第一部分教材知識(shí)梳理 第二單元方程 組 與不等式 組 第7課時(shí)一元二次方程及其應(yīng)用 中考考點(diǎn)清單 考點(diǎn)1一元二次方程及其解法 考點(diǎn)2一元二次方程根的判別式 2011版新課標(biāo)選學(xué)內(nèi)容 考點(diǎn)3一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系 2011版新課標(biāo)選學(xué)內(nèi)容 考點(diǎn)4一元二次方程的應(yīng)用 1 如果一個(gè)方程通過(guò)整理可以使右邊為0 而左邊是只含有一個(gè)未知數(shù)的二次多項(xiàng)式 那么這樣的方程叫一元二次方程 一般形式ax2 bx c 0 a b c是已知數(shù) a 0 其中a b c分別叫做二次項(xiàng)系數(shù) 一次項(xiàng)系數(shù) 常數(shù)項(xiàng) 考點(diǎn)1一元二次方程及其解法 2 一元二次方程的解法 考點(diǎn)2一元二次方程根的判別式 2011版新課標(biāo)選學(xué)內(nèi)容 設(shè)方程ax2 bx c 0 a 0 的兩根分別為x1 x2 則x1 x2 x1 x2 考點(diǎn)3一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系 2011版新課標(biāo)選學(xué)內(nèi)容 1 用一元二次方程解實(shí)際問(wèn)題的一般步驟 考點(diǎn)4一元二次方程的應(yīng)用 實(shí)際問(wèn)題 列一元二次方程 解一元二次方程 一元二次方程的根 答 找等量關(guān)系 設(shè)未知數(shù) 檢驗(yàn) 2 一元二次方程實(shí)際問(wèn)題的常見(jiàn)類型 1 平均增長(zhǎng)率 下降率 問(wèn)題 A 增長(zhǎng)率 增量 基礎(chǔ)量 100 B 設(shè)a為原來(lái)量 m為平均增長(zhǎng)率 n為增長(zhǎng)次數(shù) b為增長(zhǎng)后的量 則 當(dāng)m為平均下降率 n為下降次數(shù) b為下降后的量 則 2 利潤(rùn)問(wèn)題 見(jiàn)第6課時(shí)考點(diǎn)3 3 面積問(wèn)題 A 如圖 1 設(shè)空白部分的寬為x 則S陰影 B 如圖 2 設(shè)陰影部分的寬為x 則S空白 C 如圖 3 設(shè)陰影部分的寬為x 則S空白 a 2x b 2x a x b x a x b x 常考類型剖析 類型一一元二次方程的解法 例1 15蘭州 解方程 x2 1 2 x 1 思路分析 根據(jù)配方法的步驟先將方程配成 x h 2 k k 的形式 再用直接開(kāi)平方法求解 本題也可用因式分解法求解 解 配方法 原方程可變形為 x2 2x 3 配方得 x2 2x 1 4 整理得 x 1 2 4 解得 x1 1或x2 3 一題多解 因式分解法 x2 1 2 x 1 分解因式得 x 1 x 1 2 x 1 移項(xiàng)得 x 1 x 1 2 x 1 0 提取公因式得 x 1 x 3 0 解得x1 1或x2 3 拓展1 15重慶A卷 一元二次方程x2 2x 0的根是 A x1 0 x2 2B x1 1 x2 2C x1 1 x2 2D x1 0 x2 2 D 解析 用因式分解法 得x x 2 0 即x 0或x 2 0 x1 0 x2 2 類型二一元二次方程根的判別式 例2 15河南 已知關(guān)于x的一元二次方程 x 3 x 2 m 1 求證 對(duì)于任意實(shí)數(shù)m 方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 2 若方程的一個(gè)根是1 求m的值及方程的另一個(gè)根 1 思路分析 先化簡(jiǎn)整理一元二次方程 列出根的判別式 再根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性 判斷根的判別式與0的大小關(guān)系 即可得證 證明 原方程可化為x2 5x 6 m 0 由根的判別式可得 5 2 4 1 6 m 25 24 4 m 1 4 m m 0 1 4 m 1 0 對(duì)于任意實(shí)數(shù)m 方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 解 把x 代入原方程 得 1 3 1 2 m 即 m 2 m 2 把 m 2代入原方程 得x2 5x 4 0 x1 1 x2 4 m的值為 2 方程的另一根是4 2 思路分析 當(dāng)x 時(shí) 代入原方程得到 m 的值 根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì) 得到m有兩個(gè)值 把 m 的值代入原方程進(jìn)行求解 即得到另一個(gè)根 A 拓展2 15連云港 已知關(guān)于x的方程x2 2x 3k 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 則k的取值范圍是 A k C k 且k 0 解析 方程x2 2x 3k 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 b2 4ac 0 即 2 2 4 3k 0 解得k 類型三一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系 例3 15黃岡 若方程x2 2x 1 0的兩根分別為x1 x2 則x1 x2 x1x2的值為 3 思路點(diǎn)撥 直接運(yùn)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解 解析 由于已知方程有兩根 則根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系 得 x1 x2 x1x2 所以x1 x2 x1x2 2 1 3 備考指導(dǎo) 一元一次方程中利用根與系數(shù)的關(guān)系求代數(shù)式的值 常用到的幾個(gè)關(guān)系式 注意隱含條件 a 0 b2 4ac 0 拓展3 15天門 已知關(guān)于x的一元二次方程x2 4x m 0 1 若方程有實(shí)數(shù)根 求實(shí)數(shù)m的取值范圍 2 若方程兩實(shí)數(shù)根分別為x1 x2 且滿足5x1 2x2 2 求實(shí)數(shù)m的值 類型四一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用 例4 15安徽 我省2013年的快遞業(yè)務(wù)量為1 4億件 受益于電子商務(wù)發(fā)展和法治環(huán)境改善等多重因素 快遞業(yè)迅猛發(fā)展 2014年增速位居全國(guó)第一 若2015年的快遞業(yè)務(wù)量達(dá)到4 5億件 設(shè)2014年與2015年這兩年的年平均增長(zhǎng)率為x 則下列方程正確的是 A 1 4 1 x 4 5B 1 4 1 2x 4 5C 1 4 1 x 2 4 5D 1 4 1 x 1 4 1 x 2 4 5 C 思路點(diǎn)撥 根據(jù)題意可得等量關(guān)系 2013年的快遞業(yè)務(wù)量 1 增長(zhǎng)率 2 2015年的快遞業(yè)務(wù)量 根據(jù)等量關(guān)系列出方程即可 解析 根據(jù)題意可知 2014年與2015年這兩年的平均增長(zhǎng)率均為x 所以2014年的快遞業(yè)務(wù)量為1 4 1 x 億件 2015年的快遞業(yè)務(wù)量1 4 1 x 1 x 億件 即1 4 1 x 2 4 5億件 故選C 拓展4 15烏魯木齊 某商品現(xiàn)在的售價(jià)為每件60元 每星期可賣出300件 市場(chǎng)調(diào)查反映 每降價(jià)1元 每星期可多賣出20件 已知商品的進(jìn)價(jià)為每件40元 在顧客得實(shí)惠的前提下 商家還想獲得6080元的利潤(rùn) 應(yīng)將銷售單價(jià)定為多少元 解 設(shè)每件降價(jià)x元 根據(jù)題意得 60 x 40 300 20 x 6080 解得x1 1 x2 4 又考慮到顧客得實(shí)惠 故x 4 即定價(jià)為56元 答 應(yīng)該將銷售價(jià)定為56元 失分點(diǎn)8忽略一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)不為0的條件 關(guān)于x的一元二次方程 a 5 x2 4x 1 0有實(shí)數(shù)根 則a滿足 A a 1B a 1且a 5C a 1且a 5D a 5 解 關(guān)于x的方程 a 5 x2 4x 1 0有實(shí)數(shù)根 第一步 16 4 a 5 0 第二步 a 1 故選A 第三步上述解法是從第 步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤的 應(yīng)改為 此題的最終結(jié)果是 名師提醒 求一元二次方程中字母的取值范圍時(shí) 切記方程中的二次項(xiàng)系數(shù)不為0 二 16 4 a 5 0且a 5 0 C 失分點(diǎn)9解一元二次方程 丟根 問(wèn)題 求方程3x2 8x 0的根 解 方程兩邊同時(shí)除以x得 3x 8 0 第一步3x 8 第二步x 第三步 方程的根為 一 x 3x 8 0 名師提醒 解一元二次方程時(shí) 若方程中不含常數(shù)項(xiàng) 切記未知數(shù)不能約掉