第 14 講 導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用考綱要求考情風(fēng)向標(biāo)1.了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次).2.了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件；會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次)；會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次).本節(jié)復(fù)習(xí)時(shí)，應(yīng)理順導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的關(guān)系，體會導(dǎo)數(shù)在解決函數(shù)有關(guān)問題時(shí)的工具性作用重點(diǎn)解決利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值的問題；本節(jié)知識往往與其他知識結(jié)合命題，如不等式知識等，還應(yīng)注意分類討論思想的應(yīng)用.1函數(shù)的單調(diào)性函數(shù) yf(x)在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，則(1)若 f(x)0，則 f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增；(2)若 f(x)0，則 f(x)在(a，b)內(nèi)_2函數(shù)的極值(1)判斷 f(x0)是極值的方法：一般地，當(dāng)函數(shù) f(x)在點(diǎn) x0 處連續(xù)時(shí)，單調(diào)遞減如果在 x0 附近的左側(cè) f(x)0,右側(cè) f(x)0，那么 f(x0)是極大值；如果在 x0 附近的左側(cè)_，右側(cè)_，那么 f(x0)是極小值f(x)0f(x)0(2)求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟：求 f(x)；求方程 f(x)0 的根；檢查 f(x)在方程 f(x)0 的根的左、右值的符號如果左正右負(fù)，那么 f(x)在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么 f(x)在這個(gè)根處取得_；如果左右兩側(cè)符號一樣，那么這個(gè)根不是極值點(diǎn)極小值3函數(shù)的最值(1)函數(shù) f(x)在a，b上有最值的條件：如果在區(qū)間a，b上，函數(shù) yf(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值(2)若函數(shù) f(x)在a，b上單調(diào)遞增，則 f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù) f(x)在a，b上單調(diào)遞減，則 f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值(3)求 yf(x)在a，b上的最大(小)值的步驟：求函數(shù) yf(x)在(a，b)內(nèi)的極值；將函數(shù) yf(x)的各_與端點(diǎn)值比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值極值1f(x)x33x22 在區(qū)間1,1上的最大值是()CA2B0C2D42(2013 年廣州二模)已知e為自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù) y)xex 的單調(diào)遞增區(qū)間是(A1，)C1，)B(，1D(，1A3(2013 年河南鄭州模擬)函數(shù) f(x)的定義域?yàn)殚_區(qū)間(a，b)，導(dǎo)函數(shù) f(x)在(a，b)內(nèi)的圖象如圖 2-14-1，則函數(shù) f(x)在(a，b)內(nèi)的極大值點(diǎn)有()圖 2-14-1A1 個(gè)B2 個(gè)C3 個(gè)D4 個(gè)4函數(shù) f(x)x33x21 在 x_處取得極小值B2考點(diǎn) 1 函數(shù)的單調(diào)性與極值(1)求 a 的值；(2)求函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值解得 x1(舍)或 x5.當(dāng) x(0,5)時(shí)，f(x)0，函數(shù) f(x)單調(diào)遞增因此，函數(shù) f(x)在 x5 時(shí)取得極小值，且極小值為 f(5)ln5.【規(guī)律方法】(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與函數(shù)的極值時(shí)要養(yǎng)成列表的習(xí)慣，可使問題直觀且有條理，減少失分的可能.如果一個(gè)函數(shù)在給定定義域上的單調(diào)區(qū)間不止一個(gè)，這些區(qū)間之間一般不能用并集符號“”連接，只能用“，”或“和”字隔開. (2)“f(x)0或 f(x)0”是“函數(shù) f(x)在某區(qū)間上為增函數(shù)(或減函數(shù))”的充分不必要條件；“f(x0)0”是“函數(shù) f(x)在 xx0 處取得極值”的必要不充分條件.【互動探究】1函數(shù) f(x)在 xx0 處的導(dǎo)數(shù)存在，若命題 p：f(x0)0，命題 q：xx0 是 f(x)的極值點(diǎn)，則 p 是 q 的()CA充分必要條件C必要不充分條件B充分不必要條件D既不充分也不必要條件解析：若 xx0 是 f(x)的極值點(diǎn)，則f(x0)0；若f(x0)0，而 xx0 不一定是 f(x)的極值點(diǎn)，如 f(x)x3，當(dāng) x0 時(shí)，f(0)0，但 x0 不是極值點(diǎn)故 p 是 q 的必要不充分條件故選 C.考點(diǎn) 2 函數(shù)的最值(1)若 f(x)在 x2 處的切線與直線 3x2y10 平行，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求 f(x)在區(qū)間1，e上的最小值x(0,1)1(1，)f(x)0f(x)12令 f(x)0，得 x1.f(x)與 f(x)的情況如下表：所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1)，單調(diào)遞增區(qū)間是(1，)【規(guī)律方法】求函數(shù)的最值時(shí)，不可想當(dāng)然地認(rèn)為極值點(diǎn)就是最值點(diǎn)，要對函數(shù) yf(x)的各極值與端點(diǎn)值進(jìn)行比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值.【互動探究】x252(2，)f(x)00考點(diǎn) 3 利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)中的恒成立問題(1)若 a3，試確定函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若 f(x)在其圖象上任一點(diǎn)(x0，f(x0)處的切線斜率都小于2a2，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍由 f(x)0，解得 x3.所以函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,3)，單調(diào)遞減區(qū)間為(，1)和(3，)(2)因?yàn)?f(x)x22xa，由題意，得 f(x)x22xa2a2 對任意 xR 恒成立，即x22x2a2a 對任意 xR 恒成立，設(shè) g(x)x22x，所以 g(x)x22x(x1)21.所以當(dāng) x1 時(shí)，g(x)有最大值為 1.因?yàn)閷θ我?xR，x22x2a2a 恒成立，【規(guī)律方法】若 f(x)在其圖象上任一點(diǎn)處的切線斜率都小于2a2，即 f(x)x22xa2a2 對任意 xR 恒成立，分離變量得x22x0，實(shí)數(shù) a，b 為常數(shù))(1)若 a1，b1，求函數(shù) f(x)的極值；(2)若 ab2，討論函數(shù) f(x)的單調(diào)性xb21(1，)f(x)00f(x)極大值極小值x(0,1)1b2f(x)00f(x)極大值極小值