第五節(jié)空間幾何體的表面積與體積 1 旋轉(zhuǎn)體的表面積 答案 C 答案 B 答案 D 4 一個(gè)幾何體的三視圖如圖 則這個(gè)幾何體的體積為 解析 由三視圖可得該幾何體的直觀圖 該幾何體是一個(gè)底面為直角三角形且兩直角邊分別為1cm 2cm 高為2cm的三棱柱 該幾何體的體積為 1 2 2 2 cm3 答案 2cm3 5 將一棱長為6cm的正方體木塊加工成一個(gè)體積最大的木球 這個(gè)球的體積為 解析 由題意可知該球是正方體的內(nèi)切球 球直徑與正方體的棱長相等 球半徑r 3cm 球體積為 36 cm3 答案 36 cm3 2008年山東高考改編 如圖是一個(gè)幾何體的三視圖 根據(jù)圖中數(shù)據(jù) 可得該幾何體的表面積是 自主探究 由三視圖可知 該幾何體是由一個(gè)球和圓柱組合而成的幾何體 球的直徑為2 圓柱的底面直徑為2 高為3 則S球 4 R2 4 S圓柱 2 rh 2 r2 2 1 3 2 8 幾何體的表面積為S 4 8 12 答案 12 方法點(diǎn)評(píng) 1 高考中對(duì)幾何體的表面積的考查一般在客觀題中 借以考查空間想象能力和運(yùn)算能力 只要正確把握幾何體的結(jié)構(gòu) 準(zhǔn)確應(yīng)用面積公式 就可以順利解決 2 多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和 圓柱 圓錐 圓臺(tái)的側(cè)面是曲面 計(jì)算側(cè)面積時(shí)需要將這個(gè)曲面展為平面圖形計(jì)算 而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和 3 組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理 1 已知圓臺(tái)的母線長為4cm 母線與軸的夾角為30 上底面半徑是下底面半徑的 求這個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面積 解析 如圖是將圓臺(tái)還原為圓錐后的軸截面 由題意知AC 4cm ASO 30 O1C 設(shè)O1C r 則OA 2r SC 2r SA 4r AC SA SC 2r 4cm r 2cm 所以圓臺(tái)的側(cè)面積為S r 2r 4 24 cm2 如圖 在三角形ABC中 若AC 3 BC 4 AB 5 以AB所在直線為軸 將此三角形旋轉(zhuǎn)一周 求所得旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積 思路點(diǎn)撥 先通過想象確定旋轉(zhuǎn)體的形狀 再求幾何體的表面積和體積 自主探究 如圖 所得旋轉(zhuǎn)體是兩個(gè)底面重合的圓錐 高的和為AB 5 底面半徑等于CO 所得旋轉(zhuǎn)體的表面積為 方法點(diǎn)評(píng) 求解旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積時(shí) 首先要弄清楚它的結(jié)構(gòu) 再通過軸截面分析和解決問題 2 如右圖所示 扇形中心角為90 其所在圓的半徑為R 弦AB將扇形分成兩個(gè)部分 這兩部分各以AO為軸旋轉(zhuǎn)一周 所得的旋轉(zhuǎn)體體積V1和V2之比為 A 1 1B 1 C 1 2D 1 解析 Rt AOB繞OA旋轉(zhuǎn)一周形成圓錐 其體積V1 R3 扇形繞OA旋轉(zhuǎn)一周形成半球 其體積V R3 V2 V V1 R3 R3 R3 V1 V2 1 1 有一根長為3 cm 底面半徑為1cm的圓柱形鐵管 用一段鐵絲在鐵管上纏繞2圈 并使鐵絲的兩個(gè)端點(diǎn)落在圓柱的同一母線的兩端 則鐵絲的最短長度為多少 思路點(diǎn)撥 把圓柱沿這條母線展開 將問題轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)間的最短距離 自主探究 把圓柱側(cè)面及纏繞其上的鐵絲展開 在平面上得到矩形ABCD 如圖 由題意知BC 3 cm AB 4 cm 點(diǎn)A與點(diǎn)C分別是鐵絲的起 止位置 故線段AC的長度即為鐵絲的最短長度 AC 5 cm 故鐵絲的最短長度為5 cm 方法點(diǎn)評(píng) 1 幾何體的表面積 除球以外 都是利用展開圖求得的 利用了空間問題平面化的思想 把一個(gè)平面圖形折疊成一個(gè)幾何體 再研究其性質(zhì) 是考查空間想象能力的常用方法 所以幾何體的展開與折疊是高考的一個(gè)熱點(diǎn) 2 幾何體的展開圖 1 多面體的展開圖 直棱柱的側(cè)面展開圖是矩形 正棱錐的側(cè)面展開圖是由一些全等的等腰三角形拼成的 底面是正多邊形 正棱臺(tái)的側(cè)面展開圖是由一些全等的等腰梯形拼成的 底面是正多邊形 2 旋轉(zhuǎn)體的展開圖 圓柱的側(cè)面展開圖是矩形 矩形的長是底面圓周長 寬是圓柱的母線長 圓錐的側(cè)面展開圖是扇形 扇形的半徑是圓錐的母線長 弧長是圓錐的底面周長 圓臺(tái)的側(cè)面展開圖是扇環(huán) 扇環(huán)的上 下弧長分別為圓臺(tái)的上 下底面周長 3 把長 寬分別為4 cm 3 cm的矩形卷成圓柱 如何卷體積最大 解析 以3 cm為高時(shí) 圓柱的體積為 2 3 12 2 cm3 以4 cm為高時(shí) 圓柱的體積為 2 4 9 2 cm3 所以 以4 cm為底面周長 以3 cm為高時(shí) 卷成的圓柱體積最大 1 2009年遼寧高考 正六棱錐P ABCDEF中 G為PB的中點(diǎn) 則三棱錐D GAC與三棱錐P GAC體積之比為 A 1 1B 1 2C 2 1D 3 2 解析 G為PB中點(diǎn) VP GAC VP ABC VG ABC 2VG ABC VG ABC VG ABC 又多邊形ABCDEF是正六邊形 S ABC S ACD VD GAC VG ACD 2VG ABC VD GAC VP GAC 2 1 答案 C 2 2009年陜西高考 若正方體的棱長為 則以該正方體各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的凸多面體的體積為 A B C D 解析 所求八面體體積是兩個(gè)底面邊長為1 高為的四棱錐的體積和 一個(gè)四棱錐體積故八面體的體積V 2V1 選B 答案 B 3 2009年遼寧高考 設(shè)某幾何體的三視圖如下 尺寸的長度單位為m 則該幾何體的體積為 m3 解析 由三視圖知 三棱錐的高為側(cè)視圖中直角三角形的豎直邊 底面三角形一邊上的高恰為左視圖中直角三角形的水平邊 V 2 3 4 4 m3 答案 4 4 2009年浙江高考 若某幾何體的三視圖 單位 cm 如圖所示 則此幾何體的體積是 cm3 解析 由三視圖可知此幾何體是由兩塊長 寬均為3cm 高為1cm的長方體構(gòu)成 故其體積為2 3 3 1 18 cm3 答案 18 1 棱柱 棱錐 棱臺(tái)是不同的多面體 但它們也有聯(lián)系 棱柱可以看成是上 下底面全等的棱臺(tái) 棱錐又可以看作是一底面縮為一點(diǎn)的棱臺(tái) 因此它們的側(cè)面積和體積公式可分別統(tǒng)一為一個(gè)公式 1 圓臺(tái)的側(cè)面積公式與圓柱及圓錐的側(cè)面積公式之間的變化關(guān)系 2 柱體 錐體 臺(tái)體的體積公式之間存在的關(guān)系 2 空間內(nèi)何體的表面積即為全面積 注意側(cè)面展開圖的面積計(jì)算 正棱柱 正三棱錐和正三棱臺(tái)的側(cè)面展開圖一定要熟記在心 如下面的示意圖 3 相同幾何體的體積相等 但體積相等的幾何體不一定相同 4 有關(guān)旋轉(zhuǎn)體的問題或球與多面體的切接問題 要特別注意應(yīng)用軸截面 5 對(duì)于復(fù)雜的幾何體可以分割成簡單幾何體的組合體 也可以用補(bǔ)形法解決幾何體的體積問題 即可以用割補(bǔ)法和等積變換法求幾何體的體積 課時(shí)作業(yè)點(diǎn)擊進(jìn)入鏈接 課時(shí)作業(yè)點(diǎn)擊進(jìn)入鏈接