專題六三角形 三角形是中考必考的內(nèi)容 關(guān)于三角形的邊 角和 三線 是中考命題的熱點 既可以出現(xiàn)在小題中 也可以融入大題中 是研究幾何綜合題的基礎(chǔ) 所以三角形的基本性質(zhì)必須熟練掌握 全等三角形判定與性質(zhì) 相似三角形的判定與性質(zhì) 等腰 邊 三角形的判定與性質(zhì)是中考命題的熱點 既可以出現(xiàn)在簡單的解答題中 也可以與特殊四邊形 圓和函數(shù)形成綜合題 以三角形為背景的應(yīng)用題也是中考必考內(nèi)容 一般考查解直角三角形和勾股定理的應(yīng)用居多 與三角形有關(guān)的邊角計算例1 2015年遼寧丹東 如圖Z6 1 在 ABC中 AB AC A 30 E為BC延長線上一點 ABC與 ACE的平分線 相交于點D 則 D的度數(shù)為 圖Z6 1 A 15 B 17 5 C 20 D 22 5 解析 ABC的平分線與 ACE的平分線交于點D 1 2 3 4 ACE A ABC 即 1 2 3 4 A 2 1 2 3 A 答案 A 解題技巧 利用三角形的內(nèi)角和外角性質(zhì)求角的度數(shù)時 注意找準所需要的每一個角 可以用數(shù)字標(biāo)明所需要的角 全等 相似和等腰三角形的證明與性質(zhì)例2 2015年廣東珠海已知 ABC AB AC 將 ABC沿BC方向平移得到 DEF 1 如圖Z6 2 連接BD AF 則BD AF 填 或 2 如圖Z6 3 M為AB邊上一點 過M作BC的平行線MN分別交邊AC DE DF于點G H N 連接BH GF 求證 BH GF 圖Z6 2 圖Z6 3 思路分析 1 根據(jù)等腰三角形的性質(zhì) 可得 ABC與 ACB的關(guān)系 根據(jù)平移的性質(zhì) 可得AC與DF的關(guān)系 根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì) 可得答案 2 根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì) 可得GM與HN的關(guān)系 BM與FN的關(guān)系 根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì) 可得答案 1 解 由AB AC 得 ABC ACB 由 ABC沿BC方向平移得到 DEF 得DF AC DFE ACB 在 ABF和 DFB中 ABF DFB SAS 即BD AF 故答案為BD AF 解題技巧 判定兩個三角形全等或相似時 注意找準對應(yīng) 邊和對應(yīng)角 根據(jù)已知條件選擇合適的判定方法 與三角形有關(guān)的綜合題例3 2015年山東淄博 如圖Z6 4 ABC是等腰直角三角形 C 90 點D是AB的中點 點P是AB上的一個動點 點P與點A B不重合 矩形PECF的頂點E F分別在BC AC上 1 探究DE與DF的關(guān)系 并給出證明 2 當(dāng)點P滿足什么條件時 線段EF的 長最短 直接給出結(jié)論 不必說明理由 圖Z6 4 思路分析 1 連接CD 首先根據(jù) ABC是等腰直角三角形 C 90 點D是AB的中點得到CD AD CD AD 然后根據(jù)四邊形PECF是矩形得到 APE是等腰直角三角形 從而得到 DCE DAF 證得DE DF DE DF 而得到當(dāng)DE和DF同時最短時 EF最短得到此時點P與點D重合線段EF最短 解 1 DE DF DE DF 證明如下 連接CD ABC是等腰直角三角形 C 90 點D是AB的 中點 CD AD CD AD 四邊形PECF是矩形 CE FP FP CB APF是等腰直角三角形 AF PF EC DCE A 45 DCE DAF DE DF ADF CDE CDA 90 EDF 90 DE DF DE DF 2 DE DF DE DF 當(dāng)DE和DF同時最短時 EF最短 當(dāng)DF AC DE AB時 二者最短 此時點P與點D重合 點P與點D重合時 線段EF最短 名師點評 與三角形相關(guān)的綜合題一般與四邊形 圓或函數(shù)緊密相連 運用旋轉(zhuǎn) 對稱等圖形變化方式加以對問題的進一步探究是常見的命題方式 解決此類題型一般離不開三角形的基本性質(zhì) 解直角三角形與勾股定理的應(yīng)用 例4 2015年廣東深圳 如圖Z6 5 小麗為了測旗桿AB的高度 小麗眼睛距地面1 5米 小麗站在C點 測出旗桿A的仰角為30 小麗向前走了10米到達點E 此時的仰角為60 求旗桿的高度 圖Z6 5 思路分析 根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求得 DAF 30 得出AF DF 10 在Rt FGA中 根據(jù)正弦函數(shù)求出AG的長 加上BG的長即為旗桿高度 解 ADG 30 AFG 60 DAF 30 AF DF 10 在Rt FGA中 名師點評 解直角三角形是中考必考內(nèi)容 以生活實例為背景 利用三角函數(shù)求高度 寬度或長度是最常見的題型 根據(jù)已知條件選擇合適的三角函數(shù)求邊長是解題的關(guān)鍵 稍復(fù)雜的應(yīng)用題常常運用方程的思想解決實際問題