第三節(jié) 拋物線及其性質(zhì)題型122 拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程2013年1.（2013四川文5）拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離是（ ）.A. B. C. D. 2014年1.（2014安徽文3）拋物線的準(zhǔn)線方程是（ ）.A. B. C. D. 2.（2014遼寧文8）已知點(diǎn)在拋物線：的準(zhǔn)線上，記的焦點(diǎn)為，則直線的斜率為（ ）A B C D3.（2014新課標(biāo)文10）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，是C上一點(diǎn)，則（ ） A. B. C. D. 4.（2014陜西文11）拋物線的準(zhǔn)線方程為_.5.（2014湖南文14）平面上一機(jī)器人在行進(jìn)中始終保持與點(diǎn)的距離和到直線的距離相等.若機(jī)器人接觸不到過點(diǎn)且斜率為的直線，則的取值范圍是 .2015年1.（2015陜西文3）已知拋物線的準(zhǔn)線經(jīng)過點(diǎn)，則該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）.A. B. C. D. 1. 解析 由拋物線得準(zhǔn)線，因?yàn)闇?zhǔn)線經(jīng)過點(diǎn)，所以，所以拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選B.2.（2015福建文19）已知點(diǎn)為拋物線：的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，且（1）求拋物線的方程；（2）已知點(diǎn)，延長交拋物線于點(diǎn)，求證：以點(diǎn)為圓心且與直線 相切的圓，必與直線相切2.分析 （1）利用拋物線定義，將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離和到準(zhǔn)線距離相互轉(zhuǎn)化本題由可得，可求的值，進(jìn)而確定拋物線方程；（2）欲證明以點(diǎn)為圓心且與直線相切的圓，必與直線相切可證明點(diǎn)到直線和直線的距離相等（此時需確定兩條直線方程）；也可以證明，可轉(zhuǎn)化為證明兩條直線的斜率互為相反數(shù)解析（1）由拋物線的定義得因?yàn)?，即，解得，所以拋物線的方程為（2）解法一：因?yàn)辄c(diǎn)，在拋物線：上，所以，由拋物線的對稱性，不妨設(shè)由，可得直線的方程為由，得.解得或，從而又，所以，所以，從而，這表明點(diǎn)到直線，的距離相等，故以為圓心且與直線相切的圓必與直線相切解法二：設(shè)以點(diǎn)為圓心且與直線相切的圓的半徑為因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線：上，所以，由拋物線的對稱性，不妨設(shè)由，可得直線的方程為由，得，解得或，從而又，故直線的方程為，從而又直線的方程為，所以點(diǎn)到直線的距離這表明以點(diǎn)為圓心且與直線相切的圓必與直線相切2016年1.（2016四川文3）拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）.A. B. C. D.1. D 解析 由題意，的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選.2.（2016江蘇22（1）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線，拋物線.若直線過拋物線的焦點(diǎn)，求拋物線的方程. 2. 解析 因?yàn)?，所以與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，拋物線的焦點(diǎn)為，所以，故.3.（2016浙江文19（1）如圖所示，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，拋物線上的點(diǎn)到軸的距離等于. 求的值. 3. 解析因?yàn)閽佄锞€上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，由已知條件得，即.題型123 與拋物線有關(guān)的距離和最值問題2013年1. （2013江西文9）已知點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為，射線與拋物線相交于點(diǎn)，與其準(zhǔn)線相交于點(diǎn)，則（ ）.A. B. C. D. 2.（2013江蘇9）拋物線在處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成三角形區(qū)域?yàn)椋ò切蝺?nèi)部和邊界）.若點(diǎn)是區(qū)域內(nèi)的任意一點(diǎn)，則的取值范圍是 .3（2013廣東文20）已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)到直線的距離為，設(shè)為直線上的點(diǎn)，過點(diǎn)做拋物線的兩條切線，其中，為切點(diǎn)(1) 求拋物線的方程；(2) 當(dāng)點(diǎn)為直線上的定點(diǎn)時，求直線的方程；(3) 當(dāng)點(diǎn)在直線上移動時，求的最小值4.（2013浙江文22）已知拋物線的頂點(diǎn)為 ，焦點(diǎn).（1）求拋物線的方程；（2）過作直線交拋物線于兩點(diǎn)，若直線分別交直線： 于兩點(diǎn)， 求 的最小值. 2017年1.（2017全國2卷文12）過拋物線的焦點(diǎn)，且斜率為的直線交于點(diǎn)（在軸上方），為的準(zhǔn)線，點(diǎn)在上且，則點(diǎn)到直線的距離為（ ）. A. B. C. D.1.解析 由題知，與拋物線聯(lián)立得，解得，所以.解法一：因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以到的距離為.故選C.解法二：如圖所示，在中，由拋物線定義知，.因?yàn)?，所?又軸，所以，所以為等邊三角形，且，則點(diǎn)到直線的距離為.題型124 拋物線中三角形、四邊形的面積問題2016年1.（2016上海文20）有一塊正方形菜地，所在直線是一條小河，收貨的蔬菜可送到點(diǎn)或河邊運(yùn)走.于是，菜地分為兩個區(qū)域和，其中中的蔬菜運(yùn)到河邊較近，中的蔬菜運(yùn)到點(diǎn)較近，而菜地內(nèi)和的分界線上的點(diǎn)到河邊與到點(diǎn)的距離相等，現(xiàn)建立平面直角坐標(biāo)系，其中原點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，如圖所示.（1）求菜地內(nèi)的分界線的方程；（2）菜農(nóng)從蔬菜運(yùn)量估計出面積是面積的兩倍，由此得到面積的“經(jīng)驗(yàn)值”為.設(shè)是上縱坐標(biāo)為的點(diǎn)，請計算以為一邊，另一邊過點(diǎn)的矩形的面積，及五邊形的面積，并判斷哪一個更接近于面積的經(jīng)驗(yàn)值.1.解析 （1）不妨設(shè)設(shè)分界線上任一點(diǎn)為，依題意，化簡得.（2）因?yàn)?，所以，設(shè)以為一邊，另一邊過點(diǎn)的矩形的面積為，則，設(shè)五邊形面積為，過作交于點(diǎn)，如圖所示.則，因?yàn)?，所以五邊形的面積更接近的面積.第四節(jié) 曲線與方程題型125 求動點(diǎn)的軌跡方程2013年1. （2013遼寧文20）如圖，拋物線.點(diǎn)在拋物線上，過作的切線，切點(diǎn)為（為原點(diǎn)時，重合于）.當(dāng)時，切線的斜率為.（1）求的值；（2）當(dāng)在上運(yùn)動時，求線段中點(diǎn)的軌跡方程（ 重合于時，中點(diǎn)為）.2. (2013陜西文20）已知動點(diǎn)到直線的距離是它到點(diǎn)的距離的倍.（1）求動點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過點(diǎn)的直線與軌跡交于兩點(diǎn).若是的中點(diǎn)，求直線的斜率.2014年1.（2014福建文21）已知曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線的距離小2.（1）求曲線的方程；（2）曲線在點(diǎn)處的切線與軸交于點(diǎn).直線分別與直線及軸交于點(diǎn)，以為直徑作圓，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，試探究：當(dāng)點(diǎn)在曲線上運(yùn)動（點(diǎn)與原點(diǎn)不重合）時，線段的長度是否發(fā)生變化？證明你的結(jié)論.2. （2014廣東文20）（14分）已知橢圓的一個焦點(diǎn)為，離心率為，（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若動點(diǎn)為橢圓外一點(diǎn)，且點(diǎn)到橢圓的兩條切線相互垂直，求點(diǎn)的軌跡方程.3.（2014湖北文22）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到軸的距離多記點(diǎn)的軌跡為.（）求軌跡的方程；（）設(shè)斜率為的直線過定點(diǎn). 求直線與軌跡恰好有一個公共點(diǎn)、兩個公共點(diǎn)、三個公共點(diǎn)時的相應(yīng)取值范圍. 2015年1.（2015浙江文7）如圖所示，斜線段與平面所成的角為，為斜足，平面 上的動點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡是（ ）.A直線 B拋物線C橢圓 D雙曲線的一支1. 解析 若，則繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)形成圓錐面，這面被平面截得圖像是橢圓.故選C.2016年1. （2016四川文15）在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)不是原點(diǎn)時，定義的“伴隨點(diǎn)”為，當(dāng)是原點(diǎn)時，定義“伴隨點(diǎn)”為它自身，現(xiàn)有下列命題：若點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)，則點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)；單元圓上的“伴隨點(diǎn)”還在單位圓上；若兩點(diǎn)關(guān)于軸對稱，則他們的“伴隨點(diǎn)”關(guān)于軸對稱；若三點(diǎn)在同一條直線上，則他們的“伴隨點(diǎn)”一定共線.其中的真命題是 .1. 解析 對于，若令則其伴隨點(diǎn)為，而的伴隨點(diǎn)為，而不是，故錯誤；對于，令單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)為，其伴隨點(diǎn)為仍在單位圓上，故正確；對于，設(shè)曲線關(guān)于軸對稱，則對曲線表示同一曲線，其伴隨曲線分別為與也表示同一曲線，又因?yàn)槠浒殡S曲線分別為與的圖像關(guān)于軸對稱，所以正確；對于，直線上取點(diǎn)得，其伴隨點(diǎn)消參后軌跡是圓，故錯誤.所以正確的序號為.2017年1.（2017全國2卷文20）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動點(diǎn)M在橢圓上，過點(diǎn)M作x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿足.（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，且.證明：過點(diǎn)且垂直于的直線過的左焦點(diǎn). 1. 解析 （1）如圖所示，設(shè)，.由知，即.又點(diǎn)在橢圓上，則有，即.（2）設(shè)，則有，即.橢圓的左焦點(diǎn).又，所以.所以過點(diǎn)且垂直于的直線過的左焦點(diǎn).歡迎訪問“高中試卷網(wǎng)”http:/sj.fjjy.org