函數(shù)的概念的教學設計浙江省義烏市第三中學 陳向陽【教材分析】 本節(jié)課選自普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學必修本（A版）的第一章1.2.1函數(shù)的概念。函數(shù)是中學數(shù)學中最重要的基本概念之一，它貫穿在中學代數(shù)的始終，從初一字母表示數(shù)開始引進了變量，使數(shù)學從靜止的數(shù)的計算變成量的變化，而且變量之間也是相互聯(lián)系、相互依存、相互制約的，變量間的這種依存性就引出了函數(shù)。在初中已初步探討了函數(shù)概念、函數(shù)關系的表示法以及函數(shù)圖象的繪制。到了高一再次學習函數(shù)，是對函數(shù)概念的再認識，是利用集合與對應的思想來理解函數(shù)的定義，從而加深對函數(shù)概念的理解。函數(shù)與數(shù)學中的其他知識緊密聯(lián)系，與方程、不等式等知識都互相關聯(lián)、互相轉(zhuǎn)化。函數(shù)的學習也是今后繼續(xù)研究數(shù)學的基礎。在中學不僅學習函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖象等知識，尤為重要的是函數(shù)的思想要更廣泛地滲透到數(shù)學研究的全過程。函數(shù)是中學數(shù)學的主體內(nèi)容，起著承上啟下的作用。函數(shù)又是初等數(shù)學和高等數(shù)學銜接的樞紐，特別在應用意識日益加深的今天，函數(shù)的實質(zhì)是揭示了客觀世界中量的相互依存又互有制約的關系。因此對函數(shù)概念的再認識，既有著不可替代的重要位置，又有著重要的現(xiàn)實意義。本節(jié)的內(nèi)容較多，分二課時。本課時的內(nèi)容為：函數(shù)的概念、函數(shù)的三要素、簡單函數(shù)的定義域及值域的求法、區(qū)間表示等。（第二課時內(nèi)容為：函數(shù)概念的復習、較復雜函數(shù)的定義域及值域的求法、分段函數(shù)、函數(shù)圖象等）【學情分析】學生在學習本節(jié)內(nèi)容之前，已經(jīng)在初中學習過函數(shù)的概念，并且知道可以用函數(shù)描述變量之間的依賴關系。然而，函數(shù)概念本身的表述較為抽象，學生對于動態(tài)與靜態(tài)的認識尚為薄弱，對函數(shù)概念的本質(zhì)缺乏一定的認識，對進一步學習函數(shù)的圖象與性質(zhì)造成了一定的難度。初中是用運動變化的觀點對函數(shù)進行定義，雖然這種定義較為直觀，但并未完全揭示出函數(shù)概念的本質(zhì)。例如，對于函數(shù) 如果用運動變化的觀點去看它，就不好解釋，顯得牽強。但如果用集合與對應的觀點來解釋，就十分自然。因此，用集合與對應的思想來理解函數(shù)，對函數(shù)概念的再認識，就很有必要。由于數(shù)學符號的抽象性，學生因此會望而卻步，從而影響了學生學習數(shù)學的積極性。高一學生雖然在初中已接觸了函數(shù)的概念，但在重新學習它時還是存在一定的障礙，其中一個原因就是對新引進的函數(shù)符號“y=f(x)”不甚其解。教師應在教學中有意識地挖掘函數(shù)符號的審美因素，以美啟真。在本節(jié)課的教學過程中，教師應該給學生提供實踐動手的機會，為學生創(chuàng)設熟悉的問題情境，引導學生觀察、計算、思考，從而理解問題的本質(zhì)，歸納總結(jié)出結(jié)論。【學法指導】 本節(jié)內(nèi)容的學習要注意運動變化觀和集合對應觀兩個觀念下函數(shù)定義的對比研究；注意借助熟悉的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)加深對函數(shù)這一抽象概念的理解；要重視符號f(x)的學習，借助具體函數(shù)來理解符號y=f(x)的含義，由具體到抽象，克服由抽象的數(shù)學符號帶來的理解困難，從而提高理解和運用數(shù)學符號的能力?！窘虒W目標】知識目標 通過豐富的實例，進一步體會函數(shù)是描述變量之間的依賴關系的重要數(shù)學模型；用集合與對應的思想理解函數(shù)的概念；理解函數(shù)的三要素及函數(shù)符號的深刻含義；會求一些簡單函數(shù)的定義域及值域。能力目標 培養(yǎng)學生觀察、類比、推理的能力；培養(yǎng)學生分析、判斷、抽象、歸納概括的邏輯思維能力；培養(yǎng)學生聯(lián)系、對應、轉(zhuǎn)化的辯證思想；強化“形”與“數(shù)”結(jié)合并相互轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想。情感目標 滲透數(shù)學思想和文化，激發(fā)學生觀察、分析、探求的興趣和熱情；強化學生參與意識，培養(yǎng)學生嚴謹?shù)膶W習態(tài)度，獲得積極的情感體驗；體會在探究過程中由特殊到一般、從具體到抽象、運動變化、相互聯(lián)系、相互制約、相互轉(zhuǎn)化的辯證唯物主義觀點；感受數(shù)學的簡潔美、對稱美、數(shù)與形的和諧統(tǒng)一美；樹立“數(shù)學源于實踐，又服務于實踐”的數(shù)學應用意識?！窘虒W重點】函數(shù)的概念及y=f(x)的理解與深化。【教學難點】函數(shù)的概念及函數(shù)符號f(x)的理解。【教學關鍵】在集合與對應的基礎上理解函數(shù)的概念?！窘虒W方法】 以建構(gòu)主義理論為指導，輔以多媒體手段，采用著重于學生探索研究的啟發(fā)式教學為主，變式教學為輔，及引導、探究、講解、演練相結(jié)合。在教學過程中，多一點情境和歸納，多一點探索和發(fā)現(xiàn)，多一點思考和回顧。通過不同形式的自主學習、探究活動，豐富和改善教與學的方式，體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，發(fā)展創(chuàng)新意識和實踐能力。在課堂結(jié)構(gòu)上，設計“創(chuàng)設情境引入課題；引導探求形成知識；變式訓練鞏固知識；討論研究深化知識；總結(jié)反思提高認識；任務后延自主探究”這樣幾個主要環(huán)節(jié)，環(huán)環(huán)相扣，層層深入，以期達到教學目標。設計思想設計環(huán)節(jié)設計意圖師生活動一、創(chuàng)設問題情境，引出課題。以實際問題為背景，以學生熟悉的情境入手激活學生的原有知識，形成學生的“再創(chuàng)造”欲望，讓學生在熟悉的環(huán)境中發(fā)現(xiàn)新知識，使新知識和原知識形成聯(lián)系，同時也體現(xiàn)了數(shù)學的應用價值。通過問題2這兩個用已有概念不太容易回答的問題，引發(fā)學生的認知沖突，有著承上啟下的作用。既是對初中已學的函數(shù)概念的進一步深入，又是為下一步用集合語言來刻畫函數(shù)的本質(zhì)做好伏筆。教師提出問題1：我們在初中學習過函數(shù)的概念，它是如何定義的呢？在初中已經(jīng)學過哪些函數(shù)？（在學生回答的基礎上出示投影）我們已經(jīng)學習了一些具體的函數(shù)，那么為什么還要學習函數(shù)呢？先請同學們思考下面的兩個問題：問題2：由上述定義你能判斷“y=1”是否表示一個函數(shù)？函數(shù)y=x與函數(shù)表示同一個函數(shù)嗎？學生思考、討論后，教師點撥：僅用上述函數(shù)概念很難回答這些問題，我們需要從新的角度來認識函數(shù)概念。這就是今天我們要學習的課題：函數(shù)的概念（板書）二、借助信息技術(shù)，討論歸納。以實際問題為載體，以信息技術(shù)的作圖功能為輔助。在三個實例的教學中，重點在于引導學生體會函數(shù)概念中的對應關系。通過實例1，體會用解析式刻畫變量之間的對應關系，關注t和h的范圍；通過實例2體會用圖象刻畫變量之間的對應關系，關注t和S的范圍；通過實例3體會用表格刻畫變量之間的對應關系。為了更好地使學生嘗試用集合與對應的語言進行描述，可以利用信息技術(shù)設置教學情境。通過學生的觀察、思考、討論來歸納結(jié)論，體現(xiàn)了學生自主探究的學習方式。讓他們通過實踐來進一步體驗到在集合對應觀下的函數(shù)內(nèi)涵，也為學生應用信息技術(shù)解決數(shù)學問題提供了一種新的途徑和方法。師：（實例1）演示動畫，用幾何畫板動態(tài)地顯示炮彈高度h關于炮彈發(fā)射時間t的函數(shù)。啟發(fā)學生觀察、思考、討論，嘗試用集合與對應的語言描述變量之間的依賴關系：在t的變化范圍內(nèi)，任給一個t，按照給定的解析式，都有唯一的一個高度h與之相對應。生：用計算器計算，然后用集合與對應的語言描述變量之間的依賴關系。師：（實例2）引導學生看圖，并啟發(fā)：在t的變化范圍內(nèi)，任給一個t，按照給定的圖象，都有唯一的一個臭氧空洞面積S與之相對應。生：動手測量，然后用集合與對應的語言描述變量之間的依賴關系。師生：（實例3）共同讀表，然后用集合與對應的語言描述變量之間的依賴關系。問題3：分析、歸納以上三個實例，它們有什么共同特點？生：分組討論三個實例的共同特點，然后歸納出函數(shù)定義，并在全班交流。師生：由學生概括，教師補充，引導學生歸納出三個實例中變量之間的關系均可描述為：對于數(shù)集A中的每一個x，按照某種對應關系f，在數(shù)集B中都有唯一確定的y與它對應，記作f:AB三、從特殊到一般，引出函數(shù)概念。從特殊到一般，揭示數(shù)學通常的發(fā)現(xiàn)過程，給學生“數(shù)學創(chuàng)造”的體驗。這種引出概念的方式自然而又易于學生接受和形成概念。注重雙語，規(guī)范數(shù)學概念的理解。在涉及的每一個數(shù)學概念其后注明英語，有利于教師實施雙語教學，也有利于教師和學生閱讀外文數(shù)學材料，這也是體現(xiàn)新課標實驗教材的創(chuàng)新之處。函數(shù)y=f(x)是學生學習的難點，這是一個抽象的數(shù)學符號。教學時首先要強調(diào)符號“y=f(x)”為“y是x的函數(shù)”這句話的數(shù)學表示，它僅僅是數(shù)學符號，而不是表示“y等于f與x的乘積”。在有些問題中，對應關系f可用一個解析式表示，但在不少問題中，對應關系f不便用或不可能用解析式表示，而用其他方式（如圖象、列表）來表示。所以教師應向?qū)W生明確指出，y=f(x)不一定就是解析式，函數(shù)的表示方式除了解析式外，還有其它表示方法，如實例2的圖象法，實例3的列表法。問題4：函數(shù)能否看做是兩個集合之間的一種對應呢？如果能，怎樣給函數(shù)重新下一個定義呢？（在學生回答的基礎上教師歸納總結(jié)）設A、B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在數(shù)集B中都有唯一確定的f(x)和它對應，那么就稱f:AB為從集合A到集合B的一個函數(shù)（function）.記作y=f(x)xA自變量x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域（domain）；與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域（range） 在函數(shù)概念得出后，教師強調(diào)指出“y=f(x)”僅僅是數(shù)學符號。為了更好地理解函數(shù)符號y=f(x)的含義，教師提出下一個問題：問題5：y=f(x)一定就是函數(shù)的解析式嗎？師生：函數(shù)的解析式、圖象、表格都是表示函數(shù)的方法。補充練習：下列圖象中不能作為函數(shù)的圖象的是（ ）（A） （B） （C） （D）啟發(fā)并引導學生思考、討論、交流，教師歸納總結(jié)出函數(shù)的要點：1函數(shù)是一種特殊的對應非空數(shù)集到非空數(shù)集的對應；2函數(shù)的核心是對應法則，通常用記號f表示函數(shù)的對應法則，在不同的函數(shù)中，f的具體含義不一樣。函數(shù)記號y=f(x)表明，對于定義域A的任意一個x在“對應法則f”的作用下，即在B中可得唯一的y.當x在定義域中取一個確定的a，對應的函數(shù)值即為f(a).集合B中并非所有的元素在定義域A中都有元素和它對應；值域；3函數(shù)符號y=f(x)的說明：（1）“y=f(x)”即為“y是x的函數(shù)”的符號表示；（2）y=f(x)不一定能用解析式表示；（3）f(x)與f(a)是不同的，通常，f(a)表示函數(shù)f(x)當x=a時的函數(shù)；（4）在同時研究兩個或多個函數(shù)時，常用不同符號表示不同的函數(shù)，除用符號f(x)外，還常用g(x)、F(x)、(x)等符號來表示。4定義域是函數(shù)的重要組成部分，如f(x)=x(xR)與g(x)=x(x0)是不同的兩個函數(shù)。四、借助熟悉函數(shù)平臺，加深對函數(shù)概念的理解。設置問題6這個情境，目的是用函數(shù)的定義去解釋學過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)，使得對函數(shù)的描述性定義上升到集合與對應語言刻畫的定義。同時利用信息技術(shù)工具畫出函數(shù)的圖象，是讓學生進一步體會“數(shù)”與“形”結(jié)合在理解函數(shù)中的作用，更好地幫助理解上述函數(shù)的三個要素，從而加強學生對函數(shù)概念的理解，進一步挖掘函數(shù)概念中集合與函數(shù)的聯(lián)系。明確定義域、值域和對應關系是決定函數(shù)的三要素，這是一個整體，以此更好地培養(yǎng)學生深層次思考問題的習慣。問題6：集合A（A=R）到集合B（B=R）的對應：f:AB，使得集合B中的元素與集合A中的元素x對應，如何表示這個函數(shù)？定義域和值域各是什么？函數(shù)呢？函數(shù)呢？教師演示動畫，用幾何畫板顯示這三種函數(shù)的動態(tài)圖象，啟發(fā)學生觀察、分析，并請同學們思考之后填寫下表：函數(shù)一次函數(shù)反比例函數(shù)二次函數(shù)對應關系定義域值域問題7：函數(shù)的三要素是什么？教師引導學生歸納總結(jié)：函數(shù)的三要素是定義域、值域及對應法則。在函數(shù)的三要素中，當其中的兩要素已確定時，則第三個要素也就隨之確定了。如當函數(shù)的定義域，對應法則已確定，則函數(shù)的值域也就確定了。五、再創(chuàng)情境，引導探究函數(shù)概念的新認識。問題8利用學生思維的空白處設置問題，能引起學生探究的欲望，從而自然引出以形求數(shù)的思想。接著，通過“引導”，給學生解決后續(xù)問題的方法，即觀察圖象的方法。問題9引導學生對問題2進行反思和總結(jié)，并將之一般化，利用數(shù)學語言來表達，培養(yǎng)學生反思問題、總結(jié)歸納的習慣和善于運用數(shù)學語言抽象所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論的能力。問題8：比較函數(shù)的近代定義與傳統(tǒng)定義的異同點，你對函數(shù)有什么新的認識？學生思考、討論，教師點撥：函數(shù)近代定義與傳統(tǒng)定義在實質(zhì)上是一致的，兩個定義中的定義域與值域的意義完全相同。兩個定義中的對應法則實際上也一樣，只不過敘述的出發(fā)點不同，傳統(tǒng)定義是從運動變化的觀點出發(fā)，近代定義的對應法則是從集合與對應的觀點出發(fā)。問題9：學生在前面學習的基礎上，反思對問題2的解答，重新思考問題2，談談自己的認識。教師啟發(fā)、引導學生畫圖，以形求數(shù)。師生：是函數(shù)；與不是同一個函數(shù)。六、師生釋疑，深入研究。問題10以學生已解決的問題出發(fā)創(chuàng)設情境，引起學生的學習興趣，再次引發(fā)學生在構(gòu)建自身基礎上的“再創(chuàng)造”，并通過獨立思考后的討論，培養(yǎng)學生分析解決問題、用數(shù)學語言交流溝通的能力。設置問題11這個情境，是因為“區(qū)間概念”這段內(nèi)容并不難理解，所以可以先讓學生自已閱讀，然后進行不等式、區(qū)間與數(shù)軸表示的互相轉(zhuǎn)化，以此熟悉區(qū)間的概念。問題11此情境的設置是為學生提供了自主探究的平臺，從閱讀學習中發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題，既符合了學生的心理特點，又注重了學生的思維過程。問題10：如何判斷兩個函數(shù)是否相同？引導學生對問題2進行抽象概括并歸納總結(jié)：當兩個函數(shù)的定義域、對應關系完全一致時，我們就稱這兩個函數(shù)相等。問題11：研讀課本，敘述區(qū)間的概念。請同學們在閱讀后填寫下表：定義名稱符號數(shù)軸表示閉區(qū)間開區(qū)間半開半閉區(qū)間教師指導學生自學，解決學生提出的問題，并指出說明：（1）區(qū)間是集合；（2）區(qū)間的左端點必小于右端點；（3）無窮大是一個符號，不是一個數(shù)；（4）以“-”或“+”為區(qū)間的一端時，這一端必須是小括號。七、舉例應用，深化目標。例題是為了使學生更好地理解函數(shù)定義而設置的，既考慮了數(shù)學思維的嚴謹性，也體現(xiàn)了數(shù)學知識的應用性。通過例1，使學生學會求簡單函數(shù)的定義域，以此更好地突出重點。例1表明當對應法則確定后，對于定義域內(nèi)的一個數(shù)，只要將它代入解析式，就可求出它所對應的函數(shù)值，進一步體會函數(shù)記號的含義。例2表明判定兩個函數(shù)是否相同，不僅要看對應關系是否一樣，還要看定義域是否相同。通過判斷函數(shù)的相等使學生認識到函數(shù)的整體性，進一步加深學生對函數(shù)概念的理解。例3的設置補充，其目的既是第22頁練習3與習題3的伏筆，也是為了讓學生體會到從特殊到一般的思想方法，同時也后面研究函數(shù)的性質(zhì)（奇函數(shù)）作準備。變式訓練的設計以一個問題為背景，一題多用，一題多變，由淺入深，體現(xiàn)梯度，使不同程度的學生都有發(fā)展。通過一組精心設計的問題鏈來引導和激發(fā)學生的參與意識、創(chuàng)新意識，培養(yǎng)學生探究問題的能力，從而提升學生的思維品質(zhì)。借助三個變式層層深入，是理論到實踐的升華，使概念深化、強化、類化！f的作用與含義印入心底，得到再次認同，初步掌握與應用能力也就自然形成了。例1已知函數(shù)（1）求函數(shù)的定義域；（2）求的值；（3）當時，求的值。讓學生思考，并提問個別學生。師問：怎樣求函數(shù)的定義域？追問：與有何區(qū)別與聯(lián)系？點撥：表示當自變量時函數(shù)的值，是一個常量，而是自變量的函數(shù)，它是一個變量，是的一個特殊值。例2下列函數(shù)中哪個與函數(shù)y=x相等？（1） （2）（3） （4）師問：判斷函數(shù)相等的依據(jù)是什么？變式：若改（2）為呢？思考：你能舉出一些函數(shù)相等的具體例子嗎？例3已知函數(shù)（1）畫出函數(shù)的圖象；（2）求的值；（3）你從（2）中發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論？（4）求函數(shù)的值域。教師引導學生解決此題的關鍵點，并進行變式：變式1：已知 當時，求函數(shù)的值域； 當時，求函數(shù)的值域。變式2：已知 當函數(shù)值域為時，求函數(shù)定義域； 當函數(shù)值域為時，求函數(shù)定義域。變式3：（1）已知求的值。變式3：（2）已知求函數(shù).八、練習交流反饋鞏固利用課堂練習鞏固所學的知識內(nèi)容、數(shù)學思想和方法，以求達到教學目標。本環(huán)節(jié)以個別指導為主，體現(xiàn)面對全體學生的課改理念。課堂練習：課本第22頁練習123以學生回答、板演的形式進行，充分發(fā)揮師與生、生與生的互動，以教師、學生相互交流來鞏固本節(jié)課的學習。九、學生歸納小結(jié)，教師評價。關注學生學習的主動性，培養(yǎng)學生的合作意識，培養(yǎng)學生表達交流數(shù)學的能力。自主小結(jié)的形式將課堂還給學生，既是對一節(jié)課的簡單回顧與梳理，也是對所學內(nèi)容的再次鞏固。以同桌之間一人小結(jié)一人傾聽的方式，以四人為一小組進行小組討論，對本節(jié)課所學的內(nèi)容進行自主小結(jié)，教師及時進行歸納總結(jié)：1函數(shù)的近代定義與傳統(tǒng)定義的異同點；2集合與函數(shù)的聯(lián)系、區(qū)別；3函數(shù)的三要素；4數(shù)形結(jié)合的思想。十、課后作業(yè)作業(yè)分為三種形式，體現(xiàn)作業(yè)的鞏固性和發(fā)展性原則。閱讀作業(yè)中的問題思考是后續(xù)課堂的鋪墊，而彈性作業(yè)不作統(tǒng)一要求，供學有余力的學生課后研究，它也是新課程標準里研究性學習的一部分。1閱讀作業(yè)：通讀教材，復習鞏固，并思考表示函數(shù)有哪些方法？從例3(2)中你能發(fā)現(xiàn)更一般性的結(jié)論嗎？2書面作業(yè)：課本第28頁習題123453彈性作業(yè)：比較函數(shù)的近代定義與傳統(tǒng)定義的異同點，你對函數(shù)有什么新的認識？請同學們舉出幾個具體函數(shù)例子，用傳統(tǒng)定義不好解釋，而用近代定義容易理解。教學流程：從特殊到一般，引出函數(shù)概念借助信息技術(shù)，討論歸納創(chuàng)設問題情境，引出問題師生釋疑，深入研究再創(chuàng)情境，引導探究函數(shù)概念的新認識借助熟悉函數(shù)的平臺，加深對函數(shù)概念理解 課后作業(yè)學生歸納小結(jié)，教師評價練習、交流、反饋、鞏固舉例應用，深化目標知識結(jié)構(gòu)：函數(shù)的概念近代定義與傳統(tǒng)定義集合與函數(shù)的關系函數(shù)的三要素定義域值域?qū)P系問題探討：本章教學內(nèi)容的要求與現(xiàn)行高考的要求距離較遠，而學生知識現(xiàn)狀與課本要求較高之間的矛盾也較突出。學生原有的運算能力、分析問題的能力直接制約著本章的學習。這不僅與初中數(shù)學內(nèi)容的銜接、學習方法有較大變化有關，而且與知識更新力度較大有關，使大部分學生不太適應本章的學習。新大綱中提出能運用函數(shù)性質(zhì)解決某些簡單的實際問題，在本章中很難達到預期要求。用計算機繪制函數(shù)圖象，收集數(shù)據(jù)并建立函數(shù)模型，但在信息技術(shù)與課程的整合上還有待加強。