在線教務(wù)輔導(dǎo)網(wǎng) 教材其余課件及動(dòng)畫素材請查閱在線教務(wù)輔導(dǎo)網(wǎng) QQ 349134187或者直接輸入下面地址 第四章高級(jí)數(shù)字控制器的分析與設(shè)計(jì) 數(shù)字控制器狀態(tài)變量分析理論基礎(chǔ)數(shù)字控制器狀態(tài)變量設(shè)計(jì)法 對于計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì) 與經(jīng)典方法相比 狀態(tài)變量法有以下的優(yōu)點(diǎn) 1 采用狀態(tài)變量法有利于直接利用計(jì)算機(jī)求解和分析 2 狀態(tài)變量法不但適用于單輸入單輸出系統(tǒng) 也適用于多變量系統(tǒng) 并且在各種情況下系統(tǒng)模型具有統(tǒng)一的形式 3 狀態(tài)變量法還可應(yīng)用于非線性系統(tǒng) 時(shí)變系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì) 4 狀態(tài)變量法有利于采用現(xiàn)代分析的方法 如優(yōu)化方法等實(shí)現(xiàn)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì) 4 1數(shù)字控制器狀態(tài)變量分析理論基礎(chǔ) 4 1 1狀態(tài)空間與狀態(tài)方程 采用適當(dāng)?shù)淖儞Q 可以將上述n階差分方程化成等價(jià)的n個(gè)一階差分方程組成的方程組 采用矩陣符號(hào)可以將后者表示成一個(gè)一階向量矩陣差分方程 從而大大簡化系統(tǒng)方程的數(shù)學(xué)表達(dá)式 利用狀態(tài)變量法的概念 一方面能使工程技術(shù)人員針對給定的性能指標(biāo) 用更一般的輸入代替特定的典型輸入 如脈沖函數(shù) 階躍函數(shù)或正弦函數(shù) 來實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的設(shè)計(jì) 另一方面還可以幫助工程技術(shù)人員在系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)時(shí)考慮系統(tǒng)的初始條件 而這個(gè)特點(diǎn)在經(jīng)典方法中是不具備的 離散時(shí)間系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)可以通過差分方程描述 狀態(tài)變量 在描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的所有變量中 必定可以找到數(shù)目最少的一組變量 它們已經(jīng)足以描述對象的全部運(yùn)動(dòng) 狀態(tài)向量 如果完全描述一個(gè)給定系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為需要n個(gè)狀態(tài)變量 則用這n個(gè)狀態(tài)變量構(gòu)成的列向量x k 就叫做該系統(tǒng)的狀態(tài)向量 狀態(tài)空間 狀態(tài)向量x的所有可能值的集合稱為狀態(tài)空間 狀態(tài)方程 描述系統(tǒng)狀態(tài)變量和系統(tǒng)輸入之間關(guān)系的一階差分方程組稱為狀態(tài)方程 狀態(tài)方程的主要特征是 在全部被控變量中 只選擇一組狀態(tài)變量來列方程 其它被控變量不進(jìn)入方程 狀態(tài)方程必須寫成標(biāo)準(zhǔn)形式 狀態(tài)法的主要概念 線性定常離散時(shí)間系統(tǒng)的狀態(tài)方程描述為 線性狀態(tài)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式是 輸出方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為 對于狀態(tài)空間描述 狀態(tài)方程的形式與所選的狀態(tài)變量有關(guān) 因而不是惟一的 4 4 4 5 4 3 4 2 例4 1設(shè)離散時(shí)間系統(tǒng)由差分方程 描述 試寫出系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程 選取狀態(tài)變量x1 k y k x2 k y k 1 顯然 x1 k 和x2 k 滿足關(guān)系式x1 k 1 x2 k x2 k 1 y k 2 并且x1 k 和x2 k 是一組數(shù)目最少的足以描述系統(tǒng)全部運(yùn)動(dòng)的變量 因此它是系統(tǒng)的一組狀態(tài)變量 可以直觀地寫系統(tǒng)的狀態(tài)方程 和 令 為系統(tǒng)的狀態(tài)向量 則可以將狀態(tài)方程簡寫成 由式 4 4 和式 4 5 可見 系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系被分成兩段進(jìn)行描述 即動(dòng)態(tài)方程的一段 式4 4 描述系統(tǒng)輸入和初始條件引起系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的變化 代數(shù)方程的一段 式4 5 則描述系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)變化引起系統(tǒng)輸出的變化 4 1 2線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程描述 1 差分方程不含輸入函數(shù)的高階差分 1化高階差分方程為狀態(tài)方程 y k n an 1y k n 1 a1y k 1 a0y k bu k 令 4 6 4 7 寫成狀態(tài)方程形式有 4 9 4 8 2 差分方程包含輸入函數(shù)的高階差分 選擇狀態(tài)變量 令 4 10 4 11 為了方便記憶 可寫成 由式 4 10 及式 4 11 可以導(dǎo)出 4 13 寫成狀態(tài)方程描述 有 4 14 4 15 例4 已知離散時(shí)間系統(tǒng)的差分方程描述為 試求它的狀態(tài)方程描述 令 則 所以系統(tǒng)的狀態(tài)方程描述為 2化脈沖傳遞函數(shù)為狀態(tài)方程 設(shè)離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為 引入中間變量x z 使得 可取 4 16 4 19 4 20 4 21 根據(jù)z變換的超前定理 4 23 4 24 例4 已知離散時(shí)間系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù) 試求它的狀態(tài)空間描述 根據(jù)式 4 23 和式 4 24 立即可得出它的狀態(tài)方程描述為 4 1 3離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解 時(shí)域法 由x 0 出發(fā)可得 寫成卷積和的形式有 4 26 4 25 利用輸出方程式 則有系統(tǒng)輸出 特別地 若u 0 則式 4 4 變成齊次狀態(tài)方程 它的解為 稱 為狀態(tài)方程式 4 4 的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 它是滿足條件 4 27 4 28 4 29 4 30 4 31 利用可將式 4 29 重寫為 狀態(tài)方程式重寫成 系統(tǒng)的輸出為 由式上可見 線性離散系統(tǒng)的解由兩項(xiàng)組成 即 零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng) 4 32 4 33 4 34 2頻域法 頻域法的思想是利用z變換求解狀態(tài)方程式 4 4 對方程式 4 4 兩邊進(jìn)行z變換得 由上式可解得 兩邊取z反變換可得 4 35 4 36 4 37 而系統(tǒng)輸出z的變換 從而 有式4 39 4 38 4 39 對于齊次狀態(tài)方程式 4 28 有 根據(jù)上式可以計(jì)算出狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 x k Akx 0 本節(jié)所討論的離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解 是指它的封閉形式的解 而對計(jì)算機(jī)求解而言 根據(jù)系統(tǒng)的初始條件和輸入 利用狀態(tài)方程式本身 就可以迭代地求出系統(tǒng)各時(shí)刻的狀態(tài)值 這也是離散系統(tǒng)狀態(tài)方程描述的優(yōu)點(diǎn)之一 比較式 4 40 和式 4 29 可得 4 40 4 41 4 42 例4 4已知離散系統(tǒng)狀態(tài)方程 給定 以及 試分別用時(shí)域法和頻域法求解x k 用時(shí)域法求解以上狀態(tài)方程 必須先求得系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Ak 由式 4 42 利用公式 4 26 可計(jì)算出x k 用頻域法計(jì)算 首先 我們有 已知u k 1 k 0 1 所以 它的z變換 則 于是 因此 由例4 4可見 采用頻域法求離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解 一般來說比時(shí)域法要簡單一些 4 1 4離散系統(tǒng)狀態(tài)方程與脈沖傳遞函數(shù)的關(guān)系 如果系統(tǒng)有多個(gè)輸入量 多個(gè)輸出量 每個(gè)輸入量和每個(gè)輸出量之間的關(guān)系都可以用脈沖傳遞函數(shù)描述 這樣就產(chǎn)生了脈沖傳遞函數(shù)矩陣的概念 4 43 4 44 系統(tǒng)的狀態(tài)方程分別作z變換 由式 得 4 46 4 47 4 48 因?yàn)槊}沖傳遞函數(shù)的定義要求初始條件為零 即x 0 0 有 和 與4 50比較得系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)矩陣 在線性代數(shù)中 我們知道 zI一A 的逆矩陣可寫成 其中 det zI一A 表示 zI一A 的行列式 adj zI一A 表示 zI一A 的伴隨矩陣 4 49 4 50 4 51 代人式 4 51 中可得 脈沖傳遞函數(shù)矩陣G z 所對應(yīng)系統(tǒng)的特征方程 4 52 4 53 例4 5離散系統(tǒng)狀態(tài)方程表達(dá)式 其中 試求系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)矩陣 因?yàn)?所以 4 1 5能控性與能觀測性 在狀態(tài)空間的描述中 除了輸入量和輸出量外 還引入了描述系統(tǒng)內(nèi)部運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的狀態(tài)向量 把狀態(tài)向量看作系統(tǒng)的被控制量 就產(chǎn)生了狀態(tài)能否被輸入量所控制和能否由輸出量觀測出來的問題 一個(gè)實(shí)際系統(tǒng)的能控性 能觀測性有四種可能的組合 能控能觀測 不能控不能觀測 能控不能觀測 不能控能觀測 能控性和能觀測性從狀態(tài)的控制能力和狀態(tài)的測辨能力兩個(gè)方面揭示了控制系統(tǒng)構(gòu)成的基本問題 克服了經(jīng)典方法的局限性 能控性和能觀測性粗略地說來 是指一個(gè)系統(tǒng)的工作狀態(tài)能否得到控制和能否通過輸出和輸入變量而唯一確定的性質(zhì) 1能控性 對于狀態(tài)方程式所描述的n階系統(tǒng) 如果能找到有界整數(shù)k個(gè)有限輸入序列u 0 u 1 u k一1 使系統(tǒng)從初始狀態(tài)x 0 到達(dá)任一終態(tài)x n xf 則稱式所示系統(tǒng)為狀態(tài)x 0 能控的 如果系統(tǒng)對任意初始狀態(tài)都能控 則稱系統(tǒng)為狀態(tài)完全能控 或稱 A B 為狀態(tài)完全能控的 簡稱系統(tǒng)具有能控性 能達(dá)性定義 若在有限個(gè)采樣周期內(nèi) 存在著適當(dāng)?shù)目刂菩蛄?使得系統(tǒng)能由任意初始狀態(tài)達(dá)到另一個(gè)任意指定的終點(diǎn) 則稱系統(tǒng)為完全能達(dá)的 能控性定義 若在有限個(gè)采樣周期內(nèi) 存在著適當(dāng)?shù)目刂菩蛄?使得系統(tǒng)能由任意初始狀態(tài)達(dá)到原點(diǎn) 則稱系統(tǒng)為完全能控的 按上述定義 若系統(tǒng)為完全能達(dá)的 則它一定是完全能控的 將能達(dá)性定義中具有任意指定的終點(diǎn)指定為原點(diǎn)即為能控性 但是 反過來能控的系統(tǒng)不一定是能達(dá)的 只有當(dāng)狀態(tài)方程中的系統(tǒng)矩陣A是非奇異的時(shí)候 系統(tǒng)的能控性才等價(jià)于能達(dá)性 設(shè)式所示的系統(tǒng)階次為n 系統(tǒng)的初始狀態(tài)為x 0 則在u k 的作用下 根據(jù)式 4 26 有 寫成矩陣形式 有 4 54 4 55 稱Wc為系統(tǒng)能控性矩陣 存在控制序列將系統(tǒng)由x 0 轉(zhuǎn)移到任意終點(diǎn)x n 等價(jià)于上述方程中當(dāng)左邊x n 取任意值時(shí) 都能存在解 顯然 滿足該條件的充分必要條件是 對于n階系統(tǒng) 若它對應(yīng)的系統(tǒng)能控性矩陣Wc的秩為n 則可以經(jīng)過n個(gè)采樣周期后 由初始狀態(tài)x 0 在控制序列u k k 0 1 n一1的作用下 達(dá)到任意的終點(diǎn) 4 56 4 57 反過來 對于n階線性定常離散系統(tǒng) 若它不能在控制序列作用下由x 0 出發(fā) 經(jīng)過n個(gè)采樣周期后到達(dá)任意終點(diǎn) 則它在大于n個(gè)采樣周期后也不能到達(dá)該終點(diǎn) 這是因?yàn)?若取 n 1 個(gè)采樣周期 則有 即 根據(jù)Cayley Halmiton定理 存在 其中是A的特征多項(xiàng)式的系數(shù) 可得 即 由此可得 AnB的各列是 中各列的線性組合 從而有 顯然 若不存在控制序列 將系統(tǒng)由x 0 轉(zhuǎn)移到x n xf 則也不存在序列將系統(tǒng)由x 0 轉(zhuǎn)移到 總結(jié)以上討論 我們得到以下的結(jié)論 線性定常離散時(shí)間系統(tǒng) 或稱系統(tǒng) A B 為完全可控的充要條件是式成立 即能控性矩陣Wc為行滿秩 例4 6已知系統(tǒng)狀態(tài)方程式x k 1 Ax k Bu k 當(dāng)A B分別為以下值時(shí) 判定系統(tǒng) A B 的能控性 1 若 則 因?yàn)閞ankWc 2 系統(tǒng)能控 2 若 rankWc 1 2 系統(tǒng)不能控 則 2能觀測性 對于狀態(tài)方程式 4 4 和式 4 5 所描述的線性定常離散系統(tǒng) 如果根據(jù)在有限采樣周期內(nèi)的輸出量y k k 0 1 q 其中q 可以唯一確定系統(tǒng)的任意初態(tài)x 0 則稱系統(tǒng)為狀態(tài)完全能觀測的或稱系統(tǒng)具有能觀測性 為系統(tǒng) A C 系統(tǒng)的能觀測性是討論系統(tǒng)的輸出y k 和狀態(tài)變量x k 的聯(lián)系問題 和輸入u k 無關(guān) 因此 可以不考慮輸人信號(hào) 即可令u k 0 從而可以只研究下面的狀態(tài)方程和輸出方程 4 58 4 59 根據(jù)式 4 58 和式 4 59 可得 用矩陣表示為 4 60 W0稱為系統(tǒng)的能觀測性矩陣 線性定常離散時(shí)間系統(tǒng) A C 狀態(tài)完全能觀測的充要條件是能觀測性矩陣W0為列滿秩 顯然 對于n階系統(tǒng) 觀測其n個(gè)輸出向量 能確定其初始狀態(tài)x 0 的充要條件是 設(shè) 4 61 4 62 例4 7設(shè)離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程描述如式 4 58 和式 4 59 所示 其中 試求系統(tǒng)的能觀測性 故 系統(tǒng)為完全可觀測的 在例題計(jì)算過程中 我們可以知道 對于多輸出系統(tǒng) 如已經(jīng)計(jì)算出某一q n使得 即可判定系統(tǒng)的能觀測性 沒有必要繼續(xù)計(jì)算下去 3對偶原理 S1和S2稱為互相對偶的系統(tǒng) 系統(tǒng)S1 系統(tǒng)S2 對偶原理 S1的能控性等價(jià)于S2的能觀測性 S1的能觀測性等價(jià)于S2的能控性 4 1 6坐標(biāo)變換與標(biāo)準(zhǔn)型 1坐標(biāo)變換 4 63 4 64 重寫狀態(tài)方程式 4 4 和式 4 5 所定義的系統(tǒng)如下 設(shè) 為任意一n n維非奇異方陣 定義坐標(biāo)變換 或 代人式 4 63 有 即 而輸出方程為 4 65 因此 可得經(jīng)坐標(biāo)變換后系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 其中 分別為變換后系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣 輸入矩陣和輸出矩陣 下面考察式 4 66 和式 4 67 所表示的脈沖傳遞函數(shù)矩陣 4 66 4 67 4 68 G z 它與變換前的狀態(tài)方程式 4 63 和式 4 64 所對應(yīng)的脈沖傳遞函數(shù)矩陣 4 50 完全一致 由此 我們可以得出結(jié)論 即坐標(biāo)變換不改變系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)矩陣 即它不改變系統(tǒng)的輸入輸出特性 2能控標(biāo)準(zhǔn)型 A的特征方程 考慮單輸入單輸出線性離散系統(tǒng)狀態(tài)方程描述 其中 x k 為n維狀態(tài)向量 u k 和y k 分別為輸人和輸出標(biāo)量 A是n n維方陣 b是n維列向量 C是n維行向量 系統(tǒng)方程式 4 69 的能控性矩陣 4 69 4 70 4 71 4 72 假定該系統(tǒng)是完全能控的 因此Wc為非奇異方陣 取坐標(biāo)變換陣 4 73 其中 4 74 M針對開環(huán)特征方程 顯然M為一非奇異陣 從而為非奇異 取坐標(biāo)變換 和 則變換后的系統(tǒng)狀態(tài)方程具有以下形式 其中 4 75 4 76 參考式4 8 不具特殊的形式 結(jié)論 完全能控的單輸入單輸出系統(tǒng) 可以通過式 4 73 所定義的坐標(biāo)變換矩陣進(jìn)行坐標(biāo)變換而變成能控標(biāo)準(zhǔn)型 4 78 4 79 例4 8已知式 4 69 和式 4 70 所示系統(tǒng)狀態(tài)方程描述中 試求系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)型 構(gòu)造能控性矩陣 顯然有rank c 3 因此系統(tǒng)完全能控 求系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式 所求的能控標(biāo)準(zhǔn)型為 3能觀測標(biāo)準(zhǔn)型 4 80 令坐標(biāo)變換矩陣 則 將式 4 69 和式 4 70 兩式變成 4 81 4 82 4 83 無特殊形式 其中 稱具有式 4 82 和式 4 83 形式的狀態(tài)方程為可觀測標(biāo)準(zhǔn)形 4 86 4 85 4 84 為能觀標(biāo)準(zhǔn)型的轉(zhuǎn)置矩陣 4 2數(shù)字控制器狀態(tài)變量設(shè)計(jì)法 數(shù)字控制器狀態(tài)空間設(shè)計(jì)法 就是利用系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 根據(jù)對閉環(huán)系統(tǒng)性能指標(biāo)的要求 直接設(shè)計(jì)出滿足要求的數(shù)字控制器 根據(jù)控制系統(tǒng)的輸入是被控對象的狀態(tài)還是被控對象的輸出 控制系統(tǒng)分成狀態(tài)反饋控制器和輸出反饋控制器兩種形式 狀態(tài)反饋控制器具有較強(qiáng)大的功能和較簡單的結(jié)構(gòu) 但是對于實(shí)際工程系統(tǒng) 往往并不是所有的狀態(tài)都是可以直接量測的 因此 狀態(tài)反饋通常難以實(shí)現(xiàn) 這時(shí)可以借助于狀態(tài)觀測器 通過被控對象的輸入和輸出來重構(gòu)被控對象的狀態(tài) 實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋律 但是這時(shí)整個(gè)控制器已變成輸出反饋控制器了 控制系統(tǒng)的各種特性及其各種品質(zhì)指標(biāo)很大程度上由閉環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)和極點(diǎn)的位置所決定 前面通過對離散時(shí)間系統(tǒng)的分析 我們知道 系統(tǒng)的響應(yīng)通常是 k型函數(shù)的組合 極點(diǎn)決定了 函數(shù)的形式 即響應(yīng)的各種模態(tài) 從而決定了系統(tǒng)的穩(wěn)定性 而零點(diǎn)和極點(diǎn)在z平面上的分布狀況決定了動(dòng)態(tài)響應(yīng)表達(dá)式中對應(yīng)的函數(shù)的系數(shù)大小 從而決定了相應(yīng)模態(tài)對動(dòng)態(tài)響應(yīng)的貢獻(xiàn)大小 極點(diǎn)配置問題就是通過對狀態(tài)反饋矩陣的選擇 將閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置在z平面上所需要的位置 從而達(dá)到一定性能指標(biāo)的要求 4 2 1狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì) 若選擇控制輸入為狀態(tài)反饋 有 1單輸入系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置 閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程 閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式 待配置的閉環(huán)特征多項(xiàng)式P z 本節(jié)我們假定系統(tǒng)完全能控 并且系統(tǒng)的所有狀態(tài)都可以直接量測 4 87 4 88 4 90 4 91 4 92 要求系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)為 試求狀態(tài)反饋增益向量 例4 9已知二階系統(tǒng) 首先可以驗(yàn)證系統(tǒng)是完全能控的 待配置的特征多項(xiàng)式為 方法一解聯(lián)立方程求狀態(tài)反饋增益向量 通過適當(dāng)選擇狀態(tài)反饋增益行向量 使得與P z 的系數(shù)完全一致 則可將系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)設(shè)置在期望的極點(diǎn)上 這就是極點(diǎn)配置的基本原理 令閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式等于待配置的閉環(huán)特征多項(xiàng)式即 利用兩個(gè)多項(xiàng)式的對應(yīng)系數(shù)相等 可以得到n個(gè)聯(lián)立的代數(shù)方程組 解這個(gè)方程組 可以求出未知量 從而確定狀態(tài)反饋增益向量 4 93 令 則系統(tǒng)的閉環(huán)特征多項(xiàng)式 由P z 和 同次冪系數(shù)相等 得 解得 即 方法二通過能控標(biāo)準(zhǔn)型求解 1 取變換矩陣 先將被控對象的狀態(tài)方程式通過坐標(biāo)變換將它變成能控標(biāo)準(zhǔn)型 在能控標(biāo)準(zhǔn)型情況下 可以根據(jù)極點(diǎn)配置的要求 很容易地求出狀態(tài)反饋增益向量 然后再通過變換 將變成原來狀態(tài)方程式實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)配置所要求的狀態(tài)反饋增益向量 4 94 4 95 4 96 2 設(shè)實(shí)現(xiàn)理想極點(diǎn)配置所需的狀態(tài)反饋增益向量為 4 97 4 98 設(shè)待配置的理想閉環(huán)極點(diǎn)為 即待配置的閉環(huán)極點(diǎn)多項(xiàng)式為 根據(jù)式 4 102 所得到的極點(diǎn)配置增益向量 將能控標(biāo)準(zhǔn)型公式 4 95 所示系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)配置為 則由式 4 99 和式 4 100 多項(xiàng)式同次冪系數(shù)相等得 得出 即 其中 ai為開環(huán)特征方程系數(shù) 4 99 4 100 4 101 選 3 根據(jù)求得實(shí)現(xiàn)狀態(tài)方程 4 88 所示對象的閉環(huán)極點(diǎn)配置所需的狀態(tài)反饋增益向量 根據(jù)前一步驟的結(jié)果 下式成立 則通過狀態(tài)反饋可將式 4 88 的閉環(huán)極點(diǎn)配置到 4 102 4 103 例4 10考慮離散時(shí)間被控對象 試通過狀態(tài)反饋將閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)配置在 系統(tǒng)的可控性矩陣 表明系統(tǒng)是完全可控的 因此可以通過狀態(tài)反饋配置極點(diǎn) 其開環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式 坐標(biāo)變換陣 則通過坐標(biāo)變換式 和可將原狀態(tài)方程變成能控標(biāo)準(zhǔn)型 待配置的閉環(huán)特征多項(xiàng)式為 設(shè)相應(yīng)于能控標(biāo)準(zhǔn)型 為實(shí)現(xiàn)閉環(huán)極點(diǎn)配置 狀態(tài)反饋增益向量為 則 而待求的狀態(tài)反饋增益向量 2 多輸入系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置 最直觀的方法還是如前面所述的通過解聯(lián)立方程求狀態(tài)反饋增益矩陣的方法 對于多輸入系統(tǒng) 系統(tǒng)能夠通過狀態(tài)反饋任意配置閉環(huán)極點(diǎn)的充分和必要的條件仍然是系統(tǒng)完全可控 與單輸入系統(tǒng)不同的是 多輸入系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)閉環(huán)極點(diǎn)配置的狀態(tài)反饋增益矩陣F不唯一 即可以有不同的F實(shí)現(xiàn)同樣的閉環(huán)極點(diǎn) 這種方法的最大缺點(diǎn)是 這樣所得到的關(guān)于F中各元素的n個(gè)聯(lián)立方程組通常是非線性方程組 從而給問題求解帶來了很大的困難 4 104 另一類方法是利用單輸入系統(tǒng)極點(diǎn)配置的算法 它分兩步進(jìn)行 第一步通過適當(dāng)方法將多輸入系統(tǒng)變換成為由單個(gè)輸入完全能控的 第二步對通過變換獲得的單輸入完全能控系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)閉環(huán)極點(diǎn)配置 考慮多輸入狀態(tài)方程 首先構(gòu)造單輸入系統(tǒng) 其中 為n維列向量 W為m維列向量 其中 x k 為n維狀態(tài)向量 u k 為m維輸入向量 4 106 4 105 選擇W 使得上式所示系統(tǒng)為完全能控的 利用前面所述的單輸入系統(tǒng)極點(diǎn)配置的方法 選擇狀態(tài)反饋控制律 的極點(diǎn)配置在任意理想的位置 可以將 最后令 由上式所定的狀態(tài)反饋增益陣F 可以使得多輸入系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)位于理想的位置 4 107 4 108 4 109 總結(jié)多輸入系統(tǒng)極點(diǎn)配置步驟如下 1 對多輸入系統(tǒng)公式 4 105 選擇W 使得單輸入系統(tǒng)公式 4 106 為完全可控 2 對單輸入系統(tǒng)公式 4 106 選擇極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋向量F 使得 的極點(diǎn)為待配置的理想極點(diǎn) 3 令F WF 則F即為所求的實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)配置的狀態(tài)反饋增益矩陣 例4 11考慮多輸入離散時(shí)間系統(tǒng) 試求狀態(tài)反饋律u k Fx k 使得閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)為 顯然系統(tǒng)為完全可控的 令 為使單輸入系統(tǒng) 為完全可控 則必須要求 要使上式成立 應(yīng)滿足 在此前提下可任意選擇W 我們在此選擇 即 選擇狀態(tài)反饋增益向量 將單輸入系統(tǒng)的極點(diǎn)配置到 能控性矩陣 開環(huán)系統(tǒng)特征多項(xiàng)式 將系統(tǒng)變成能控標(biāo)準(zhǔn)型的坐標(biāo)變換矩陣 待配置的閉環(huán)特征多項(xiàng)式為 因此 狀態(tài)反饋增益向量 而實(shí)現(xiàn)原多輸入系統(tǒng)極點(diǎn)配置的狀態(tài)反饋增益陣 若令 即 則單輸入系統(tǒng) A B 已為能控標(biāo)準(zhǔn)型 立即可求得 因此 對于多輸入系統(tǒng) 可以有不同的狀態(tài)反饋增益陣F 將系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)配置在同一位置 3 極點(diǎn)配置方法的討論 1 前面我們已經(jīng)指出 實(shí)現(xiàn)任意極點(diǎn)配置的前提是 A B 為完全能控的 如果系統(tǒng)不是完全能控 則狀態(tài)反饋不能改變能控模態(tài) 因此不能實(shí)現(xiàn)任意極點(diǎn)配置 2 對單輸入系統(tǒng) 實(shí)現(xiàn)一組特定極點(diǎn)配置所需的狀態(tài)反饋增益向量fT是唯一的 這一點(diǎn)可以從單輸入系統(tǒng)極點(diǎn)配置方法二 即利用能控標(biāo)準(zhǔn)型的方法中看出 而對多輸入系統(tǒng) 則實(shí)現(xiàn)一組特定極點(diǎn)配置所需的狀態(tài)反饋增益陣F通常不是唯一的 這是因?yàn)镕是一個(gè)m n維矩陣 它有m n個(gè)元素可以選擇 而閉環(huán)特征多項(xiàng)式只有n個(gè)系數(shù)待調(diào)整 3 待配置的n個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)位置的選擇是一個(gè)確定控制系統(tǒng)綜合目標(biāo)的問題 這是一個(gè)復(fù)雜的問題 是一個(gè)工程實(shí)踐與理論相結(jié)合的問題 一般注意 對n維系統(tǒng) 應(yīng)當(dāng)指定而且只應(yīng)當(dāng)指定n個(gè)待配置的閉環(huán)極點(diǎn) 待配置的閉環(huán)極點(diǎn)可以是實(shí)數(shù) 也可以是以共軛復(fù)數(shù)形式出現(xiàn)的一對復(fù)數(shù)極點(diǎn) 為保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定 所有的待配置閉環(huán)極點(diǎn)必須位于復(fù)平面上的單位圓內(nèi) 具體位置的選擇需要考慮極點(diǎn)和零點(diǎn)在復(fù)平面上的分布 從工程實(shí)際出發(fā)加以解決 可以通過一些最優(yōu)化的算法來選擇待配置的閉環(huán)極點(diǎn)位置 以使得某種性能指標(biāo)最優(yōu) 4 2 2狀態(tài)觀測器的設(shè)計(jì) 因?yàn)闋顟B(tài)變量是一內(nèi)部變量 在實(shí)際工程系統(tǒng)中 通常并不是所有的狀態(tài)x k 都可以直接量測到的 可以直接量測的往往只有系統(tǒng)輸出y k 和輸入u k 為了能利用狀態(tài)反饋的設(shè)計(jì)方法 我們可以構(gòu)造狀態(tài)觀測器 先利用y k 及u k 構(gòu)造系統(tǒng)的狀態(tài)x k 然后 再應(yīng)用狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的閉環(huán)控制 考慮被控對象的狀態(tài)方程S1 4 110 4 111 人為地構(gòu)造一個(gè)與之相同的量測系統(tǒng)S2 因?yàn)槭侨藶闃?gòu)造的 量測系統(tǒng)S2中的狀態(tài)是可以直接測量的 系統(tǒng)S1和S2的動(dòng)態(tài)特性完全一致 只要x 0 與一致 則S2的狀態(tài)與S1的狀態(tài)x k 將完全一致 4 112 4 113 但由于各種原因 例如被控對象的建模誤差 x 0 與的差異等 使得在實(shí)際運(yùn)用中 S1和S2的狀態(tài)不可能完全一致 從而造成S1的輸出y k 和S2的輸出兩者有差異 引入誤差反饋項(xiàng) 將量測系統(tǒng)S2變成以下系統(tǒng)S3 采用漸近等價(jià)指標(biāo) 叫做觀測誤差 來判定狀態(tài)觀測器的有效性 狀態(tài)觀測器的觀測誤差滿足 4 114 4 115 4 116 顯然 只要上式所表示的關(guān)于觀測誤差的系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定 換句話說 只要 A LC 的所有特征值都在單位圓內(nèi) 則式 4 115 所定義的漸近等價(jià)指標(biāo)即可得到滿足 因?yàn)長是一個(gè)待選擇的反饋增益陣 我們可以適當(dāng)?shù)剡x擇L 將A LC的極點(diǎn)配置到z平面上適當(dāng)位置 使得很快地趨向于零 前面 我們已經(jīng)介紹了 若 A B 完全能控 則可選擇反饋增益陣F 使得閉環(huán)系統(tǒng)矩陣 A BF 具有任意指定的極點(diǎn) 與此相比 因?yàn)?A LC 與 A LC T AT CTLT 的特征值完全一致 顯然 若 AT CT 完全能控 則 A LC 的極點(diǎn)也可以任意配置 根據(jù)對偶原理 AT CT 的能控性矩陣 恰好為 A C 的能觀測性矩陣 具體設(shè)計(jì)步驟如下 1 構(gòu)造 A C 的對偶系統(tǒng) AT CT 求得后者的能控性矩陣 通過的秩 判定 A C 的能觀測性 即 AT CT 的能控性 選定待配置的閉環(huán)極點(diǎn) 2 求得A的特征多項(xiàng)式 和待配置的閉環(huán)極點(diǎn)對應(yīng)的特征多項(xiàng)式 3 構(gòu)造使得 AT CT 為能控標(biāo)準(zhǔn)型的坐標(biāo)變換陣 4 由公式 得出LT 則 LT T L 例4 12給定被控對象的狀態(tài)方程為 試設(shè)計(jì)系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器 并將觀測器的極點(diǎn)配置到 被控對象的能觀測性矩陣 顯然系統(tǒng)為完全能觀測的 其對偶系統(tǒng)能控性矩陣 系統(tǒng)的開環(huán)特征多項(xiàng)式為 化對偶系統(tǒng)為能控標(biāo)準(zhǔn)形的坐標(biāo)變換陣為 理想閉環(huán)極點(diǎn)所對應(yīng)的閉環(huán)特征多項(xiàng)式為z3 故反饋增益陣LT可通過下式計(jì)算得出 因此 給定被控對象的狀態(tài)觀測器為 4 2 3具有狀態(tài)觀測器的極點(diǎn)配置 通過狀態(tài)觀測器解決了被控對象狀態(tài)不能直接量測的問題 使?fàn)顟B(tài)反饋方法成為一種能實(shí)現(xiàn)的控制方式 圖4 2具有狀態(tài)觀測器的極點(diǎn)配置控制器 整個(gè)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖4 2所示 其中被控對象狀態(tài)方程為 假定被控對象是完全能控和完全能觀測的 則它的狀態(tài)觀測器具有以下形式 具有狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋控制律為 4 117 4 118 4 119 4 120 與直接采用狀態(tài)反饋u k Fx k 相比 對閉環(huán)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性有何影響 利用擴(kuò)充狀態(tài)向量的方法 把4 120代入4 117和4 119 得出以上系統(tǒng)的閉環(huán)狀態(tài)方程描述 2n維的系統(tǒng) 4 122 4 121 為了看清楚以上閉環(huán)系統(tǒng)的特征值情況 對狀態(tài)方程式 4 221 作如下的坐標(biāo)變換 4 123 上式顯然可以看出 具有狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)具有分離性質(zhì) 2n維的閉環(huán)系統(tǒng)的2n個(gè)極點(diǎn)可以分成兩部分 一部分是特征多項(xiàng)式det zI A BF 的n個(gè)根 它對應(yīng)著采用直接狀態(tài)反饋時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)的n個(gè)極點(diǎn) 另一部分是觀測器的特征多項(xiàng)式det z A LC 的n個(gè)根 其中 即為前面已定義的觀測誤差向量 變換后系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 4 124 利用這種閉環(huán)極點(diǎn)分離性的原理可以將控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)分成兩步進(jìn)行 第一步先按閉環(huán)系統(tǒng)性能的要求 確定 A BF 的極點(diǎn) 根據(jù)極點(diǎn)配置的方法 求出為實(shí)現(xiàn)這一極點(diǎn)配置所需的狀態(tài)反饋增益陣F 第二步當(dāng)系統(tǒng)所有的狀態(tài)不是全部可直接量測時(shí) 設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測器 按對觀測誤差衰減速度的要求 確定 A LC 的極點(diǎn) 從而利用上一節(jié)的方法確定L 通常我們希望的衰減速度 應(yīng)當(dāng)比的收斂較快一些 因此在選擇 A LC 的極點(diǎn)時(shí) 應(yīng)注意把它的極點(diǎn)的模選擇得比 A BF 的極點(diǎn)的模要小得多 為消去中間變量 為此 設(shè)的初始條件等于零 對式 4 119 和式 4 120 兩邊分別取z變換得 4 125 4 126 將式 4 126 代人式 4 125 并進(jìn)行化簡可得 4 127 代入式 4 126 有 它與式 4 119 和式 4 120 表示的控制系統(tǒng)等價(jià) 與后者相比 由于省略了中間變量 它的計(jì)算工作量要少一些 4 128 具有觀測器的狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置控制器的控制系統(tǒng)算法 1 判定被控對象的能控性和能觀測性 如果被控對象不是完全能控的 與 或不是完全能觀測的 則在下一步的極點(diǎn)配置中不能實(shí)現(xiàn)任意的極點(diǎn)配置 即被控對象的不能控或不能觀測的模態(tài)是不能通過極點(diǎn)配置而改變的 2 根據(jù)對閉環(huán)系統(tǒng)的性能要求 確定待配置的閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)和觀測器的極 3 利用極點(diǎn)配置的方法 選擇反饋增益陣F和 分別將閉環(huán)系統(tǒng)和觀測器的極點(diǎn)配置到指定的位置 即使得 4 利用式 4 118 或式 4 119 與式 4 120 實(shí)現(xiàn)相應(yīng)的控制器 例4 13設(shè)被控對象的狀態(tài)方程描述為 假定系統(tǒng)的狀態(tài)不可直接量測 試設(shè)計(jì)它的具有觀測器的狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置控制器 使閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)為 0 6 0 8 觀測器的極點(diǎn)為 0 9 j0 1 假定系統(tǒng)的外加輸入 0 系統(tǒng)的能控性矩陣 則 系統(tǒng)是完全能控的 系統(tǒng)的能觀測性矩陣 則 系統(tǒng)是完全能觀測的 設(shè)狀態(tài)反饋陣 對于閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn) 由 和相應(yīng)的閉環(huán)特征多項(xiàng)式 由上兩式中z的同次冪系數(shù)相同得 解得f1 8f2 5 6 對于狀態(tài)觀測器 由 和相應(yīng)的閉環(huán)特征多項(xiàng)式 由上兩式中z的同次冪系數(shù)相等得 解得 即 控制器為 或