數(shù)學(xué)必修一復(fù)習(xí)詳細資料及例題 第一章 集合 （注意空集、注意分類討論、注意數(shù)形結(jié)合畫數(shù)軸） 一.集合元素的特征： ⑴ 確定性 ⑵ 無序性 ⑶ 互異性。你理解確定性的意思嗎？ 你能判斷集合嗎？（題略）集合題要特別注意求解之后檢驗元素的互異性。如：已知，求的值（答案：或） 二.集合的表示方法： ⑴ 列舉法 ⑵ 描述法 ⑶ 圖示法 ⑷ 區(qū)間法 列舉法：盡量從小到大排列。描述法：注意格式，不等式中要寫在左邊。圖示法：注意點是實心還是空心？區(qū)間法：左端點一定小于右端點，凡是都用小括號。 三.兩種關(guān)系： 元素與集合是從屬關(guān)系，用或。集合與集合是包含關(guān)系，用或或或或=，要用最恰當(dāng)?shù)囊粋€。常用數(shù)集符號及記住了沒有?N、、、Z、Q、R表示什么集？ ①0____ ②0____ ③____ ④____ ⑤____R ⑥0____N ⑦-1____Z ⑧____R ⑨____ ⑩____ 四.研究集合問題，一定要抓住集合中的代表元素，不要混淆數(shù)集和點集。如：與及表示三個不同的集合，也要注意、、、的區(qū)別。 已知，，求。 （答案：） 五.不含任何元素的集合叫空集，常見的形式有： ①方程無解，如： ②不等式無解，如， ③不符合事實，如 集合，，，滿足 ，求實數(shù)的值。（答案：－2） 六.集合的三種運算： ①交集：，即取公共部分。當(dāng)需滿足多個條件時，列出不等式組（或方程組），結(jié)果則取交集。 ②并集：，把元素合在一起，注意重復(fù)的元素只算一次。 當(dāng)有多種情況時，需分類討論，結(jié)果則取并集。 注：單調(diào)區(qū)間有多個時，不能用并，要用“和”或“，”。分段函數(shù)的定義域應(yīng)取并集。 ③補集： 運算往往會涉及一元二次方程、一元一次不等式、一元二次不等式的解法，除此之外，也可能有絕對值不等式、分式不等式、無理不等式、指數(shù)不等式、對數(shù)不等式（見后面補充）?？吹讲坏仁?，在實數(shù)范圍內(nèi)不要只想到整數(shù)，還有分?jǐn)?shù)、無理數(shù)、負數(shù)等等?？吹讲坏仁揭嫈?shù)軸，借助數(shù)軸解題，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想。 已知，求 （答案： ） 七．運算性質(zhì)： ① ② ③ ④, ⑤ ⑥ ， 八、子集、真子集、非空真子集的個數(shù)問題，你會數(shù)嗎？ ①空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 ②若集合A含有n個元素，則集合A的所有子集的個數(shù)為，所有真子集的個數(shù)為所有； 所有非空真子集的個數(shù)為。 已知集合A滿足，求集合A的個數(shù). （答案：7） 第一章:集合大題： 1.集合相等：注意分類討論和檢驗元素的互異性。 設(shè)集合，且A=B，求實數(shù)的值。（答案：） 2. ，注意空集問題、分類討論、方程問題、結(jié)果交并問題。 已知，若，求的值 （答案：） 注意：方程不一定是一元一次方程，同理方程不一定是一元二次方程。 3. 數(shù)形結(jié)合，包含關(guān)系，端點值取等號問題、結(jié)果交并問題。 已知， ①若，求實數(shù)的取值范圍。（答案：） ② 若，求實數(shù)的取值范圍。（答案：） 思考：若，求實數(shù)的取值范圍。（補集思想，答案：） ③若，求實數(shù)的取值范圍。（答案：） 4.分類討論空集復(fù)雜題，結(jié)果交并問題。 已知， ①若，求實數(shù)的取值范圍。（答案：） ② 若，求實數(shù)的取值范圍。（答案：） ③若，求實數(shù)的取值范圍。（答案：） 5.補集思想：正難則反 ⑴已知，其中至少有一個集合不是空集，求實數(shù)的取值范圍。（答案：） ⑵已知至多有一個元素，求實數(shù)的取值范圍。（答案：） 注意：方程方程不一定是一元二次方程，同理不一定是一元一次方程。 說明：取值范圍，結(jié)果可以寫成不等式，但是最好寫成區(qū)間的形式，以免出錯。 數(shù)學(xué)必修一復(fù)習(xí)詳細資料及例題 第二章 函數(shù) （簡單的說：重點是圖象與性質(zhì)；不簡單的說，全是重點！函數(shù)要優(yōu)先考慮定義域，解題時你考慮到了嗎？？？） 一.函數(shù)的定義：①是非空的數(shù)集②A中任意一個在B中有對應(yīng)③B中對應(yīng)的惟一。 你會判斷函數(shù)嗎？如：和。你知道函數(shù)的三要素嗎？你會判斷兩個函數(shù)相等嗎？（題略）你知道值域與B之間的關(guān)系嗎？ 二、求函數(shù)的解析式： 求函數(shù)解析式的方法：待定系數(shù)法、換元法、配湊法、方程組法、賦值法、區(qū)間轉(zhuǎn)移法。 1.一次函數(shù)滿足，求 （答案：或） 2.二次函數(shù)滿足，求（答案：） 3.已知，求 （答案：） 4.已知，求 （答案：） 5.已知，求 （答案：） 6.已知函，求 （答案：） 7.設(shè)是R上的函數(shù)，且滿足f(0)=1，并且對任意實數(shù) 都有,求的表達式。 （答案：） 8.已知函數(shù)対任意的實數(shù),都有,且f(1)=1,若,試求的表達式。（答案：） 9.若函數(shù)是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時, 。 求(1)當(dāng)時,的解析式（答案：） (2)當(dāng)時,的解析式（答案：） 注意：函數(shù)要優(yōu)先考慮定義域，求函數(shù)的解析式時，你帶上定義域了嗎？？？ 三、求函數(shù)值，你真的學(xué)會了嗎？ 1.已知， 你會計算嗎？ 2.已知，則＿＿＿（答案：） 3.（答案：10） 4.（答案： ） 5.（答案： ） 6. （答案：6 ） 7.（答案：1） 8.（答案：1） 9.（答案：1） 10.（答案：2） 11.（答案：1） 12.（答案：3） 13.（答案：55） 14.（答案：24） 15.已知（1），試用表示；（答案： ） （2），試用表示；（答案： ） 四、有關(guān)計算的運算公式： 1.整數(shù)指數(shù)冪的運算（也適用實數(shù)） ①同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。 ②冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。 ③積的乘方等于乘方的積。 2.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運算 ① ②負分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的倒數(shù)。 ③推論：，即指數(shù)互為相反數(shù)，底數(shù)互為倒數(shù)。 1的任何次冪都等于1 （√） 0的任何次冪都等于0 （） 3.對數(shù)的基本性質(zhì)和運算性質(zhì) ⑴指、對互化： ⑵對數(shù)恒等式： ⑶對數(shù)的基本性質(zhì)： ⑷對數(shù)的運算性質(zhì)： ①真數(shù)相乘，對數(shù)相加。 ②真數(shù)相除，對數(shù)相減。 ③冪的對數(shù)等于底數(shù)的對數(shù)的冪指數(shù)倍。 推論： ⑸對數(shù)的換底公式： 推論：① 推論：② 推論：③ 推論：④ 五、求函數(shù)的定義域（解不等式組） (1)分式的分母不等于零 (2)偶次方根的被開方數(shù)大于或等于零 (3)對數(shù)式的真數(shù)必須大于零 (4)指數(shù)、對數(shù)的底數(shù)必須大于零且不等1. (5)指數(shù)為零的底數(shù)不可以等于零，即無意義 注：若需滿足多個條件，則列成不等式組，結(jié)果取交集。 求下列函數(shù)的定義域： (1) （答案： ） (2) （答案： ） 六、求函數(shù)的值域（或最值） 值域是函數(shù) y=f(x)中y的取值范圍構(gòu)成的集合。常用的求值域的方法： （1）直接法：從自變量x的范圍出發(fā)，推出y的取值范圍。適合一看就會的簡單函數(shù)或一次函數(shù)。 1.求函數(shù)的值域（答案：） 2.求函數(shù)的值域（答案：） 3.求函數(shù)的值域（答案：） 4.求函數(shù)的值域（答案：） （2）利用函數(shù)的有界性，如等。 1.求函數(shù)的值域（答案：） 2.求函數(shù)的值域（答案：） （3）函數(shù)單調(diào)性法：適合單一單調(diào)性的函數(shù)。 1.求函數(shù)的值域（答案：） 2.求函數(shù)的值域（答案：） 3.求函數(shù)的值域（答案：） （4）圖象法（數(shù)形結(jié)合）：投影到y(tǒng)軸。適合熟悉的、學(xué)過的、掌握的函數(shù)。1.求分段函數(shù)在區(qū)間的值域（答案：） 2.求函數(shù)在區(qū)間的值域（答案：） （5）配方法：用于一元二次函數(shù)。 1.求函數(shù)的值域（答案：） 2.求函數(shù)的值域（答案：） 3.求函數(shù)的值域（答案：） （6）換元法 （把不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，一般化為一元二次函數(shù)） 1.求函數(shù)的值域（答案：） 2.求函數(shù)的值域（答案：） （7）分離常數(shù)法：用于分子、分母同次的分式。 1.求函數(shù)的值域（答案：） 2.求函數(shù)的值域（答案：） 七、函數(shù)奇偶性的證明和性質(zhì) 1.⑴奇函數(shù)的性質(zhì)：①定義域關(guān)于原點對稱②滿足f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0，③圖象關(guān)于原點對稱④關(guān)于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性一致⑤如果奇函數(shù)在x=0上有定義，那么必有f(0)=0。 ⑵偶函數(shù)的性質(zhì)：①定義域關(guān)于原點對稱②滿足f(-x)=f(x)=f(|x|)或f(-x)-f(x)=0，③圖象關(guān)于于y軸對稱④關(guān)于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相反。⑶如果一個函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，那么有f(x)=0，且定義域關(guān)于原點對稱。 2.⑴判斷函數(shù)奇偶性的方法：圖像法。若函數(shù)象關(guān)于原點對稱，則它是奇函數(shù)；若函數(shù)象關(guān)于y軸對稱，則它是偶函數(shù)；此法只適合做選擇、填空題。 ⑵證明函數(shù)奇偶性的方法：定義法。做大題必須用此法。它的一般步驟是： 第一步：求函數(shù)定義域，若定義域不關(guān)于原點對稱，直接就可以說函數(shù)為非奇非偶函數(shù)。若定義域關(guān)于原點對稱，則進行第二步。 第二步：看f(-x)其與f(x)的關(guān)系。若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0，則函數(shù)為奇函數(shù)；若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0，則函數(shù)為偶函數(shù)。 注意：函數(shù)要優(yōu)先考慮定義域，解題時你還記得嗎？？？ 3.運算性質(zhì)法. 奇奇=奇； 偶偶=偶； 奇偶=非奇非偶； 奇（）奇=偶； 偶（）偶=偶；奇（）偶=奇； 已知是偶函數(shù)，其定義域為，則＿＿，＿＿。 （答案：，） 八、函數(shù)單調(diào)性的證明和性質(zhì) 1.⑴判斷函數(shù)單調(diào)性的方法：圖像法。根據(jù)函數(shù)圖像的上升或下降判斷函數(shù)的單調(diào)性。只適合做選擇、填空題。 ⑵證明函數(shù)單調(diào)性的方法：定義法。做大題必須用此法。它的一般步驟是：①取值，設(shè) 且 ；②作差，求 ；③變形（合并同類項、通分、分解因式、配方等）向有利于判斷差值符號的方向變形；④定號，判斷符號， 當(dāng)符號不確定時，應(yīng)分類討論； ⑤下結(jié)論，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義下結(jié)論。 ⑶注意：①單調(diào)性一定要指明在哪個單調(diào)區(qū)間②有多個相同的單調(diào)區(qū)間時，中間不能用“”，只能用“和”或“，”。 2.運算性質(zhì)法. ①在公共定義域內(nèi)，兩個增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個減函數(shù)的和是減函數(shù)， 增函數(shù)減去一個減函數(shù)為增函數(shù)，減函數(shù)減去一個增函數(shù)為減函數(shù)． （增+增=增； 減+減=減；增-減=增，減-增=減） 3. 復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：同增異減。（步驟：①求函數(shù)的定義域；②分解復(fù)合函數(shù)；③判斷內(nèi)、外層函數(shù) 的單調(diào)性；④根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性“同增異減”來確定函數(shù)的單調(diào)性。 函數(shù) 的遞增區(qū)間是＿＿＿，遞減區(qū)間是＿＿＿。 （答案：遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是。） 函數(shù) 的遞增區(qū)間是＿＿＿，遞減區(qū)間是＿＿＿。 （答案：遞增區(qū)間是 ，遞減區(qū)間是。） 注意：符合函數(shù)的單調(diào)性要特別注意優(yōu)先考慮定義域，解題時你還記得嗎？？？ （1） 整式型： 1.證明 在區(qū)間上是減函數(shù)。 2.證明 在區(qū)間上是減函數(shù)。 （2）分式型： 1.證明 在區(qū)間上是增函數(shù)。 2.證明 在區(qū)間上是增函數(shù)。 （3）根式型： 1.證明 在區(qū)間上是增函數(shù)。 2.證明 在區(qū)間上是增函數(shù)。 九、比較大小的幾種常用方法：數(shù)軸法、作差法、作商法、中介值法、單調(diào)性法（包括絕對值法、平方法等） (1)數(shù)軸法:在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。 (2)作差法:設(shè)a，b是實數(shù)， (3)作商法: (4)中介值: (5)單調(diào)性法： (6)絕對值法:設(shè)a，b是兩負實數(shù)， (7)平方法:設(shè)a、b是兩負實數(shù)，則 ①＿＿②＿＿1③＿＿④＿＿（答案：<,<,<,<）⑤＿＿⑥＿＿⑦＿＿（答案：>,>,>） ⑧＿＿（答案：≤） 十、定點問題:, 1.指數(shù)型函數(shù)經(jīng)過定點＿＿＿＿。（答案： ） 指數(shù)型函數(shù)經(jīng)過定點＿＿＿＿。（答案： ） 2.對數(shù)型函數(shù)經(jīng)過定點＿＿＿＿。（答案： ） 對數(shù)型函數(shù)經(jīng)過定點＿＿＿＿。（答案： ） 十一、圖象平移與翻折變換知識 1.圖象的平移知識： (1)水平平移:x在變化。簡記:左加右減。 要由函數(shù)y=f(x)的圖象得到函數(shù)y=f(x+a)的圖象，只要將f(x)的圖象向左平移a個單位。要由函數(shù)y=f(x)的圖象得到函數(shù)y=f(x-a)的圖象，只要將f(x)的圖象向右平移a個單位。(這里的a>0) (2)上下平移:y在變化。簡記:上加下減。 要由函數(shù)y=f(x)的圖象得到函數(shù)y=f(x)+a的圖象，只要將f(x)的圖象向上平移a個單位。要由函數(shù)y=f(x)的圖象得到函數(shù)y=f(x)-a的圖象，只要將f(x)的圖象向下平移a個單位。(這里的a>0) 如何由的圖象得到的圖象？ 如何由的圖象得到的圖象？ 2. 圖象的換翻折變： (1)翻折變換 如何由y=f(x)的圖象得到的圖象?先畫出函數(shù)y=f(x)的圖象,再將x軸下方的圖象以x軸為對稱軸翻折到x軸上方。(簡記: 上不動，下上翻) (2) 對稱變換 如何由y=f(x)的圖象得到y(tǒng)=f()的圖象?先畫出函數(shù)y=f(x)在y軸右側(cè)的圖象，再作出關(guān)于y軸對稱的圖形。 (簡記:右不動，左對稱) 1.如何由的圖象得到和的圖象？ 2.如何由的圖象得到和的圖象？ 十二、畫熟悉函數(shù)的圖象（重點畫一元二次函數(shù)和分段函數(shù)的圖象） 熟悉函數(shù)指課本專門介紹學(xué)習(xí)了的反比例、正比例、一次函數(shù)、一元二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)。其中初高銜接的一元二次函數(shù)的圖象尤其重要，應(yīng)重點掌握。二次函數(shù)圖象的畫法： （1）確定開口方向：當(dāng)時，開口向上，當(dāng)時，開口向下； （2）確定對稱軸：對稱軸方程為； （3）確定圖象與x軸的交點情況，①若△>0則與x軸有兩個交點，可由方程求出②若△=0則與x軸有一個交點，可由方程求出③若△<0則與x軸有無交點。 （4）確定圖象與y軸的交點,令x=0得出y=c，所以交點坐標(biāo)為（0，c） （5）由以上各要素作出草圖。（一定要光滑，可多次修改定稿） 5.練習(xí)：作出以下二次函數(shù)的草圖 （1） (2) (3) 另：二次函數(shù)的三種表示形式： ①一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； ②頂點式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中頂點坐標(biāo)是(－h(huán)，k)=． ③交點式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)，即方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的兩個根。 十三、畫不熟悉函數(shù)的圖象（課本以指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)為例） 1.把不熟悉的函數(shù)轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)，再根據(jù)圖象平移與翻折變換知識得到該函數(shù)圖象。例如： ，它的圖象可由的圖象得到。 2.一般方法：列表——取值——描點——連線——成圖。由于函數(shù)的圖象與性質(zhì)相輔相成，畫函數(shù)的圖象往往結(jié)合函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、最值等性質(zhì)，這樣更有助于畫圖。 十四、根據(jù)函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)。（課本以指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)為例） （1）定義域（2）值域（3）最值（4）奇偶性（5）單調(diào)性（6）特殊點 幾個經(jīng)典的函數(shù)： 1. （模型：） 2. （模型：） 3. （模型：） 十五、各類簡單的不等式的解法。 1.解一元一次不等式： ⑴16-3(x+1)＞24+2(x-3) ⑵ 解：16-3(x+1)＞24+2(x-3) 解： 16-3x-3＞24+2x-6 7(2x+1)-9x≤18 -3x-2x＞24-6-16+3 14x+7-9x≤18 -5x＞5 5x≤11 ∴x＜-1 ∴ 小結(jié)：一元一次不等式的解法與一元一次方程的解法在一般步驟上有相同之處，可分為①去分母②去括號③移項④合并同類項⑤將未知數(shù)的系數(shù)化為1；不同的是第⑤步，系數(shù)是正數(shù)，不等式不改變方向；系數(shù)是負數(shù)，不等式改變方向． 2.解一元二次不等式：（分解因式法、圖像法） （1） （2） 解： 解： ∴ ∴ 利用一元二次函數(shù)的圖像解下列一元二次不等式： ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ 小結(jié)： 1. 一元二次不等式或，當(dāng)且時，可用分解因式法。不等式大于號,兩根之外；不等式小于號,兩根之間。若，不等式兩邊同時乘以-1可轉(zhuǎn)化，但要注意不等式改變方向。 2.一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系 判別式 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函數(shù) y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的圖象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有兩相異實根 x1，x2(x1＜x2) 有兩相等實根 沒有實數(shù)根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 R ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 ? ? 3.解一元分式不等式： (1) (2) (3) (4) 小結(jié)：分式不等式的四種等價變形：(除法化乘法，分式化整式) ① ② ③ ④ 4.解絕對值不等式：（平方法、分類討論法） (1) (2) (3) (4) 解(3)原不等式等價于不等式組 解(4)原不等式等價于不等式組 ∴原不等式的解集為 ∴原不等式的解集為 小結(jié)：① ② 解含絕對值的不等式，關(guān)鍵是要把它化為不含絕對值的不等式，通過平方法、分類討論法，把不等式等價轉(zhuǎn)化為不等式組，變成求不等式組的解． 5. 解無理不等式：（平方法） (1) (2) (3) (4) 小結(jié)：無理不等式通過兩邊平方法，轉(zhuǎn)化為有理不等式，要注意平方的條件和根式有意義的條件，一般情況下： ① ② ③④ 6.解指數(shù)不等式 ⑴ ⑵ ⑶ 小結(jié)：解指數(shù)不等式要根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性把底數(shù)去掉，具體如下： 7.解對數(shù)不等式 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ 小結(jié)：解對數(shù)不等式要根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性把對數(shù)符號去掉，但要注意函數(shù)的定義域，具體如下： 1. 2. 不等式解法練習(xí) 一、一元二次不等式的解法： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 二、分式不等式： ① ② ③ ④ 3、 根式不等式： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 四、高次不等式 ① ② ③ ④ 五、指數(shù)、對數(shù)不等式 ① （答案：） ② （答案：） ③ （答案：） ④ （答案：） ⑤（答案：） ⑥ （答案：）