中檔題保分練（二）n1. （2018臨沂模擬）在厶ABC中，已知B = 4，cos C=誇.求BC;設D是AB邊中點，求CD.解析：（1）°Cos C= 255且 ovcv n -'sin C =習.n'A+ B+ C= n,B = 4,'sin A= si n(B+ C)= sin Bcos C+ cos Bsin C =自等+予貴3i0o.在ABC中，由正弦定理得:BC = ACsin A= sin B，'BC =ACsin A sin B =3 2. 1 -D 為 AB 邊中點，-CD = 2（CA+ CB），-CDf = 1(CA+ CB)2= 13，即卩 CD= 13.2. （2018惠州模擬）如圖，在四棱錐 S-ABCD中，AB/ CD，BC丄CD，側面SAB為等邊三角形，AB= BC = 2，CD = SD= 1.（1）證明：SD丄平面SAB;求AB與平面SBC所成的角的正弦值.解析：（1）證明：取AB的中點E，連接DE，SE, 則四邊形BCDE為矩形, 所以 DE = CB = 2,所以 AD = - ；DE2 + AE2= 5,因為側面SAB為等邊三角形，AB= 2,所以 SA= SB= AB= 2,且 SE= 3,又因為SD= 1,所以 SA2 + SD2= AD2, SE2+ SD2= ED2,所以 SD1SA, SD1SE又 SAG SE= S,所以SD丄平面SAB.r:(2)過點S作SGJDE于點G,因為 AB ISE, ABIDE, SEA DE = E, 所以AB丄平面SDE.又AB?平面ABCD,由平面與平面垂直的性質，知SG丄平面ABCD,在 RteSE 中，由 SDSE= DE SG,得 1 X ,3= 2SG,所以SG3-過點A作AH丄平面SBC于H，連接BH , 則ZABH即為AB與平面SBC所成的角， 因為CD /AB, AB丄平面SDE, 所以CD丄平面SDE, 又SD?平面SDE,所以 CD _LSD.在 Rt:DS 中，由 CD = SD= 1,求得SC= . 2.在SBC 中，SB= BC = 2, SC= 2, 1所以 Szsbc= qX _2x由 Va-sbc= Vs-abc ,1 1得§S/sbcAH = §Sbc SG,即 fxfx AH = 3X *x 2X 2X-23,解得ah=¥，所以sinZABH=器=亠尹,故AB與平面SBC所成角的正弦值為.213下圖是某市11月1日至14日的空氣質量指數趨勢圖，空氣質量指數(AQI) 小于100表示空氣質量優(yōu)良，空氣質量指數大于200表示空氣重度污染，某人隨 機選擇11月1日至11月12日中的某一天到達該市，并停留 3天.空吒陋鈕指數(AQI) 映°1234 567 «910 11 1214(1)求此人到達當日空氣重度污染的概率；設Z是此人停留期間空氣重度污染的天數，求Z的分布列與數學期望.解析：設Ai表示事件“此人于11月i日到達該市” (i = 1,2,，12).依題意知,P(Ai) =占，且 Ai n Aj = ?(i 豐j).(1)設B為事件“此人到達當日空氣重度污染,貝U B = Ai IA2UA3 UA7UA12,5 所以 P(B) = P(Ai UA2UA3UA7UA12)= P(Ai)+ P(A2)+ P(A3)+ P(A7)+ P(Ai2)= 12.即此人到達當日空氣重度污染的概率為512.由題意可知，Z的所有可能取值為0,1,2,3,P(Z= 0) = P(A4 UA8 UA9) = P(A4)+ P(A8)+ P(A9)= 12 = 4,P(Z= 2)= P(A2UA11)= P(A2)+ P(A11)=務 6,P(Z= 3)= P(A1 UA12)= P(A1)+ P(A12) = 12= 6,1115P(Z= 1)= 1-P(Z= 0)- P(Z= 2)- P( = 3)= 1-4-6-召=12, (或 P( = 1) = P(A3 UA5 UA6 UA7 UA10) = P(A3) + P(A5) + P(A6) + P(A7) + P(A10) = H)所以Z的分布列為Z0123P1511412664將直線I的參數方程化為普通方程，得y= 3(x 2),令y= 0,得x = 2,即點M的坐標為(2,0).又圓C的圓心坐標為(0,2)，半徑r = 2,則|MC| = 2 2,所以|MN|的最大值為|MC|+ r= 2,2 + 2.2 2 2(2)因為圓 C: x + (y a) = a，直線 1: 4x+ 3y 4a= 0,解得a= ±(選修4 5:不等式選講)設a、b、c均為正數并滿足a+ b+ c= 3.(1) 證明：ab+ bc+ ca<3;求、a +2b+ 2 + 3c + 3 的最大值.解析：(1)證明：由 a2 + b2>2ab, b2 + c2>2bc, a2 + c2>2ac,相加可得：a2 + b2 + c2> ab+ bc+ ac.2 2 2 2又 9= (a+ b+ c) = a + b + c + 2ab+ 2bc+ 2ac>3(ab+ bc+ ac), 所以 ab+ bc+ ac< 3.(2) 由柯西不等式得12+ (-2)2+ ( 3)2C，a)2+ C.b+ 1)2+ C. c+ 1)2 > ( .a+ ,；2b + 2+ ,3c+ 3)2,即(a+ '2b + 2+ ；3c+ 3)2< (1 + 2 + 3)(a+ b+ 1 + c+ 1)= 30,523當 a 1 = (b+ 1) 2= (c+ 1) 3 時等號成立，解得：a=, b=3, c= ?,所以"¥'a+，'2b+ 2+'：.；3c+ 3的最大值為,30.15115故 Z的期望 E(Z= 0X4+ 1X12 + 2X+ 3X6=4.4 請在下面兩題中任選一題作答(選修4-4:坐標系與參數方程)已知極點與直角坐標系的原點重合，極軸與x軸的正半軸重合，圓 C的極坐標方程是p= 2asin 9,直線I的參數方程是3x=-5t+ a彳(t為參數).y=4t(1) 若a = 2, M為直線I與x軸的交點，N是圓C上一動點，求|MN|的最大值；(2) 若直線l被圓C截得的弦長為2 6，求a的值.解析：(1)由p1 2 3= 4pin 9得圓C的直角坐標方程為x2 + y2-4y= 0,