMl nlF2S Page69WV 能能量量原原理理2TW 2ddS2GVdx 2224dS,2G2ttlT lVdxIdSGI tTlGI 二、閉口薄壁桿的扭轉(zhuǎn)變形二、閉口薄壁桿的扭轉(zhuǎn)變形dxds 2T 思考思考：公式的適用范圍？：公式的適用范圍？Page70開口薄壁桿的扭轉(zhuǎn)開口薄壁桿的扭轉(zhuǎn)三、開口薄壁桿扭轉(zhuǎn)概念三、開口薄壁桿扭轉(zhuǎn)概念Page71313niiiTlGh maxmax313niiiTh 閉口薄壁桿扭轉(zhuǎn)應(yīng)力與變形公式能否用于開口薄壁桿？閉口薄壁桿扭轉(zhuǎn)應(yīng)力與變形公式能否用于開口薄壁桿？h1h2 1 3h3 2TA dA dAPage72解：1.1.閉口薄壁圓管閉口薄壁圓管RT202 閉閉 302RGTl 閉閉例 試試比較閉口與開口薄壁圓管的抗扭性能，設(shè)比較閉口與開口薄壁圓管的抗扭性能，設(shè) R020 Page732.2.開口薄壁圓管開口薄壁圓管202233 RThT 開開303233 GRTlGhTl 開開3.3.抗扭性能比較抗扭性能比較6030 R閉閉開開1200320 R閉閉開開閉口薄壁桿的抗扭性閉口薄壁桿的抗扭性能遠(yuǎn)比開口薄壁桿好能遠(yuǎn)比開口薄壁桿好 202 RT 閉閉 302RGTl 閉閉Page74 2Sbh2Sbh2Sbhh h 202dShdh 2220ddh 4Sh 4Sb 結(jié)論：結(jié)論：在矩形中，正方形包圍面積在矩形中，正方形包圍面積 最大。最大。思考：思考：中心線周長(zhǎng)中心線周長(zhǎng)S相同相同 的薄壁桿受相同的扭矩的薄壁桿受相同的扭矩T，最好做，最好做成什么形狀？成什么形狀？hb證明：證明：亦即正方形閉口薄壁桿扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度和剛度最好。亦即正方形閉口薄壁桿扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度和剛度最好。2T tTlGI Page75思考：思考：T形薄壁截面桿受扭時(shí)切應(yīng)力沿截面的周邊和形薄壁截面桿受扭時(shí)切應(yīng)力沿截面的周邊和厚度如何分布？厚度如何分布？Page76 等壁厚比變壁厚好等壁厚比變壁厚好minmax2 T “在周長(zhǎng)相同的條件下，圓內(nèi)所在周長(zhǎng)相同的條件下，圓內(nèi)所包含的面積最大包含的面積最大”（變分法）（變分法） 正方形比矩形好正方形比矩形好 圓形比非圓形好圓形比非圓形好 閉口比開口好閉口比開口好四、薄壁軸合理截面形狀設(shè)計(jì)四、薄壁軸合理截面形狀設(shè)計(jì)Page77作業(yè)作業(yè)4-234-27Page78rPage79dAO邊緣切應(yīng)力平行于邊緣切應(yīng)力平行于周邊且與半徑垂直周邊且與半徑垂直圓軸情況圓軸情況非圓軸情況非圓軸情況0n 0n 邊緣切應(yīng)力平行于周邊邊緣切應(yīng)力平行于周邊AnnPage80ABT?B1212120 120 角點(diǎn)切應(yīng)力為零角點(diǎn)切應(yīng)力為零Page81謝謝謝謝