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第23講多邊形與平行四邊形 1 多邊形和正多邊形的概念及性質(zhì) 2 平行四邊形的性質(zhì)以及判定 1 性質(zhì) 平行四邊形兩組對(duì)邊分別 平行四邊形對(duì)角 鄰角 平行四邊形對(duì)角線 平行四邊形是 對(duì)稱圖形 2 判定方法 定義 的四邊形是平行四邊形 的四邊形是平行四邊形 的四邊形是平行四邊形 的四邊形是平行四邊形 的四邊形是平行四邊形 3 三角形中位線定理三角形的中位線平行于第三邊 且等于第三邊的一半 平行且相等 相等 互補(bǔ) 互相平分 中心 兩組對(duì)邊分別平行 一組對(duì)邊平行且相等 兩組對(duì)邊分別相等 兩組對(duì)角分別相等 對(duì)角線互相平分 1 常用連對(duì)角線的方法把四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形的問題 2 有平行線時(shí) 常作平行線構(gòu)造平行四邊形 3 有中線時(shí) 常作加倍中線構(gòu)造平行四邊形 4 圖形具有等鄰邊特征時(shí) 如 等腰三角形 等邊三角形 菱形 正方形等 可以通過引輔助線把圖形的某一部分繞等鄰邊的公共端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到另一位置 1 2013 甘南州 不能判定一個(gè)四邊形是平行四邊形的條件是 A 兩組對(duì)邊分別平行B 一組對(duì)邊平行且相等C 一組對(duì)邊平行 另一組對(duì)邊相等D 兩組對(duì)邊分別相等2 2014 天水 點(diǎn)A B C是平面內(nèi)不在同一條直線上的三點(diǎn) 點(diǎn)D是平面內(nèi)任意一點(diǎn) 若A B C D四點(diǎn)恰能構(gòu)成一個(gè)平行四邊形 則在平面內(nèi)符合這樣條件的點(diǎn)D有 A 1個(gè)B 2個(gè)C 3個(gè)D 4個(gè) C C 3 2013 蘭州 如圖 在 OAB中 OAB 90 AOB 30 OB 8 以O(shè)B為邊 在 OAB外作等邊三角形OBC D是OB的中點(diǎn) 連接AD并延長交OC于E 1 求證 四邊形ABCE是平行四邊形 2 如圖 將圖 中的四邊形ABCO折疊 使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合 折痕為FG 求OG的長 解 1 ABC是等邊三角形 ABC 60 又 EFB 60 EF BC EF DC 又EF DC 四邊形EFCD是平行四邊形 2 連接BE BF EF EFB 60 EFB是等邊三角形 BE EF DC FBE 60 在 ABE和 ACD中 AB AC ABE ACD BE CD ABE ACD AE AD C D 解析 C 120 例2 2014 懷化 如圖 在平行四邊形ABCD中 B AFE EA是 BEF的角平分線 求證 1 ABE AFE 2 FAD CDE 點(diǎn)評(píng) 平行四邊形對(duì)邊相等 對(duì)邊平行 對(duì)角相等 鄰角互補(bǔ) 對(duì)角線互相平分 利用這些性質(zhì)可以解決與平行四邊形相關(guān)的問題 也可將四邊形的問題轉(zhuǎn)化為三角形的問題 C 例3 2015 黃岡 已知 如圖 在四邊形ABCD中 AB CD E F為對(duì)角線AC上兩點(diǎn) 且AE CF DF BE 求證 四邊形ABCD為平行四邊形 點(diǎn)評(píng) 探索平行四邊形成立的條件 有多種方法判定平行四邊形 若條件中涉及角 考慮用 兩組對(duì)角分別相等 或 兩組對(duì)邊分別平行 來證明 若條件中涉及對(duì)角線 考慮用 對(duì)角線互相平分 來說明 若條件中涉及邊 考慮用 兩組對(duì)邊分別平行 或 一組對(duì)邊平行且相等 來證明 也可以巧添輔助線 構(gòu)建平行四邊形 點(diǎn)評(píng) 當(dāng)已知三角形一邊中點(diǎn)時(shí) 可以設(shè)法找出另一邊的中點(diǎn) 構(gòu)造三角形中位線 進(jìn)一步利用三角形的中位線定理 證明線段平行或倍分問題 3