知識(shí)點(diǎn)1矩形的性質(zhì)與判定 1 矩形 有一個(gè)角是直角的 叫作矩形 2 矩形的性質(zhì) 1 矩形是特殊的平行四邊形 具有平行四邊形的所有性質(zhì) 2 矩形的四個(gè)內(nèi)角相等且都是 3 矩形的兩條對(duì)角線 4 矩形既是中心對(duì)稱圖形 也是軸對(duì)稱圖形 有 條對(duì)稱軸 平行四邊形 直角 相等 2 3 矩形的判定 1 有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形 2 對(duì)角線 的平行四邊形是矩形 3 有 是直角的四邊形是矩形 相等 三個(gè)角 知識(shí)點(diǎn)2菱形的性質(zhì)與判定 1 菱形 有一組鄰邊 的平行四邊形叫作菱形 2 菱形的性質(zhì) 1 菱形是特殊的平行四邊形 具有平行四邊形的所有性質(zhì) 2 菱形的四條邊都 相等 相等 3 菱形的對(duì)角線互相 每條對(duì)角線平分一組對(duì)角 4 菱形既是中心對(duì)稱圖形 也是軸對(duì)稱圖形 有 條對(duì)稱軸 垂直且平分 2 3 菱形的判定 1 有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形 2 四條邊都 的四邊形是菱形 3 對(duì)角線相互 的四邊形是菱形 4 菱形面積的計(jì)算 1 可以作為平行四邊形來計(jì)算面積 S 2 利用菱形的對(duì)角線的長(zhǎng)度計(jì)算 S 兩條對(duì)角線乘積的 相等 垂直且平分 底 高 一半 知識(shí)點(diǎn)3正方形的性質(zhì)與判定 1 正方形的性質(zhì) 1 正方形具有矩形和菱形的所有性質(zhì) 正方形的四個(gè)角都是 四條邊都 正方形的兩條對(duì)角線相等且 每條對(duì)角線平分一組對(duì)角 2 正方形既是中心對(duì)稱圖形 也是軸對(duì)稱圖形 有 條對(duì)稱軸 直角 相等 垂直平分 4 2 正方形的判定 1 有一個(gè)角是 的菱形是正方形 2 有一組鄰邊 的矩形是正方形 3 有一組鄰邊相等 且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形 4 對(duì)角線相等且相互 的四邊形是正方形 直角 相等 垂直 3 矩形 菱形 正方形都是特殊的平行四邊形 正方形又是特殊的菱形 還是特殊的矩形 他們之間的關(guān)系如圖 名師指點(diǎn) 本考點(diǎn)主要考查矩形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用 解答這類問題時(shí) 既要注意運(yùn)用矩形的特殊性質(zhì) 也要注意運(yùn)用矩形作為一般平行四邊形所具有的性質(zhì) 考點(diǎn)1矩形的性質(zhì)與判定 分析 由四邊形ABCD是矩形 得出AB CD B C 再由BF CE 得出BE CF 從而證明 ABE DCF 即可證明AE DF 解答 四邊形ABCD是矩形 AB CD B C 90 又 BF CE BF FE CE EF 即BE CF ABE DCF AE DF 2014 貴州安順 如圖 在 ABC中 AB AC AD BC 垂足為點(diǎn)D AN是 ABC的外角 CAM的平分線 CE AN 垂足為點(diǎn)E 1 求證 四邊形ADCE為矩形 2 當(dāng) ABC滿足什么條件時(shí) 四邊形ADCE是一個(gè)正方形 并給出證明 分析 1 四邊形ADCE中已知有兩個(gè)直角 要判定其是矩形 只需再證明有一個(gè)角是直角即可 通過觀察可知 判斷 DAE是直角比較方便 2 此題是條件結(jié)論都開放型問題 答案不唯一 一般地 使矩形變?yōu)檎叫慰梢蕴砑余忂呄嗟然蚴菍?duì)角線垂直 可以通過添加 ABC的條件間接獲得證明 解答 1 在 ABC中 AB AC AD BC BAD DAC AN是 ABC的外角 CAM的平分線 MAE CAE 又 AD BC CE AN ADC CEA 90 四邊形ADCE為矩形 2 例如 當(dāng) BAC 90 時(shí) 四邊形ADCE是正方形 BAC 90 AB AC AD BC于點(diǎn)D ACD DAC 45 DC AD 由 1 知四邊形ADCE為矩形 矩形ADCE是正方形 1 2015 高新一模 如圖 在矩形ABCD中 AB 2 BC 4 對(duì)角線AC的垂直平分線分別交AD AC于點(diǎn)E O 連接CE 則CE的長(zhǎng)是 A 2 5B 2 8C 3D 3 5 2 2015 天橋二模 如圖 在矩形ABCD中 BAD的平分線交BC于點(diǎn)E DH AE于點(diǎn)H 連接BH并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)F 連接DE交BF于點(diǎn)O 下列結(jié)論 AED CED OE OD BH HF BC CF 2HE AB HF 其中結(jié)論正確的是 填序號(hào) 3 2014 濟(jì)南 如圖 四邊形ABCD是矩形 點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn) 求證 EB EC 解 在 ABE和 DCE中 AB DC AE DE EAB EDC ABE DCE EB EC 4 2015 聊城 如圖 在 ABC中 AB BC BD平分 ABC 四邊形ABED是平行四邊形 DE交BC于點(diǎn)F 連接CE 求證 四邊形BECD是矩形 證明 四邊形ABED是平行四邊形 BE AD BE AD AB BC BD平分 ABC AD CD 四邊形BECD是平行四邊形 AB BC ABC是等腰三角形 又 BD平分 ABC BD AC 即 BDC 90 四邊形BECD是矩形 名師指點(diǎn) 本考點(diǎn)主要考查菱形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用 菱形具有四條邊都相等 對(duì)角線相互垂直平分 且每條對(duì)角線都平分一組對(duì)角的特殊性質(zhì) 又有一般平行四邊形的性質(zhì) 在解答有關(guān)菱形的問題時(shí) 要靈活運(yùn)用這些性質(zhì) 考點(diǎn)2菱形的性質(zhì)與判定 2015 濟(jì)南 如圖 在菱形ABCD中 AB 6 DAB 60 AE分別交BC BD于點(diǎn)E F CE 2 連接CF 以下結(jié)論 ABF CBF 點(diǎn)E到AB的距離是 ABF的面積為其中一定成立的是 把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填在橫線上 分析 利用SAS證明 ABF CBF 從而 正確 根據(jù)含30 角的直角三角形的性質(zhì)得出點(diǎn)E到AB的距離是從而 正確 進(jìn)而得出 ABF的面積及tan DCF的值 從而判斷 的正誤 解答 四邊形ABCD是菱形 AB BC 6 DAB 60 AB AD DB ABD DBC 60 在 ABF和 CBF中 AB BC ABF FBC BF BF ABF CBF 故 正確 過點(diǎn)E作EG AB 過點(diǎn)F作MH CD MH AB 如圖 CE 2 BC 6 ABC 120 BE 6 2 4 EG AB EG 即點(diǎn)E到AB的距離是故 正確 BE 4 EC 2 S BFE S FEC 4 2 2 1 S ABF S FBE 3 2 ABF的面積為故 錯(cuò)誤 故 正確 答案 2015 濟(jì)寧 如圖 在 ABC中 AB AC DAC是 ABC的一個(gè)外角 實(shí)踐與操作 根據(jù)要求尺規(guī)作圖 并在圖中標(biāo)明相應(yīng)字母 保留作圖痕跡 不寫作法 1 作 DAC的平分線AM 2 作線段AC的垂直平分線 與AM交于點(diǎn)F 與BC邊交于點(diǎn)E 連接AE CF 猜想并證明 判斷四邊形AECF的形狀并加以證明 分析 1 回顧用尺規(guī)作一個(gè)角的角平分線的方法作出角平分線 2 回顧用尺規(guī)作一個(gè)線段的垂直平分線的方法作出線段AC的垂直平分線 先證明四邊形AECF為平行四邊形 再由鄰邊相等即可證明四邊形AECF為菱形 解答 1 如圖 2 猜想 四邊形AECF是菱形 證明 AB AC AM平分 CAD B ACB CAD 2 CAM CAD是 ABC的外角 CAD B ACB CAD 2 ACB CAM ACB AF CE EF垂直平分AC OA OC AOF COE 90 AOF COE AF CE 在四邊形AECF中 AF CE AF CE 四邊形AECF是平行四邊形 又 EF AC 四邊形AECF是菱形 1 2015 歷下一模 如圖 在菱形ABCD中 對(duì)角線AC BD交于點(diǎn)O 下列說法錯(cuò)誤的是 A AB DCB OA OCC AC BDD AC BD 2 2014 歷城一模 如圖 已知菱形ABCD的對(duì)角線AC BD的長(zhǎng)分別為6cm 8cm AE BC于點(diǎn)E 求AE的長(zhǎng) 解 四邊形ABCD是菱形 CO AC 3cm BO BD 4cm AO BO BC 5cm S菱形ABCD BC AE 即 6 8 5 AE 解得AE cm 答 AE的長(zhǎng)是cm 3 2015 貴州遵義 在Rt ABC中 BAC 90 D是BC的中點(diǎn) E是AD的中點(diǎn) 過點(diǎn)A作AF BC交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F 1 求證 AEF DEB 2 證明四邊形ADCF是菱形 3 若AC 4 AB 5 求菱形ADCF的面積 解 1 AF BC AFE DBE 點(diǎn)E是AD的中點(diǎn) DE AE 又 AEF DEB AEF DEB 2 點(diǎn)D是BC的中點(diǎn) BD DC 由 1 知 AEF DEB AF BD AF DC 又 AF BC 四邊形ADCF是平行四邊形 又 在Rt ABC中 點(diǎn)D是斜邊BC的中點(diǎn) AD DC 四邊形ADCF是菱形 3 S四邊形ADCF 2S ADC SRt ABC 2S ADC S四邊ADCF SRt ABC AB AC 5 4 10 名師指點(diǎn) 本考點(diǎn)考查正方形的判定及性質(zhì)運(yùn)用 正方形是一類比較特殊的平行四邊形 它既具有矩形的性質(zhì) 也具有菱形的性質(zhì) 因此正方形的判定方法和性質(zhì)比較多 在解答有關(guān)正方形的問題時(shí) 要注意根據(jù)題干中提供的條件選擇合適的方法 考點(diǎn)3正方形的性質(zhì)與判定 2015 濟(jì)南 如圖 正方形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O ACB的角平分線分別交AB BD于M N兩點(diǎn) 若AM 2 則線段ON的長(zhǎng)為 分析 作MH AC于點(diǎn)H 由正方形的性質(zhì)得 MAH 45 則 AMH為等腰直角三角形 進(jìn)而再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得于是利用正方形的性質(zhì)得所以然后證明 CON CHM 再利用相似比可計(jì)算出ON的長(zhǎng) 解答 作MH AC于點(diǎn)H 如圖 四邊形ABCD為正方形 MAH 45 AMH為等腰直角三角形 CM平分 ACB BD AC ON MH CON CHM ON 1 答案 C 2015 日照 小明在學(xué)習(xí)了正方形之后 給同桌小文出了道題 從下列四個(gè)條件 AB BC ABC 90 AC BD AC BD中選兩個(gè)作為補(bǔ)充條件 使平行四邊形ABCD為正方形 如圖 現(xiàn)有下列四種選法 你認(rèn)為其中錯(cuò)誤的是 A B C D 分析 A 四邊形ABCD是平行四邊形 當(dāng) AB BC時(shí) 平行四邊形ABCD是菱形 當(dāng) ABC 90 時(shí) 菱形ABCD是正方形 故此選項(xiàng)錯(cuò)誤 B 四邊形ABCD是平行四邊形 當(dāng) ABC 90 時(shí) 平行四邊形ABCD是矩形 當(dāng) AC BD時(shí) 無法得出四邊形ABCD是正方形 故此選項(xiàng)正確 C 四邊形ABCD是平行四邊形 當(dāng) AB BC時(shí) 平行四邊形ABCD是菱形 當(dāng) AC BD時(shí) 菱形ABCD是正方形 故此選項(xiàng)錯(cuò)誤 D 四邊形ABCD是平行四邊形 當(dāng) ABC 90 時(shí) 平行四邊形ABCD是矩形 當(dāng) AC BD時(shí) 矩形ABCD是正方形 故此選項(xiàng)錯(cuò)誤 答案 B 1 2015 歷城模擬 如圖 正方形ABCD的邊CD與正方形CGFE的邊在一條直線上 O是EG的中點(diǎn) EGC的平分線GH過點(diǎn)D 交BE于H 連接OH FH EG與FH交于M 對(duì)于下面四個(gè)結(jié)論 GH BE 點(diǎn)H不在正方形CGFE的外接圓上 GBE GMF 其中正確的結(jié)論有 A 1個(gè)B 2個(gè)C 3個(gè)D 4個(gè) 2 2015 湖北黃岡 如圖 在正方形ABCD中 點(diǎn)F為CD上一點(diǎn) BF與AC交于點(diǎn)E 若 CBF 20 則 AED 度 65 3 2015 市中二模 如圖 在正方形ABCD內(nèi)有一折線段 其中AE EF EF FC 并且AE 6 EF 8 FC 10 則正方形的邊長(zhǎng)為 4 2015 槐蔭二模 如圖 現(xiàn)有一張邊長(zhǎng)為4的正方形紙片ABCD 點(diǎn)P為正方形AD邊上的一點(diǎn) 不與點(diǎn)A 點(diǎn)D重合 將正方形紙片折疊 使點(diǎn)B落在P處 點(diǎn)C落在G處 PG交DC于點(diǎn)H 折痕為EF 連接BP BH 1 求證 APB BPH 2 當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上移動(dòng)時(shí) PDH的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化 并證明你的結(jié)論 3 設(shè)AP為x 四邊形EFGP的面積為S 求出S與x的函數(shù)關(guān)系式 試問S是否存在最小值 若存在 求出這個(gè)最小值 若不存在 請(qǐng)說明理由 解 1 PE BE EBP EPB 又 EPH EBC 90 EPH EPB EBC EBP 即 PBC BPH 又 AD BC APB PBC APB BPH 2 PHD的周長(zhǎng)不變 為定值8 證明 過B作BQ PH 垂足為Q 由 1 知 APB BPH 又 A BQP 90 BP BP ABP QBP AP QP AB BQ 又 AB BC BC BQ 又 C BQH 90 BH BH BCH BQH CH QH PHD的周長(zhǎng)為PD DH PH AP PD DH HC AD CD 8 3 過F作FM AB 垂足為M 則FM BC AB 又 EF為折痕 EF BP EFM MEF ABP BEF 90 EFM ABP 又 A EMF 90 EFM PBA EM AP x 在Rt APE中 4 BE 2 x2 BE2 解得BE 2 CF BE EM 2 x 又 四邊形PEFG與四邊形BEFC全等 S BE CF BC 4 x 4 即S x2 2x 8 配方得S x 2 2 6 當(dāng)x 2時(shí) S有最小值6