第 四 章 函 數(shù) 的 連 續(xù) 性1 連續(xù)性概念連續(xù)函數(shù)是數(shù)學(xué)分析中著重討論的一類函數(shù) .從幾何形象上粗略地說 , 連續(xù)函 數(shù)在坐 標平 面上 的圖象 是一 條連綿 不斷 的 曲線 .當然我們不能滿足于這種直 觀的認 識 , 而應(yīng) 給出函 數(shù)連 續(xù)性 的精確 定義 , 并由此出發(fā)研究連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) .本 節(jié)中先 定義 函數(shù) 在一點 的連 續(xù)性和 在區(qū) 間 上的連續(xù)性 .一 函數(shù)在一點的連續(xù)性定義 1 設(shè)函數(shù) f 在某 U( x0 ) 內(nèi)有定義 .若limx xf ( x ) =f ( x0 ) ,( 1)0則稱 f 在點 x0 連續(xù) .例如 , 函數(shù) f ( x ) = 2 x + 1 在點 x = 2 連續(xù) , 因為又如 , 函數(shù)limx 2f ( x) = limx 2( 2 x + 1 ) = 5 =f (2 ) .f ( x) =xsin 1x,x 0 ,0 ,x = 0在點 x = 0 連續(xù) , 因為limx 0f ( x) = limx 0xsin 1x= 0 =f ( 0) . 為引入函數(shù) y = f ( x ) 在點 x0 連 續(xù) 的另 一種 表述 , 記 x = x - x0 , 稱為 自 變量 x( 在點 x0 ) 的增量或改變量 .設(shè) y0 = f ( x0 ) , 相應(yīng) 的函數(shù) y ( 在 點 x0 ) 的 增 量記為y =f ( x ) -f ( x0 ) =f ( x0 + x) -f ( x0 ) = y - y0 . 注 自變量的增量 x 或函數(shù)的增量 y 可以是正數(shù) , 也可以是 0 或負數(shù) .引進了增量的概念之后 , 易見“ 函數(shù) y = f ( x ) 在點 x0 連續(xù)”等價于lim y = 0 . x 070第四章 函數(shù)的連續(xù)性 由于函數(shù)在一點的連續(xù)性 是通 過 極限 來定 義的 , 因 而 也可 直接 用 - 方 式來敘述 , 即 : 若對任給的 > 0 , 存在 > 0 , 使得當 | x - x0 | < 時有|f ( x) -f ( x0 ) | < ,( 2)則稱函數(shù) f 在點 x0 連續(xù) .由上述定義 , 我們可得出函數(shù) f 在點 x0 有 極限 與 f 在 x0 連 續(xù)這兩 個概 念之間的聯(lián)系 .首先 , f 在點 x0 有極限是 f 在 x0 連續(xù)的必要條件 ; 進一步說“,f 在點 x0 連續(xù)”不僅要求 f 在點 x0 有極限 , 而且其 極限值應(yīng) 等于 f 在 x0 的 函數(shù) 值 f ( x0 ) .其次 , 在討論極限 時 , 我們假 定 f 在 點 x0 的某 空心 鄰域 U( x0 ) 內(nèi)有 定 義 ( f 在點 x0 可以沒有定義 ) , 而“ f 在點 x0 連續(xù)”則要求 f 在某 U( x0 ) 內(nèi) ( 包 括 點 x0 ) 有定義 , 此時由于 (2 ) 式當 x = x0 時總是成 立的 , 所以在 極限定義 中的“0< | x - x0 | < ”換成了在連續(xù)定義中的“ | x - x0 | < ”.最后 , (1 ) 式又可表示為limx x0f ( x) =flim x,x x0可見“ f 在點 x0 連續(xù)”意味著極限運算 limx x與對應(yīng)法則 f 的可交換性 .0例 1 證明函數(shù) f ( x ) = x D( x ) 在 點 x = 0 連續(xù) , 其 中 D ( x ) 為 狄 利 克 雷 函數(shù) . 證 由 f (0 ) = 0 及 | D( x ) | 1 , 對任給的 > 0 , 為使|f ( x ) -f ( 0) | = | xD( x ) | | x | < ,只要取 = , 即可按 - 定義推得 f 在 x = 0 連續(xù) . 相應(yīng)于 f 在點 x0 的左、右極限的概念 , 我們給出左、右連續(xù)的定義如下 : 定義 2 設(shè)函數(shù) f 在某 U + ( x0 ) ( U - ( x0 ) ) 內(nèi)有定義 .若limx x +0f ( x) =f ( x0 )lim-x x0f ( x) =f ( x0 ),則稱 f 在點 x0 右 ( 左 ) 連續(xù) .根據(jù)上述定義 1 與定義 2 , 不難推出如下定理 .定理 4.1 函數(shù) f 在點 x0 連續(xù)的充 要條 件是 : f 在 點 x0 既是 右連續(xù) , 又 是 左連續(xù) .例 2 討論函數(shù)在點 x = 0 的連續(xù)性 .解 因為f ( x ) =x + 2 , x 0 , x - 2 , x < 0limx 0 +limx 0 -f ( x ) = limx 0 +f ( x) =limx 0 -( x + 2 ) = 2 , ( x - 2) = - 2 ,而 f (0 ) = 2 , 所以 f 在點 x = 0 右連 續(xù) , 但 不左 連續(xù) , 從 而 它在 x = 0 不 連續(xù) ( 見1 連續(xù)性概念71圖 4 - 1 ) .二 間斷點及其分類定義 3 設(shè)函數(shù) f 在某 U( x0 ) 內(nèi)有定義 .若 f 在 點 x0 無定義 , 或 f 在點 x0 有 定 義而 不 連續(xù) , 則稱 點 x0 為 函數(shù) f 的間斷點或不連續(xù)點 .按此定義以及上一段中關(guān)于極限與連續(xù)性之間聯(lián)系的 討論 , 若 x0 為函數(shù) f 的間斷點 , 則必出現(xiàn)下列情形之一:圖 4 - 1( i) f 在點 x0 無定義或極限 limx xf ( x ) 不存在 ;0( ii) f 在點 x0 有定義且極限 limx x0f ( x ) 存在 , 但 limx x0f ( x) f ( x0 ) .據(jù)此 , 我們對函數(shù)的間斷點作如下分類 :1. 可去間斷點 若limx xf ( x ) = A ,0而 f 在點 x0 無定義 , 或有定義但 f ( x0 ) A , 則稱 x0 為 f 的可去間斷點 .例如 , 對于函數(shù) f ( x ) = | sgn x | , 因 f ( 0) = 0 , 而limx 0f ( x) = 1 f (0 ) ,故 x = 0 為f ( x ) = | sgnx | 的 可 去 間 斷 點 . 又 如 函 數(shù) g ( x ) = sin x , 由 于xlimx 0g ( x ) = 1 , 而 g 在 x = 0 無定義 , 所以 x = 0 是函數(shù) g 的可去間斷點 .設(shè) x0 為函數(shù) f 的可去間斷點 , 且 limx xf ( x ) = A .我們按 如下 方法定 義一 個0函數(shù) f: 當 x x0 時 , f( x ) = f ( x) ; 當 x = x0 時 , f( x0 ) = A .易 見 , 對 于函 數(shù)f, x0 是它的連續(xù)點 .例如 , 對上述的 g( x) = sin x , 我們定義x則 g在 x = 0 連續(xù) .g( x) =sin xx,x 0 ,1 ,x = 0 ,2. 跳躍間斷點 若函數(shù) f 在點 x0 的左、右極限都存在 , 但limx x +0f ( x) limx x -0f ( x) ,則稱點 x0 為函數(shù) f 的跳躍間斷點 .例如 , 對函數(shù) f ( x ) = x ( 圖 1 - 8) , 當 x = n ( n 為整數(shù) ) 時有這里所說的極限存在是指存在有限極限 , 即不包括非正常極限 .72第四章 函數(shù)的連續(xù)性limx n - x =n - 1 , limx n+ x =n ,所以在整數(shù)點上函數(shù) f 的左、右極限不相 等 , 從而 整數(shù) 點都是 函數(shù) f ( x ) = x 的跳躍間斷點 .又如符號函數(shù) sgn x 在點 x = 0 處的左、右 極限 分別 為 - 1 和 1 , 故 x = 0 是 sgn x 的跳躍間斷點 ( 圖 1 - 3) .可去間斷點和跳躍間斷點統(tǒng)稱 為第 一類 間斷 點 .第一類 間斷 點的特 點是 函 數(shù)在該點處的左、右極限都存在 .3. 函數(shù)的所有其他形式的間斷點 , 即使得函數(shù)至少有 一側(cè)極限 不存在的 那 些點 , 稱為第二類間斷點 .例如 , 函數(shù) y = 1 當 x 0 時不存在有限的極限 , 故 x = 0 是 y = 1 的第二類xx間斷點 .函數(shù) sin 1 在點 x = 0 處左、右極限都不存在 , 故 x = 0 是 sin 1 的第二類xx間斷點 .又如 , 對于狄利克雷函數(shù) D( x ) , 其定義域 R 上 每一點 x 都 是第二類 間 斷點 .三 區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)若函數(shù) f 在區(qū)間 I 上的每一點都連續(xù) , 則稱 f 為 I 上的連續(xù)函數(shù) .對于閉區(qū) 間或半開半閉區(qū)間的端點 , 函數(shù)在這些點上連續(xù)是指左連續(xù)或右連續(xù) .例如 , 函數(shù) y = c, y = x , y = sin x 和 y = cos x 都是 R 上 的連 續(xù) 函數(shù) .又 如函數(shù) y =1 - x2 在 ( - 1 , 1 ) 每 一點處都 連續(xù) , 在 x = 1 為 左連續(xù) , 在 x = - 1 為 右連續(xù) , 因而它在 - 1 , 1 上連續(xù) .若函數(shù) f 在區(qū)間 a , b 上僅有 有限 個第 一類間 斷點 , 則稱 f 在 a, b 上 分 段連續(xù) .例如 , 函數(shù) y = x 和 y = x - x 在區(qū)間 - 3 , 3 上是分段連續(xù)的 .在3 中我們將證明任何初等函數(shù)在其定義區(qū) 間上為 連續(xù)函數(shù) .同 時 , 也 存 在著在其定義區(qū)間上每一點處都不連續(xù)的函數(shù) , 如前面已提到的狄利克雷函數(shù) .例 3 證明 : 黎曼函數(shù)R ( x) = 1 ,當 x = p qqp、q 為正整數(shù) , p6q/ 為既約真分數(shù),0 ,當 x = 0 , 1 及 (0 , 1 ) 內(nèi)無理數(shù) 在 (0 , 1 ) 內(nèi)任何無理點處都連續(xù) , 任何有理點處都不連續(xù) .證 設(shè) ( 0 , 1) 為無 理數(shù) .任給 > 0不妨設(shè) < 12, 滿足 1 的正 整q數(shù) q 顯然只有有限個 ( 但至少有一個 , 如 q = 2) , 從而使 R( x ) 的 有理數(shù) x (0 , 1 ) 只有有限個 至少有一個 , 如 12, 設(shè)為 x1 , xn .取 = min| x1 - | , | xn - | , 1 - ,1 連續(xù)性概念73則對任何 x U(;) ( ( 0 , 1) ) , 當 x 為有理數(shù)時有 R( x ) < , 當 x 為無理數(shù) 時 R ( x ) = 0 .于是 , 對任何 x U(;) , 總有R ( x) -R()= R ( x ) < .這就證明了 R ( x ) 在無理點 處連續(xù) .現(xiàn)設(shè) p 為 (0 , 1 ) 內(nèi)任一有理 數(shù) .取 0 = 1 , 對任 何正 數(shù) ( 無 論 多么 小 ) , 在q2 qUpq ; 內(nèi)總可取到無理數(shù) x ( ( 0 , 1) ) , 使得R( x ) -R pq= 1q> 0 .所以 R ( x ) 在任何有理點處都不連續(xù) .習(xí) 題1. 按定義證明下列函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù) : ( 1) f ( x ) = 1 ; ( 2) f ( x ) = | x | .x2. 指出下列函數(shù)的間斷點并說明其類型 : ( 1) f ( x ) = x + 1 ; ( 2) f ( x) = sin x ;x| x | ( 3) f ( x ) = | cos x | ; (4) f ( x) = sgn | x | ; ( 5) f ( x ) = sgn ( cos x ) ;x ,x 為有理數(shù) , ( 6) f ( x ) = ( 7) f ( x ) =- x ,x 為無理數(shù) ; 1x + 7 , - < x < - 7 ,x , - 7 x 1( x - 1 )sin 1 , 1 < x < + .x - 13. 延拓下列函數(shù) , 使其在 R 上連續(xù) :3 ( 1) f ( x ) = x- 8 ; ( 2) f ( x) = 1 - cos x ;x - 2x2 ( 3) f ( x ) = xcos 1 .x224. 證明: 若 f 在點 x0 連續(xù) , 則 | f | 與 f 也在 點 x0 連 續(xù) .又問 : 若 | f | 或 f那么 f 在 I 上是否必連續(xù) ?在 I 上連續(xù) ,5. 設(shè)當 x 0 時 f ( x) g( x ) , 而 f ( 0) g (0 ) .證明 : f 與 g 兩者中 至多有 一個在 x = 0連續(xù) .6. 設(shè) f 為區(qū)間 I 上的單調(diào)函數(shù) .證明: 若 x0 I 為 f 的間斷點 , 則 x0 必是 f 的第一類間 斷點 .74第四章 函數(shù)的連續(xù)性7. 設(shè)函數(shù) f 只有可去間斷點 , 定義g( x ) = limy xf ( y) .證明 g 為連續(xù)函數(shù) .8. 設(shè) f 為 R 上的單調(diào)函數(shù) , 定義g( x) = f ( x + 0 ) .證明 g 在 R 上每一點都右連續(xù) .9. 舉出定義在 0 , 1 上分別符合下述要求的函數(shù) : ( 1) 只在 1 , 1 和 1 三點不連續(xù)的函數(shù) ;234 ( 2) 只在 1 , 1 和 1 三點連續(xù)的函數(shù) ;234 ( 3) 只在 1 ( n = 1 , 2 , 3 ,)上間斷的函數(shù) ; n ( 4) 只在 x = 0 右連續(xù) , 而在其他點都不連續(xù)的函數(shù) .2 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)一 連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)若函數(shù) f 在點 x0 連續(xù) , 則 f 在點 x0 有極 限 , 且極 限值 等于函 數(shù)值 f ( x0 ) .從而 , 根據(jù)函數(shù)極限的性質(zhì)能推斷出函數(shù) f 在 U ( x0 ) 的性態(tài) .定理 4.2 ( 局部有界性 ) 若函數(shù) f 在點 x0 連續(xù) , 則 f 在某 U( x0 ) 內(nèi)有界 .定理 4 .3 ( 局部保號性 ) 若函數(shù) f 在點 x0 連 續(xù) , 且 f ( x0 ) > 0 ( 或 < 0 ) , 則 對任何正數(shù) r < f ( x0 ) ( 或 r < - f ( x0 ) ) , 存 在 某 U ( x0 ) , 使 得 對 一 切 x U( x0 ) 有f ( x) >r ( 或 f ( x ) < -r) . 注 在具體應(yīng)用局 部保 號性 時 , 常 取 r = 12f ( x0 ) , 則 ( 當 f ( x0 ) > 0 時 ) 存在某 U( x0 ) , 使在其內(nèi)有 f ( x) > 12f ( x0 ) .定理 4 .4 ( 四則運算 ) 若函數(shù) f 和 g 在點 x0 連續(xù) , 則 f g , fg, 6f g( x0 ) 0) 也都在點 x0 連續(xù) .以上三個定理的證明 , 都可從函數(shù)極限的有關(guān)定理直接推得 .g/( 這里對常量函數(shù) y = c 和函數(shù) y = x 反復(fù)應(yīng)用定理 4.4 , 能推出多項式函數(shù)nn - 1P( x) = a0 x+ a1 x+ an - 1 x + an和有理函數(shù) R ( x ) = P( x)Q( x)( P , Q 為多項式 ) 在其定義域的每 一點都是 連續(xù)的 .同樣 , 由 sin x 和 cos x 在 R 上的連續(xù)性 , 可推出 tan x 與 cot x 在其定義域的每2 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)75一點都連續(xù) .關(guān)于復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性 , 有如下定理 :定理 4.5 若函數(shù) f 在點 x0 連續(xù) , g 在點 u0 連續(xù) , u0 = f ( x0 ) , 則復(fù)合函 數(shù)gf 在點 x0 連續(xù) .證 由于 g 在 u0 連續(xù) , 對任給的 > 0, 存在 1 > 0 , 使得當| u - u0 | < 1 時有| g( u) -g( u0 ) | < .( 1)又由 u0 = f ( x0 ) 及 u = f ( x ) 在點 x0 連續(xù) , 故 對上述 1 > 0 , 存在 > 0 , 使得 當| x - x0 | < 時有 | u - u0 | = | f ( x ) - f ( x0 ) | < 1 .聯(lián)系 ( 1 ) 得 : 對 任給的 > 0 ,存在 > 0 , 當 | x - x0 | < 時有| g ( f ( x ) ) -g( f ( x0 ) ) | < .這就證明了 gf 在點 x0 連續(xù) .注 根據(jù)連續(xù)性的定義 , 上述定理的結(jié)論可表為limx x0g( f ( x) ) = glimx x0f ( x )= g( f ( x0 ) ) .( 2) 例 1 求lim sin (1 - x2 ) .x 1解 sin( 1 - x2 ) 可看作函數(shù) g( u) = sin u 與 f ( x ) = 1 - x2 的復(fù)合 .由 ( 2) 式得lim sin( 1 -x2 ) = sin lim(1 -x2 )= sin 0 = 0 .x 1x 1 注 若復(fù)合函數(shù) g f 的內(nèi)函 數(shù) f 當 x x0 時 極限 為 a , 而 a f ( x0 ) 或 f 在 x0 無定義 ( 即 x0 為 f 的可去間斷點 ) , 又外函數(shù) g 在 u = a 連續(xù) , 則我們?nèi)钥?用上述定理來求復(fù)合函數(shù)的極限 , 即有l(wèi)imx x0g( f ( x ) ) = glimx x0f ( x).( 3)讀者還可證明 : ( 3 ) 式 不 僅 對 于 x x0 這 種 類 型 的 極 限 成 立 , 而 且 對 于 x 0+ , x - 或 x x等類型的極限也是成立的 .例 2 求極限 : (1 ) lim2 - sin x ; (2 ) lim2 - sin x .x 0解 (1 ) limx 0x2 - sin xxx =2 - limx 0xsin x =2 - 1 = 1; x(2 ) lim2 - sin x =2 - limsin x=2 - 0 =2 .x xx x二 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)設(shè) f 為閉區(qū)間 a , b 上 的連續(xù) 函數(shù) , 本 段中我 們討 論 f 在 a , b 上 的整 體 性質(zhì) .76第四章 函數(shù)的連續(xù)性定義 1 設(shè) f 為定義在數(shù)集 D 上的函數(shù) .若存在 x0 D, 使得對一切 x D有f ( x0 ) f ( x ) ( f ( x0 ) f ( x) ) ,則稱 f 在 D 上有最大 ( 最小 ) 值 , 并稱 f ( x0 ) 為 f 在 D 上的最大 ( 最小 ) 值 .例如 , sin x 在 0 , 上有最大 值 1 , 最小 值 0 .但 一般 而言 , 函 數(shù) f 在 其定 義 域 D 上不一定有最大值或最小值 ( 即使 f 在 D 上有界 ) .如 f ( x) = x 在 ( 0 , 1) 上 既無最大值也無最小值 .又如g( x ) = 1x ,x (0 , 1 ) ,2 ,x = 0 與 1 ,( 4)它在閉區(qū)間 0 , 1 上也無最大、最小值 .下述定理給出了函數(shù)能取得最大、最小值 的充分條件 .定理 4 .6 ( 最大、最 小 值 定理 ) 若函 數(shù) f 在閉 區(qū) 間 a , b 上 連 續(xù) , 則 f 在 a , b 上有最大值與最小值 .此定理和隨后的定理 4.7 以及本節(jié)最后的定理 4.9 , 其證明 將在第 七章2 給出 .在這里讀者先對這些定理有所了解 , 并能初步運用它們 .推論 ( 有界性定理 ) 若 函 數(shù) f 在 閉 區(qū) 間 a, b 上 連 續(xù) , 則 f 在 a , b 上 有界 . 易見由 (4 ) 式給出的函數(shù) g 在閉區(qū)間 0 , 1 上無界 , 請讀 者考慮為 什么對 函 數(shù) g 上述推論的結(jié)論不成立 .定理 4 .7 ( 介 值 性 定 理 ) 設(shè) 函 數(shù) f 在 閉 區(qū) 間 a , b 上 連 續(xù) , 且 f ( a ) f ( b) .若 為介于 f ( a) 與 f ( b) 之間的任何實數(shù) ( f ( a) < < f ( b) 或 f ( a) > > f ( b) ) , 則至少存在一點 x0 ( a , b) , 使得f ( x0 ) = . 這個定理表明 , 若 f 在 a , b 上連續(xù) , 又不妨設(shè) f ( a) < f ( b) , 則 f 在 a, b上必能取得區(qū)間 f ( a) , f ( b) 中的一切值 , 即有 f ( a) , f ( b) f ( a, b ) ,其幾何意義如圖 4 - 2 所示 .推論 ( 根的存在定理 ) 若函數(shù) f 在閉 區(qū)間 a, b 上 連續(xù) , 且 f ( a ) 與 f ( b)異號 ( 即 f ( a) f ( b) < 0) , 則至少存在一點 x0 ( a , b) , 使得f ( x0 ) = 0 ,即方程 f ( x) = 0 在 ( a , b) 內(nèi)至少有一個根 .這個推論的幾何解釋如圖 4 - 3 所示 : 若點 A ( a , f ( a) ) 與 B( b , f ( b) ) 分 別 在 x 軸的兩側(cè) , 則連接 A、B 的連續(xù)曲線 y = f ( x ) 與 x 軸至少有一個交點 .應(yīng)用介值性定理 , 我們還容易推得連續(xù)函數(shù)的下述性質(zhì) : 若 f 在區(qū)間 I 上連2 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)77圖 4 - 2圖 4 - 3續(xù)且不是常量函數(shù) , 則值域 f ( I ) 也 是一 個 區(qū) 間 ; 特 別 , 若 I 為閉 區(qū) 間 a , b , f 在 a , b 上的最大值為 M , 最小值為 m , 則 f ( a , b ) = m , M ; 又若 f 為 a , b 上的增 ( 減 ) 連續(xù)函數(shù)且不為常數(shù) , 則f ( a , b ) = f ( a) , f ( b) ( f ( b) , f ( a) ) . 下面舉例說明介值性定理的應(yīng)用 .000例 3 證明 : 若 r > 0 , n 為正整數(shù) , 則存在唯一正數(shù) x , 使得 xn = r( x稱為nr 的 n 次正根 ( 即算術(shù)根 ) , 記作 x0 =r ) .證 先證存在性 .由于當 x + 時有 xn + , 故必存在正數(shù) a , 使得 an000> r .因 f ( x ) = xn 在 0 , a 上連續(xù) , 并 有 f ( 0) < r < f ( a) , 故 由介 值性定 理 , 至 少存在一點 x ( 0 , a) , 使得 f ( x ) = xn = r .11再證唯一性 .設(shè)正數(shù) x 使得 x n = r , 則有x nnn - 1n - 2n - 10 -x1 = ( x0 -x1 )x0+ x0x1 + x1= 0 ,由于第二個括號內(nèi)的數(shù)為正 , 所以只能 x0 - x1 = 0 , 即 x1 = x0 .例 4 設(shè) f 在 a , b 上連續(xù) , 滿足f ( a , b ) a , b .( 5)證明 : 存在 x0 a , b , 使得f ( x0 ) =x0 .( 6) 證 條件 (5 ) 意味著 : 對任何 x a , b 有 a f ( x ) b, 特別有a f ( a) 以及 f ( b) b .若 a = f ( a) 或 f ( b) = b, 則 取 x0 = a 或 b, 從 而 ( 6 ) 式 成 立 .現(xiàn) 設(shè) a < f ( a ) 與f ( b) < b .令F( x) =f ( x ) -x ,則 F( a) = f ( a) - a > 0 , F( b) = f ( b) - b < 0 .故由根 的存在性 定理 , 存在 x0 ( a , b) , 使得 F( x0 ) = 0 , 即 f ( x0 ) = x0 . 從本例的證明過程可見 , 在應(yīng)用 介值性 定理 或根 的存在 性定 理證明 某些 問78第四章 函數(shù)的連續(xù)性題時 , 選取合適的輔助函數(shù) ( 如在本例中令 F( x ) = f ( x ) - x ) , 可收 到事半功 倍 的效果 .三 反函數(shù)的連續(xù)性定理 4.8 若函數(shù) f 在 a , b 上嚴格單調(diào)并連續(xù) , 則反函數(shù) f - 1 在其定義域 f ( a) , f ( b) 或 f ( b) , f ( a) 上連續(xù) .00證 不妨設(shè) f 在 a , b 上 嚴格增 .此 時 f 的值 域 即 反 函 數(shù) f - 1 的 定 義 域 為 f ( a ) , f ( b) .任 取 y0 ( f ( a ) , f ( b ) ) , 設(shè) x0 = f - 1 ( y ) , 則 x ( a , b ) .于 是 對 任 給 的 > 0 , 可在 ( a , b) 內(nèi) x0 的兩 側(cè)各 取異 于 x0 的 點 x1 , x2 ( x1 < x0 < x2 ) , 使 它們 與 x0 的 距 離 小于 ( 圖 4 - 4) .設(shè)與 x1 , x2 對應(yīng)的函數(shù)值分別為 y1 , y2 ,由 f 的嚴格增性知 y1 < y0 < y2 .令 = min( y2 -y0 , y0 -y1 ) ,圖 4 - 4- 1則當 y U ( y0 ;) 時 , 對應(yīng)的 x = f( y) 的值都落在 x1 與 x2 之間 , 故有00| f - 1 ( y) -f - 1 ( y ) | = | x -x| < ,這就證明了 f - 1 在點 y0 連續(xù) , 從而 f - 1 在 ( f ( a) , f ( b) ) 內(nèi)連續(xù) .類似地可證 f - 1 在其定義 區(qū) 間的 端 點 f ( a) 與 f ( b) 分 別 為右 連 續(xù)與 左 連 續(xù) .所以 f - 1 在 f ( a) , f ( b) 上連續(xù) .例 5 由于 y = sin x 在區(qū)間- , 上嚴格單調(diào)且連續(xù) , 故其反函數(shù) y =22arcsin x 在區(qū)間 - 1 , 1 上連續(xù) .同理可得其它反三角 函 數(shù)也 在相 應(yīng)的 定義 區(qū) 間 上連 續(xù) .如 y = arccos x 在 - 1 , 1 上連續(xù) , y = arctan x 在 ( - , + ) 上連續(xù)等 .1例 6 由于 y = xn ( n 為 正整數(shù) ) 在 0 , + ) 上嚴格 單調(diào)且連 續(xù) , 故 y = x n 11在 0 , + ) 上連續(xù) .又若 把 y = x -n ( n 為 正整 數(shù) ) 看 作由 y = u n 與 u = 1 復(fù) 合x而成的函數(shù) , 則由復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性 , y = x -1 1n 在 (0 , + ) 上連續(xù) .綜上可知 , 若 q 為非零整數(shù) , 則 y = x q 是其定義區(qū)間上的連續(xù)函數(shù) .例 7 證明 : 有理冪函數(shù) y = x 在其定義區(qū)間上連續(xù) .1證 設(shè)有理數(shù) = p , 這里 p , q ( 0) 為整數(shù) .因為 y = u q 與q定義區(qū)間上連續(xù) , 所以復(fù)合函數(shù)u = xp均在其2 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)79y = ( xp )1q =x也是其定義區(qū)間上的連續(xù)函數(shù) .四 一致連續(xù)性函數(shù) f 在區(qū)間上連續(xù) , 是 指 f 在該 區(qū)間 上每 一 點都 連續(xù) .本 段 中討 論的 一 致連續(xù)性概念反映了函數(shù)在區(qū)間上更強的連續(xù)性 .定義 2 設(shè) f 為定義在區(qū)間 I 上的函數(shù) .若對任給的 > 0 , 存在 = () > 0 , 使得對任何 x, x I , 只要 | x- x| < , 就有|f ( x) -f ( x) | < , 則稱函數(shù) f 在區(qū)間 I 上一致連續(xù) .直觀地說 , f 在 I 上一致 連 續(xù)意 味著 : 不 論 兩點 x與 x在 I 中 處 于什 么 位 置 , 只要它們的距離小于 , 就可使 | f ( x) - f ( x) | < .例 8 證明 f ( x) = ax + b ( a0) 在 ( - , + ) 上一致連續(xù) .證 任給 > 0 , 由于|f ( x) -f ( x) | = | a | | x-x| ,故可選取 = | a |, 則對任何 x, x ( - , + ) , 只要 | x- x| < , 就有|f ( x) -f ( x) | < .這就證得 f ( x) = ax + b 在 ( - , + ) 上一致連續(xù) .例 9 證明函數(shù) y = 1 在 (0 , 1 ) 內(nèi) 不一 致連 續(xù) ( 盡 管 它在 ( 0 , 1 ) 內(nèi)每 一點 都x連續(xù) ) .證 按一致連續(xù)性的 定 義 , 為 證函 數(shù) f 在 某 區(qū) 間 I 上不 一 致連 續(xù) , 只 須 證 明 : 存在某 0 > 0 , 對任 何正數(shù) ( 不 論 多么小 ) , 總 存在 兩點 x, x I , 盡 管| x- x| < , 但有 | f ( x) - f ( x) | 0 .對于本例中函數(shù) y = 1 , 可取 0 = 1 , 對無論多么小的正數(shù) < 1 , 只要取x2x= 與 x= ( 圖 4 - 5) , 則雖有2| x-x| = 2但< , 1 - 11xx = > 1 ,所以 y = 1 在 ( 0 , 1) 內(nèi)不一致連續(xù) .x函數(shù)在區(qū)間上 連續(xù) 與一 致連 續(xù) 這兩 個概 圖 4 - 580第四章 函數(shù)的連續(xù)性念有著重要的差別 . f 在區(qū)間 I 上連續(xù) , 是指任給 > 0 , 對每 一點 x I , 都存 在 相應(yīng)的正數(shù) = (, x) , 只要 x I 且 | x - x| < , 就有 | f ( x ) - f ( x) | < . 一般來說 , 對于 I 上不同的點 , 相應(yīng)的正數(shù) 是不同的 .換句話說 , 的取值除依 賴于 之外 , 還與點 x 有關(guān) , 由此我們寫 = (, x) 以表 示 與和 x 的依 賴 關(guān)系 .如果能做到 只與有關(guān) , 而與 x 無關(guān) , 或 者說 存在適 合于 I 上 所有點 x 的公共的, 即 = () , 那么函數(shù)就不僅在 I 上連續(xù) , 而且是一致連續(xù)了 .所以 , f 在區(qū)間 I 上一致連續(xù)是 f 的又一個整 體性質(zhì) , 由它 可推出 f 在 I 上 每一點都連續(xù)的這一局部性質(zhì) ( 只要在定義 2 中把 x看作定點 , 把 x看作動點 , 即得 f 在點 x連續(xù) ) .而從例 9 可見 , 由 f 在區(qū)間 I 上每一點都連續(xù) , 并不能推出 f 在 I 上一致連續(xù) .然而 , 對于 定義 在閉 區(qū)間 上的 函 數(shù)來 說 , 由它 在 每一 點都 連 續(xù)卻可推出在區(qū)間上的一致連續(xù)性 , 即有如下重要定理 :定理 4.9 ( 一致連續(xù)性定理 ) 若函數(shù) f 在閉區(qū)間 a , b 上連續(xù) , 則 f 在 a , b 上一致連續(xù) .例 10 設(shè)區(qū)間 I1 的右端點為 c I1 , 區(qū)間 I2 的左端點也為 c I2 ( I1 , I2 可 分別為有限或無限區(qū)間 ) .試按 一致 連續(xù) 性的定 義 證明 : 若 f 分 別在 I1 和 I2 上 一致連續(xù) , 則 f 在 I = I1 I2 上也一致連續(xù) .證 任給 > 0 , 由 f 在 I1 和 I2 上 的 一致 連續(xù) 性 , 分別 存在 正 數(shù) 1 和 2 ,使得對任何 x, x I , 只要 | x- x| < 1 , 就有|f ( x) -f ( x) | < ;( 7)又對任何 x, x I2 , 只要 | x- x| < 2 , 也有 ( 7) 式成立 .點 x = c 作 為 I1 的右 端點 , f 在 點 c 為左 連續(xù) , 作 為 I2 的 左端 點 , f 在 點 c為右連續(xù) , 所以 f 在點 c 連續(xù) .故對上述 > 0 , 存在 3 > 0 , 當 | x - c | < 3 時有|f ( x ) -f ( c) | < .( 8)2 令 = min(1 , 2 , 3 ) , 對任何 x, x I , | x- x| < , 分別討論以下兩種 情形 :( i) x, x同時屬于 I1 或同時屬于 I2 , 則 ( 7) 式成立 ; ( ii) x, x分屬 I1 與 I2 , 設(shè) x I1 , x I2 , 則| x- c | = c -x<x-x< 3 ,故由 (8 ) 式得 | f ( x) - f ( c) | < 2.同理得 | f ( x) - f ( c) | < .從而 也有 (7 ) 式2成立 .這就證明了 f 在 I 上一致連續(xù) .習(xí) 題1. 討論復(fù)合函數(shù) fg 與 gf 的連續(xù)性 , 設(shè)2 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)81 ( 1) f ( x ) = sgn x , g( x) = 1 + x2 ; ( 2) f ( x ) = sgn x , g( x) = (1 - x2 ) x .2. 設(shè) f , g 在點 x0 連續(xù) , 證明 : ( 1) 若 f ( x0 ) > g( x0 ) , 則存在 U( x0 ;) , 使在其內(nèi)有 f ( x ) > g( x) ; ( 2) 若在某 U( x0 ) 內(nèi)有 f ( x ) > g( x) , 則 f ( x0 ) g( x0 ) .3. 設(shè) f , g 在區(qū)間 I 上連續(xù) .記F( x) = max f ( x) , g( x) , G( x ) = min f ( x) , g( x) .證明 F 和 G 也都在 I 上連續(xù) .提示 : 利用第一章總練習(xí)題 1 .4. 設(shè) f 為 R 上連續(xù)函數(shù) , 常數(shù) c > 0 .記- c ,若 f ( x) < - c,證明 F 在 R 上連續(xù) .F( x) =f ( x) ,若 | f ( x) | c, c,若 f ( x) > c .提示 : F( x) = max - c, min c , f ( x) .x - , x0 ,5. 設(shè) f ( x) = sin x , g( x) =x + , x > 0 .證明 :復(fù)合函數(shù) f g 在 x = 0 連續(xù) , 但 g 在 x = 0 不連續(xù) .6. 設(shè) f 在 a , + ) 上連續(xù) , 且 limx + a , + ) 上必有最大值或最小值嗎 ?f ( x ) 存 在 .證明 : f 在 a , + ) 上 有界 .又 問 f 在7. 若對任何充分小的 > 0 , f 在 a + , b - 上連續(xù) , 能否由此推出 f 在 ( a , b) 內(nèi)連續(xù) .8. 求極限 :2 ( 1) lim (- x ) tan x ; (2 ) lim x1 + 2 x -x- 1 .x 4x 1 +x + 19. 證明: 若 f 在 a , b上連續(xù) , 且對 任何 x a , b , f ( x ) 0 , 則 f 在 a , b 上 恒正 或 恒負 . 10. 證明 :任一實系數(shù)奇次方程至少有一個實根 .11. 試用一致連續(xù)的定義證明 : 若 f , g 都在 區(qū)間 I 上一 致連 續(xù) , 則 f + g 也 在 I 上一 致 連續(xù) . 12. 證明 f ( x) =x 在 0 , + )上一致連續(xù) . 提示 : 0 , + ) = 0 , 1 1 , + ) , 利用定理 4.9 和例 10 的結(jié)論 .13. 證明 : f ( x) = x2 在 a , b 上一致連續(xù) , 但在 ( - , + ) 上不一致連續(xù) .14. 設(shè)函數(shù) f 在區(qū)間 I 上滿足利普希 茨 ( Lipschitz) 條件 , 即存 在常數(shù) L > 0 , 使得 對 I 上 任意兩點 x, x都有| f ( x) -f ( x) | L | x- x| .證明 f 在 I 上一致連續(xù) .15. 證明 sin x 在 ( - , + ) 上一致連續(xù) . 提示 : 利用不等式 | sin x- sin x| | x- x| ( 見第三章1 例 4) . 82第四章 函數(shù)的連續(xù)性 16. 設(shè)函數(shù) f 滿足第 6 題的條件 .證明 f 在 a , + ) 上一致連續(xù) .17. 設(shè)函數(shù) f 在 0 , 2 a上連續(xù) , 且 f (0 ) = f (2 a) .證 明 :存在 點 x0 0 , a , 使 得 f ( x0 )= f ( x0 + a) .18. 設(shè) f 為 a , b上的增函數(shù) , 其值域為 f ( a) , f ( b) .證明 f 在 a , b 上連續(xù) .19. 設(shè) f 在 a , b上連續(xù) , x1 , x2 , xn a , b .證明 :存在 a , b , 使得f () = 1 f ( x ) + f ( x ) + f ( x) .n12n 20. 證明 f ( x) = cosx 在 0 , + )上一致連續(xù) . 提示 : 0 , + ) = 0 , 1 1 , + ) .在 1 , + ) 上成立不等式cosx- cosx x-x x- x .3 初等函數(shù)的連續(xù)性從前面兩節(jié)知道 , 在基本初等函 數(shù)中 , 三 角函 數(shù)、反三角 函數(shù) 以及有 理指 數(shù) 冪函數(shù)都是其定義域上的連續(xù)函數(shù) .本節(jié)將討論指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與實指數(shù)冪 函數(shù)的連續(xù)性 , 以及初等函數(shù)的連續(xù)性 .一 指數(shù)函數(shù)的連續(xù)性在第一章中 , 我們已定義了實指數(shù)的乘冪 , 并證明了指數(shù)函數(shù) y = ax( 0 < a1) 在R 上是 嚴格單 調(diào)的 .下面先 把關(guān)于有 理指數(shù) 冪的一個 重要性質(zhì) 推廣到 實 指數(shù)冪 , 然后證明指數(shù)函數(shù)的連續(xù)性 .定理 4.10 設(shè) a > 0 , , 為任意實數(shù) , 則有+ a a= a, ( a )= a. 證 不妨設(shè) a > 1 , 則 ax 由第一章3 (6 ) 式所定義 , 即ax = supr < xarr 為有理數(shù).任給 > 0 , 設(shè) r , s 為兩個有理數(shù) , 且 r < , s < , 使得由 ax 的嚴格增性得a- < ar , a- < as .又有 aras = ar + s , 故得ar + s < a+ .+ 由 的任意性推出( a- ) ( a- ) < a.+ a a a. 為證相反的不等式 , 設(shè) p 為有理數(shù) , 且 p < + , 使得a+ - < ap .再取有理數(shù) r , s 使 r < , s < 以及 p < r + s , 則有3 初等函數(shù)的連續(xù)性83故得到ap < ar + s = ar as < a a, a+ - < a a .由 的任意性推出 a + aa .所以有 aa = a + .后一等式的證明留給讀者 .定理 4.11 指數(shù)函數(shù) ax( a > 0 ) 在 R 上是連續(xù)的 .證 先設(shè) a > 1 .由第三章 2 例 4 知lim ax = 1 = a0 ,x 00這表明 ax 在 x = 0 連續(xù) .現(xiàn)任取 x R .由定理 4.10 得ax = ax0 + ( x - x0 ) = ax 0 ax - x0 .令 t = x - x0 , 則當 x x0 時有 t0 , 從而有l(wèi)imx x0ax = limx x0ax0 ax - x 0 = ax0 limt 0at = ax 0 .0這就證明了 ax 在任一點 x 連續(xù) .當 0 < a < 1 時 , 令 b