高等數(shù)學 第十二章 無窮級數(shù)
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1、第十二章 無窮級數(shù) 【教學重點】 1、級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。 2、正項級數(shù)收斂性的比較判別法、比值判別法和根值判別; 3、交錯級數(shù)的萊布尼茨判別法; 4、冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域; 5、,和的麥克勞林展開式; 6、傅里葉級數(shù)。 【教學難點】 1、 比較判別法的極限形式; 2、 萊布尼茨判別法; 3、 任意項級數(shù)的絕對收斂與條件收斂; 4、 函數(shù)項級數(shù)的收斂域及和函數(shù); 5、 泰勒級數(shù); 6、 傅里葉級數(shù)的狄利克雷定理。 第一節(jié) 常數(shù)項級數(shù)的概念與性質(zhì) 一、常數(shù)項級數(shù)的概念
2、 常數(shù)項級數(shù): 給定一個數(shù)列 u1, u2, u3, × × ×, un, × × ×, 則由這數(shù)列構(gòu)成的表達式u1 + u2 + u3 + × × ×+ un + × × ×叫做常數(shù)項)無窮級數(shù), 簡稱常數(shù)項)級數(shù), 記為, 即 , 其中第n項u n 叫做級數(shù)的一般項. 級數(shù)的部分和: 作級數(shù)的前n項和 稱為級數(shù)的部分和. 級數(shù)斂散性定義: 如果級數(shù)的部分和數(shù)列有極限s, 即, 則稱無窮級數(shù)收斂, 這時極限s叫做這級數(shù)的和, 并寫成 ; 如
3、果沒有極限, 則稱無窮級數(shù)發(fā)散. 余項: 當級數(shù)收斂時, 其部分和s n是級數(shù)的和s的近似值, 它們之間的差值 rn=s-sn=un+1+un+2+ × × × 叫做級數(shù)的余項. 例1 討論等比級數(shù)(幾何級數(shù)) 的斂散性, 其中a10, q叫做級數(shù)的公比. 解 如果q11, 則部分和 . 當|q|<1時, 因為, 所以此時級數(shù)收斂, 其和為. 當|q|>1時, 因為, 所以此時級數(shù)發(fā)散. 如果|q|=1, 則當q=1時, sn =na?¥, 因此級數(shù)發(fā)散;
4、 當q=-1時, 級數(shù)成為 a-a+a-a+ × × ×, 當|q|=1時, 因為sn 隨著n為奇數(shù)或偶數(shù)而等于a或零, 所以sn的極限不存在, 從而這時級數(shù)也發(fā)散. 綜上所述,級數(shù) 例2 證明級數(shù) 1+2+3+× × ×+n+× × × 是發(fā)散的. 證 此級數(shù)的部分和為 . 顯然, , 因此所給級數(shù)是發(fā)散的. 例3 判別無窮級數(shù) 的收斂性. 提示: .
5、 二、收斂級數(shù)的基本性質(zhì) 性質(zhì)1 如果級數(shù)收斂于和s, 則它的各項同乘以一個常數(shù)k所得的級數(shù)也收斂, 且其和為ks. 性質(zhì)2 如果級數(shù)收斂于和s, 則級數(shù)也收斂, 且其和為ks. 性質(zhì)3 如果, 則. 性質(zhì)4 如果級數(shù)、分別收斂于和s、s, 則級數(shù)也收斂, 且其和為s±s. 性質(zhì)5 如果、, 則. 性質(zhì)6 在級數(shù)中去掉、加上或改變有限項, 不會改變級數(shù)的收斂性. 比如, 級數(shù)是收斂的, 級數(shù)也是收斂的, 級數(shù)也是收斂的. 性質(zhì)7 如果級數(shù)收斂, 則對這級數(shù)的項任意加括號后所成的級數(shù)仍收斂,
6、 且其和不變. 應注意的問題: 如果加括號后所成的級數(shù)收斂, 則不能斷定去括號后原來的級數(shù)也收斂. 例如, 級數(shù) (1-1)+(1-1) +× × ×收斂于零, 但級數(shù)1-1+1-1+× × ×卻是發(fā)散的. 推論: 如果加括號后所成的級數(shù)發(fā)散, 則原來級數(shù)也發(fā)散. 級數(shù)收斂的必要條件: 性質(zhì)8 如果收斂, 則它的一般項un 趨于零, 即. 應注意的問題: 級數(shù)的一般項趨于零并不是級數(shù)收斂的充分條件. 例4 證明調(diào)和級數(shù) 是發(fā)散的. 證: 假若級數(shù)收
7、斂且其和為s, sn是它的部分和. 顯然有及. 于是. 但另一方面, , 故, 矛盾. 這矛盾說明級數(shù)必定發(fā)散. 小結(jié) 1.常數(shù)項級數(shù)的概念; 2. 常數(shù)項級數(shù)的性質(zhì); 第二節(jié) 常數(shù)項級數(shù)的審斂法 一、正項級數(shù)及其審斂法 正項級數(shù): 各項都是正數(shù)或零的級數(shù)稱為正項級數(shù). 定理1 正項級數(shù)收斂的充分必要條件它的部分和數(shù)列{sn}有界. 定理2(比較審斂法) 設(shè)和都是正項級數(shù), 且un£vn(k>0, "n3N). 若收斂, 則收斂; 若發(fā)散, 則發(fā)散. 證 設(shè)級數(shù)收斂于和
8、s, 則級數(shù)的部分和 sn=u1+u2+ × × × +un£v1+ v2+ × × × +vn£s (n=1, 2, × × ×), 即部分和數(shù)列{sn}有界, 由定理1知級數(shù)收斂. 反之, 設(shè)級數(shù)發(fā)散, 則級數(shù)必發(fā)散. 因為若級數(shù) 收斂, 由上已證明的結(jié)論, 將有級數(shù)也收斂, 與假設(shè)矛盾. 推論 設(shè)和都是正項級數(shù), 如果級數(shù)收斂, 且存在自然數(shù)N, 使當n3N時有un£kvn(k>0)成立, 則級數(shù)收斂; 如果級數(shù)發(fā)散, 且當n3N時有un3kvn(k>0)成立, 則級數(shù)發(fā)散. 例1 討論p-級數(shù)
9、 的收斂性, 其中常數(shù)p>0. 提示: 級數(shù)的部分和為 . 因為, 所以級數(shù)收斂. p-級數(shù)的收斂性: p-級數(shù)當p>1時收斂, 當p£1時發(fā)散. 例2 證明級數(shù)是發(fā)散的. 證 因為, 而級數(shù)是發(fā)散的, 根據(jù)比較審斂法可知所給級數(shù)也是發(fā)散的. 定理3(比較審斂法的極限形式) 設(shè)和都是正項級數(shù), (1)如果(0£l<+¥), 且級數(shù)收斂, 則級數(shù)收斂; (2)如果, 且級數(shù)發(fā)散, 則級數(shù)發(fā)散. 證明 由極限的定義可知, 對, 存在自然數(shù)N, 當n>
10、N時, 有不等式 , 即, 再根據(jù)比較審斂法的推論1, 即得所要證的結(jié)論. 例3 判別級數(shù)的收斂性. 解 因為, 而級數(shù)發(fā)散, 根據(jù)比較審斂法的極限形式, 級數(shù)發(fā)散. 例4 判別級數(shù)的收斂性. 解 因為, 而級數(shù)收斂, 根據(jù)比較審斂法的極限形式, 級數(shù)收斂. 定理4(比值審斂法, 達朗貝爾判別法) 若正項級數(shù)的后項與前項之比值的極限等于r: , 則當r<1時級數(shù)收斂; 當r>1(或)時級數(shù)發(fā)散; 當r =1時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.
11、 例5 證明級數(shù) 是收斂的. 例6 判別級數(shù)的收斂性. 例7 判別級數(shù)的收斂性. 提示: , 比值審斂法失效. 因為, 而級數(shù)收斂, 因此由比較審斂法可知所給級數(shù)收斂. 定理5(根值審斂法, 柯西判別法) 設(shè)是正項級數(shù), 如果它的一般項un的n次根的極限等于r: , 則當r<1時級數(shù)收斂; 當r>1(或)時級數(shù)發(fā)散; 當r=1時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 例8 證明級數(shù)是收斂的. 并估計以級數(shù)的部分和sn近似代替和s所產(chǎn)生的誤差. 解 因為, 所以根據(jù)
12、根值審斂法可知所給級數(shù)收斂. 以這級數(shù)的部分和sn 近似代替和s所產(chǎn)生的誤差為 + . 例9判定級數(shù)的收斂性. 定理6(極限審斂法) 設(shè)為正項級數(shù), (1)如果, 則級數(shù)發(fā)散; (2)如果p>1, 而, 則級數(shù)收斂. 例10 判定級數(shù)的收斂性. 解 因為, 故, 根據(jù)極限審斂法, 知所給級數(shù)收斂. 例11 判定級數(shù)的收斂性. 解 因為 , 根據(jù)極限審斂法, 知所給級數(shù)收斂. 二、交錯級數(shù)及其審斂法
13、 交錯級數(shù): 交錯級數(shù)是這樣的級數(shù), 它的各項是正負交錯的. 交錯級數(shù)的一般形式為, 其中. 例如, 是交錯級數(shù), 但不是交錯級數(shù). 定理7(萊布尼茨定理) 如果交錯級數(shù)滿足條件: (1)un3un+1 (n=1, 2, 3, × × ×); (2), 則級數(shù)收斂, 且其和s£u1, 其余項rn的絕對值|rn|£un+1. 簡要證明: 設(shè)前n項部分和為sn. 由s2n=(u1-u2)+(u3-u4)+ × × × +(u2n 1-u2n), 及 s2n=u1-
14、(u2-u3)+(u4-u5)+ × × × +(u2n-2-u2n-1)-u2n
看出數(shù)列{s2n}單調(diào)增加且有界(s2n 15、收斂, 而級數(shù)發(fā)散, 則稱級條件收斂.
例13 級數(shù)是絕對收斂的, 而級數(shù)是條件收斂的.
定理8 如果級數(shù)絕對收斂, 則級數(shù)必定收斂.
值得注意的問題:
如果級數(shù)發(fā)散, 我們不能斷定級數(shù)也發(fā)散.
但是, 如果我們用比值法或根值法判定級數(shù)發(fā)散, 則我們可以斷定級數(shù)必定發(fā)散. 這是因為, 此時|un|不趨向于零, 從而un也不趨向于零, 因此級數(shù)也是發(fā)散的.
例14 判別級數(shù)的收斂性.
例15 判別級數(shù)的收斂性.
小結(jié)
1.利用部分和數(shù)列的極限判別級數(shù)的斂散性;
2. 利用正項級數(shù)審斂法;
16、3. 任意項級數(shù)審斂法:Leibniz判別法。
第三節(jié) 冪函數(shù)
一、函數(shù)項級數(shù)的概念
函數(shù)項級數(shù): 給定一個定義在區(qū)間I 上的函數(shù)列{un(x)}, 由這函數(shù)列構(gòu)成的表達式
u1(x)+u2(x)+u3(x)+ × × × +un(x)+ × × ×
稱為定義在區(qū)間I上的(函數(shù)項)級數(shù), 記為.
收斂點與發(fā)散點:
對于區(qū)間I內(nèi)的一定點x0, 若常數(shù)項級數(shù)收斂, 則稱點x0是級數(shù)的收斂點. 若常數(shù)項級數(shù)發(fā)散, 則稱點x0是級數(shù)的發(fā)散點.
收斂域與發(fā)散域:
函數(shù)項級數(shù)的所有收斂點的全體稱 17、為它的收斂域, 所有發(fā)散點的全體稱為它的發(fā)散域.
和函數(shù):
在收斂域上, 函數(shù)項級數(shù)的和是x的函數(shù)s(x), s(x)稱為函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù), 并寫成. ∑un(x)是的簡便記法, 以下不再重述.
在收斂域上, 函數(shù)項級數(shù)∑un(x)的和是x的函數(shù)s(x), s(x)稱為函數(shù)項級數(shù)∑un(x)的和函數(shù), 并寫成s(x)=∑un(x). 這函數(shù)的定義就是級數(shù)的收斂域,
部分和:
函數(shù)項級數(shù)的前n項的部分和記作sn(x), 函數(shù)項級數(shù)∑un(x)的前n項的部分和記作sn(x), 即
sn(x) 18、= u1(x)+u2(x)+u3(x)+ × × × +un(x).
在收斂域上有或sn(x)?s(x)(n?¥) .
余項:
函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)s(x)與部分和sn(x)的差 rn (x)=s(x)-sn(x)叫做函數(shù)項級數(shù)的余項. 函數(shù)項級數(shù)∑un(x)的余項記為rn (x), 它是和函數(shù)s(x)與部分和sn(x)的差 rn (x)=s(x)-sn(x). 在收斂域上有.
二、冪級數(shù)及其收斂性
冪級數(shù):
函數(shù)項級數(shù)中簡單而常見的一類級數(shù)就是各項都冪函數(shù)的函數(shù)
項級數(shù), 這種形式的級數(shù)稱為冪級數(shù), 它的形式是
19、 a0+a1x+a2x2+ × × × +anxn+ × × × ,
其中常數(shù)a0, a1, a2, × × × , an , × × ×叫做冪級數(shù)的系數(shù).
冪級數(shù)的例子:
1+x+x2+x3+ × × × +xn + × × × ,
.
注: 冪級數(shù)的一般形式是
a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+ × × × +an(x-x0)n+ × × × ,
經(jīng)變換t=x-x0就得a0+a1t+a2t2+ × × × +antn 20、+ × × × .
冪級數(shù)
1+x+x2+x3+ × × × +xn + × × ×
可以看成是公比為x的幾何級數(shù). 當|x|<1時它是收斂的; 當|x|31時, 它是發(fā)散的. 因此它的收斂
域為(-1, 1), 在收斂域內(nèi)有
.
定理1 (阿貝爾定理) 如果級數(shù)當x=x0 (x010)時收斂, 則適合不等式
|x|<|x0|的一切x使這冪級數(shù)絕對收斂. 反之, 如果級數(shù)當
x=x0時發(fā)散, 則適合不等式|x|>|x0|的一切x使這冪級數(shù)發(fā)散.
提示: ∑anxn是的簡記形式.
簡要證明 設(shè)∑an 21、xn在點x0收斂, 則有anx0n?0(n?¥) , 于是數(shù)列{anx0n}有界, 即存在一個常數(shù)M, 使| anx0n |£M(n=0, 1, 2, × × ×).
因為 ,
而當時, 等比級數(shù)收斂, 所以級數(shù)∑|anxn|收斂, 也就是級數(shù)∑anxn絕對收斂.
定理的第二部分可用反證法證明. 倘若冪級數(shù)當x=x0時發(fā)散而有一點x1適合|x1|>|x0|使級數(shù)收斂, 則根據(jù)本定理的第一部分, 級數(shù)當x=x0時應收斂, 這與所設(shè)矛盾. 定理得證.
推論 如果級數(shù)不是僅在點x=0一點收斂, 也不是在整個數(shù)軸上都收斂, 則必有一個完全確定的正數(shù)R存在, 使得
22、
當|x| 23、 +¥).
定理2 如果, 其中an、an+1是冪級數(shù)的相鄰兩項的系數(shù), 則這冪級數(shù)的收斂半徑
.
簡要證明: .
(1)如果0 24、級數(shù)成為, 是收斂的;
當x=-1時, 冪級數(shù)成為, 是發(fā)散的. 因此, 收斂域為(-1, 1].
例2 求冪級數(shù)的收斂域.
例3 求冪級數(shù)的收斂半徑.
例4 求冪級數(shù)的收斂半徑.
解 級數(shù)缺少奇次冪的項, 定理2不能應用. 可根據(jù)比值審斂法來求收斂半徑,
冪級數(shù)的一般項記為. 因為 ,
當4|x|2<1即時級數(shù)收斂; 當4|x|2>1即時級數(shù)發(fā)散, 所以收斂半徑為.
提示: .
例5 求冪級數(shù)的收斂域.
解 令t=x-1, 上述級數(shù)變?yōu)? 因為 ,
所以收斂半徑R=2. 25、
當t=2時, 級數(shù)成為, 此級數(shù)發(fā)散; 當t=-2時, 級數(shù)成為, 此級數(shù)收斂. 因此級數(shù)的收斂域為-2£t<2. 因為-2£x-1<2, 即-1£x<3, 所以原級數(shù)的收斂域為[-1, 3).
三、冪級數(shù)的運算
設(shè)冪級數(shù)及分別在區(qū)間(-R, R)及(-R¢, R¢)內(nèi)收斂, 則在(-R, R)與(-R¢, R¢)中較小的區(qū)間內(nèi)有
加法: ,
減法: ,
設(shè)冪級數(shù)∑anxn及∑bnxn分別在區(qū)間(-R, R)及(-R¢, R¢)內(nèi)收斂, 則在(-R, R)與(-R¢, R¢)中較小的區(qū)間內(nèi)有
加法: 26、 ∑anxn+∑bnxn =∑(an+bn)xn ,
減法: ∑anxn-∑bnxn =∑(an-bn)xn .
乘法: =a0b0+(a0b1+a1b0)x+(a0b2+a1b1+a2b0)x2+ × × ×
+(a0bn+a1bn-1+ × × × +anb0)xn+ × × ×
性質(zhì)1 冪級數(shù)的和函數(shù)s(x)在其收斂域I上連續(xù). 如果冪級數(shù)在x=R (或x=-R)也收斂, 則和函數(shù)s(x)在(-R, R](或[-R, R))連續(xù).
性質(zhì)2 冪級數(shù)的和函數(shù)s(x)在其收斂域I上可積, 并且有逐項積分公式
27、 (x?I ),
逐項積分后所得到的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑.
性質(zhì)3 冪級數(shù)的和函數(shù)s(x)在其收斂區(qū)間(-R, R)內(nèi)可導, 并且有逐項求導公式
(|x| 28、有. 從而.
因為
,
所以, 當x10時, 有, 從而 .
提示: 應用公式, 即.
.
例7 求級數(shù)的和.
小結(jié)
1.求冪級數(shù)收斂域和收斂半徑的方法;
2. 冪級數(shù)的性質(zhì)。
第四節(jié) 函數(shù)展開成冪級數(shù)
一、泰勒級數(shù)
要解決的問題: 給定函數(shù)f(x), 要考慮它是否能在某個區(qū)間內(nèi)“展開成冪級數(shù)”, 就是說, 是否能找到這樣一個冪級數(shù), 它在某區(qū)間內(nèi)收斂, 且其和恰好就是給定的函數(shù)f(x). 如果能找到這樣的冪級數(shù), 我們就說, 函數(shù)f(x)在該區(qū)間內(nèi)能展開成冪級數(shù), 或簡單地說函數(shù)f(x)能展開成冪級數(shù) 29、, 而該級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)就表達了函數(shù)f(x).
泰勒多項式: 如果f(x)在點x0的某鄰域內(nèi)具有各階導數(shù), 則在該鄰域內(nèi)f(x)近似等于
,
其中(x介于x與x0之間).
泰勒級數(shù): 如果f(x)在點x0的某鄰域內(nèi)具有各階導數(shù)f¢(x), f¢¢(x), × × × , f (n)(x), × × × , 則當n?¥時, f(x)在點x0的泰勒多項式
成為冪級數(shù)
這一冪級數(shù)稱為函數(shù)f(x)的泰勒級數(shù). 顯然, 當x=x0時, f(x)的泰勒級數(shù)收斂于f( 30、x0).
需回答的問題: 除了x=x0外, f(x)的泰勒級數(shù)是否收斂? 如果收斂, 它是否一定收斂于f(x)?
定理 設(shè)函數(shù)f(x)在點x0的某一鄰域U(x0)內(nèi)具有各階導數(shù), 則f(x)在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級數(shù)的充分必要條件是f(x)的泰勒公式中的余項Rn(x)當n?0時的極限為零, 即
.
證明 先證必要性. 設(shè)f(x)在U(x0)內(nèi)能展開為泰勒級數(shù), 即
,
又設(shè)sn+1(x)是f(x)的泰勒級數(shù)的前n+1項的和, 則在U(x0)內(nèi)sn+1(x)? f(x)(n?¥).
而f(x)的n階泰勒公式可寫成f(x)=sn 31、+1(x)+Rn(x), 于是R n(x)=f(x)-sn+1(x)?0(n?¥).
再證充分性. 設(shè)Rn(x)?0(n?¥)對一切x?U(x0)成立.
因為f(x)的n階泰勒公式可寫成f(x)=sn+1(x)+R n(x), 于是sn+1(x)=f(x)-R n(x)?f(x),
即f(x)的泰勒級數(shù)在U(x0)內(nèi)收斂, 并且收斂于f(x).
麥克勞林級數(shù): 在泰勒級數(shù)中取x0=0, 得
,
此級數(shù)稱為f(x)的麥克勞林級數(shù).
展開式的唯一性: 如果f(x)能展開成x的冪級數(shù), 那么這種展式是唯一的, 它一定與f(x 32、)的麥克勞林級數(shù)一致. 這是因為, 如果f(x)在點x0=0的某鄰域(-R, R)內(nèi)能展開成x的冪級數(shù), 即
f(x)=a0+a1x+a2x2+ × × × +anxn + × × × ,
那么根據(jù)冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項求導, 有
f ¢(x)=a1+2a2x+3a3x2+ × × ×+nanxn-1+ × × × ,
f ¢¢(x)=2!a2+3×2a3x+ × × × + n×(n-1)anxn-2 + × × × ,
f ¢¢¢(x)=3!a3+ × × ×+n×(n-1)(n-2)anxn-3 + × × × ,
× × × × × × 33、 × × × × × × × × ×
f (n)(x)=n!an+(n+1)n(n-1) × × × 2an+1x + × × × ,
于是得
a0=f(0), a1=f ¢(0), , × × ×, , × × ×.
應注意的問題: 如果f(x)能展開成x的冪級數(shù), 那么這個冪級數(shù)就是f(x)的麥克勞林級數(shù). 但是, 反過來如果f(x)的麥克勞林級數(shù)在點x0=0的某鄰域內(nèi)收斂, 它卻不一定收斂于f(x). 因此, 如果f(x)在點x0=0處具有各階導數(shù), 則f(x)的麥克勞林級數(shù)雖然能作出來, 但這個級數(shù)是否在某個區(qū) 34、間內(nèi)收斂, 以及是否收斂于f(x)卻需要進一步考察.
二、函數(shù)展開成冪級數(shù)
展開步驟:
第一步 求出f (x)的各階導數(shù): f ¢(x), f ¢¢(x), × × × , f (n)(x), × × × .
第二步 求函數(shù)及其各階導數(shù)在x=0 處的值: f(0), f ¢(0), f ¢¢(0), × × × , f (n)( 0), × × × .
第三步 寫出冪級數(shù):, 并求出收斂半徑R.
第四步 考察在區(qū)間(-R, R)內(nèi)時是否Rn(x)?0(n?¥).
是否為零. 如果Rn(x)?0(n?¥), 35、則f(x)在(-R, R)內(nèi)有展開式
(-R 36、x<1).
注: 收斂半徑的確定: 由-1<-x2<1得-1 37、x-1)的冪級數(shù).
提示: ,.
,
,
收斂域的確定: 由和得.
展開式小結(jié):
,
,
,
,
,
.
小結(jié)
1.函數(shù)的冪級數(shù)展開式;
2.常用函數(shù)的冪級數(shù)展開式;
練習題
(A)
用定義判斷下列級數(shù)的斂散性
1. ;2.;3.。
判斷下列正項級數(shù)的斂散性
4.;5.;6.;7.;8.;
9.;10.。
求下列任意項級數(shù)的斂散性,收斂時要說明條件收斂或絕對收斂
11.;12.;13.;
14.;
求下列冪級數(shù)的收斂半徑和收斂區(qū)間
15.;16.;17.;18.; 38、
19.;20.;
求下列級數(shù)的和函數(shù)
21.;22.;
將下列函數(shù)展開成的冪的級數(shù)
23.,;24.,;
25.,;26.,;
(B)
用定義判斷下列級數(shù)的斂散性
1.;2.;3.;
判斷下列正項級數(shù)的斂散性
4.;5.;6.,();
7.,其中(),,,均為正數(shù);
8.,();9.;
判斷下列任意項級數(shù)的斂散性,收斂時要說明條件收斂或絕對收斂
10.;11.;12.;
求下列冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域
13.;14.,(,);
15.;16.;
求下列級數(shù)的和函數(shù)
17.;18.;19.;
20.求證:;
將下列函數(shù)展開成的冪的級數(shù)
21.,;2 39、2.,;23.,;
(C)
1.用定義判斷下列級數(shù)的斂散性
2.設(shè),,判斷級數(shù)
的斂散性。
判斷下列正項級數(shù)的斂散性
3.;4.;5.;
6.判斷級數(shù)的斂散性。
求下列冪級數(shù)的收斂半徑和收斂區(qū)間
7.;8.;
求下列級數(shù)的和
9.
10.展開為冪級數(shù),并推出。
11.求級數(shù)的收斂區(qū)間及和函數(shù)。
(A)
1.解:∵,(),∴原級數(shù)發(fā)散。
2.解:∵,(),∴原級數(shù)收斂且和為。
3.解:∵ ,(),∴原級數(shù)收斂且和為。
4.解:∵,∴由比值判別法知原級數(shù)發(fā)散。
5.解:∵,∴由比值判別法知,原級數(shù)收斂。
6.解:∵,∴原級數(shù)發(fā)散。
7.解:∵,而發(fā)散, 40、∴由比較判別法知原級數(shù)發(fā)散。
8.解:∵,∴由比值判別法知,原級數(shù)收斂。
9.解:∵,∴由比值判別法知,原級數(shù)收斂。
10.解:∵,而,故,∴由比值判別法知,原級數(shù)收斂。
11.解:,由正項級數(shù)的比值判別可知,此級數(shù)收斂,故原級數(shù)絕對收斂。
12.解:,而發(fā)散,故發(fā)散。因此原級數(shù)非絕對收斂,又,顯然,,且,故由萊布尼茲判別法知原級數(shù)條件收斂。
13.解:∵,∴原級數(shù)發(fā)散。
14.解:此為交錯級數(shù),∵,()而級數(shù)發(fā)散,故發(fā)散,即原級數(shù)非絕對收斂,顯然單調(diào)遞減且趨向于零,故原級數(shù)條件收斂。
15.解:∵,∴,當時,級數(shù)為發(fā)散,當時,級數(shù)為收斂。故原級數(shù)的收斂區(qū)間為。
16.解:∵ 41、,,∴,收斂區(qū)間為。
17.解:∵,,∴。
18.解:∵,∴。故當,即時收斂,當或時發(fā)散,當時,級數(shù)為,收斂;當時,級數(shù)為,發(fā)散。故收斂區(qū)間為。
19.解:∵,,當時,即時收斂,當,即或時發(fā)散,∴。當時原級數(shù)為,發(fā)散,故收斂區(qū)間為。
20.解:∵,,∴,當時,原級數(shù),發(fā)散。故收斂區(qū)間為。
21.解:設(shè),,
∴,。
22.解:設(shè),,則
,
即,
∴,。
23.解:,。
24.解:
,。
25.解:,
。
26.解:
,即
(B)
1.解:∵, ,∴原級數(shù)收斂且和為。
2.解:∵
42、
,,∴原級數(shù)收斂且和為。
3.解:∵
,,∴原級數(shù)收斂且和為。
4.解:∵,∴由比值判別法知原級數(shù)收斂。
5.解:∵,∴由根值判別法知原級數(shù)收斂。
6.解:∵當充分大時有,而,故,∴由根值判別法知原級數(shù)收斂。
7.解:∵,,∴當,即 時,原級數(shù)收斂;,即 ,原級數(shù)發(fā)散,當時不定。
8.解:當時,∵,∴級數(shù)發(fā)散。
當時,∵,(),而收斂,∴級數(shù)發(fā)散。
9.解:∵,∵收斂,∴由比較判別法知級數(shù)收斂。
10.解:∵,,故也發(fā)散,故也非條件收斂。
11.解:∵,而發(fā)散,故級數(shù)發(fā)散,即原級數(shù)非絕對收斂,原級數(shù)為交錯級數(shù),顯然數(shù)列單調(diào)遞減且收斂于零,故由萊布尼茲判別法知, 43、原級數(shù)條件收斂。
12.解:∵,而發(fā)散,∴發(fā)散,即原級數(shù)非絕對收斂。
記原級數(shù)為為交錯級數(shù),∵
又,即,故由萊布尼茲判別法知原級數(shù)收斂,故原級數(shù)條件收斂。
13.解:∵,,故對,原級數(shù)收斂,所以收斂半徑為,收斂區(qū)間為。
14.∵,∴,當時,原級數(shù)發(fā)散,故收斂區(qū)間為,其中。
15.解:∵,,
∴當,即時,原級數(shù)收斂,當,即或時,原級數(shù)發(fā)散,當,原級數(shù)收斂,當時原級數(shù)也收斂。故原級數(shù)收斂半徑為2,收斂區(qū)間為。
16.解:∵,,∴,當,即,原級數(shù)收斂。當時,原級數(shù)收斂,當時,原級數(shù)發(fā)散。故原級數(shù)的收斂區(qū)間為。
17.解:,但 ,故有,。
18.解:∵,,而 ,
∴,。
19. 44、解:∵,
∵
,故
,。
20.證明:考慮級數(shù),,逐項微分得:,。
,取,得。
21.解:,,,, 。
∴,。
22.解:
,()。
23.解:∵
,
∴,。
(C)
1.解:
,
故原級數(shù)收斂,且和為。
2.證:,由比較判別法知原正項級數(shù)收斂。
3.解:∵,,∴由比值判別法知,原級數(shù)發(fā)散。
4.解:考慮函數(shù),,,由得,易知時的最大值,所以當?shù)?,,∴,但為收斂的幾何級?shù),∴原級數(shù)也收斂。
5.解:,∵有;而當時,有,∴當時,,而級九可判別其是收斂的,∴原級數(shù)收斂。 45、
6.解:因為已知級數(shù) 條件收斂的級數(shù)。設(shè)其部分和數(shù)極限為,則有,而級數(shù),取其前項,其和與的部分和相等且為,當時,,故原級數(shù)收斂且和為。
7.解:,,當,即時,收斂;當時發(fā)散。故,當時,級數(shù)為發(fā)散,故原級數(shù)收斂域為。
8.解:,由于,而當,故;當時,原級數(shù)為,由于通項不以零為極限,故發(fā)散。所以原級數(shù)的收斂域為。
9.解:當時,級數(shù)收斂。設(shè),,則,,,,兩邊積分得:
,(∵);
再積分一次
,(∵);
∴,即原級數(shù)的和。
10.解:∵,∴
因為當時,
又當時,
故展開式對所有的均成立,在展開式中令,得
。
11.解:,(),故當,即當時級數(shù)收斂,當時級數(shù)發(fā)散,因此原級數(shù)收斂區(qū)間為,且
,。
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