第七章圖形的變化第31課時(shí)相似與位似 第一部分考點(diǎn)研究 考點(diǎn)精講 相似與位似 比例線段及其性質(zhì)平行線分線段成比例定理相似圖形位似圖形 1 線段的比2 比例線段3 比例的性質(zhì)4 黃金分割 概念 形狀相同的圖形叫做相似圖形相似三角形相似多邊形 1 概念2 性質(zhì)3 位似作圖步驟 1 概念2 性質(zhì)3 判定 線段的比 兩條線段的比是兩條線段的 之比2 比例線段 在四條線段中 如果兩條線段的比 另兩條線段的比 即 那么這四條線段a b c d叫做成比例線段 簡(jiǎn)稱比例線段 長(zhǎng)度 等于 3 比例的性質(zhì) bd 0 2 如果 那么3 如果 那么 ad bc 4 黃金分割 一般地 點(diǎn)B把線段AC分成兩部分 如果 那么稱線段AC被點(diǎn)B黃金分割 點(diǎn)B為線段AC的黃金分割點(diǎn) AB與AC 或BC與AB 的比稱為黃金比 它們的比值為 計(jì)算時(shí)通常取它的近似值0 618 平行線分線段成比例定理 兩條線段被一組平行線所截 所得的對(duì)應(yīng)線段成比例 如圖 當(dāng)l3 l4 l5時(shí) 有等 1 概念 對(duì)應(yīng)角相等 對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形2 性質(zhì) 1 相似三角形的 相等 2 相似三角形對(duì)應(yīng)高的比 對(duì)應(yīng)中線的比與對(duì)應(yīng)角平分線的比都 相似比 3 相似三角形的周長(zhǎng)比等于 面積比等于 對(duì)應(yīng)角 等于 相似比 相似比的平方 3 判定 1 平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交 所截得的三角形與原三角形相似 2 分別相等 兩三角形相似 3 兩邊對(duì)應(yīng)成比例且 相等的兩三角形相似 4 三邊 的兩三角形相似 5 兩直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例 兩直角三角形相似 兩角 夾角 對(duì)應(yīng)成比例 相似多邊形 1 定義 各角分別 各邊 的兩個(gè)多邊形它們的形狀相同稱為相似多邊形 相似多邊形 的比叫做相似比 2 性質(zhì) 相似多邊形的對(duì)應(yīng)角 對(duì)應(yīng)邊 相似多邊形的周長(zhǎng)比等于 面積比等于 相等 對(duì)應(yīng)成比例 對(duì)應(yīng)邊相等 相等 成比例 相似比 相似比的平方 如圖 兩個(gè)多邊形的頂點(diǎn)A與A B與B C與C 所在的直線都經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)O 并且像這樣的兩個(gè)多邊形叫做位似多邊形 點(diǎn)O叫做位似中心 2 性質(zhì) 兩個(gè)位似多邊形一定相似 并且它們的對(duì)應(yīng)邊互相平行 或在同一條直線上 利用位似可以把一個(gè)圖形按所給相似比放大或縮小3 位似作圖步驟 確定位似中心 確定原圖形的關(guān)鍵點(diǎn) 確定位似比 即要將圖形放大或縮小的倍數(shù) 作出原圖形中各關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn) 按原圖形的連接順序連接所作的各個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn) 重難點(diǎn)突破 平行線分線段成比例 例1 2015舟山 如圖 直線l1 l2 l3 直線AC分別交l1 l2 l3于點(diǎn)A B C 直線DF分別交l1 l2 l3于點(diǎn)D E F AC與DF相交于點(diǎn)G 且AG 2 GB 1 BC 5 則的值為 A B 2C D 思路點(diǎn)撥 根據(jù)平行線分線段成比例可得 代入計(jì)算 可求得答案 D 兩條線段被一組平行線所截 所得的對(duì)應(yīng)線段成比例 解決此類問(wèn)題 只要找出與所求線段對(duì)應(yīng)的已知線段的比例關(guān)系 根據(jù)其對(duì)應(yīng)成比例可求得 相似三角形的判定與性質(zhì) 例2 2015泰安 如圖 在 ABC中 AB AC 點(diǎn)P D分別是BC AC邊上的點(diǎn) 且 APD B 1 求證 AC CD CP BP 2 若AB 10 BC 12 當(dāng)PD AB時(shí) 求BP的長(zhǎng) 1 思路分析 由AB AC 可得 B C 又由 APD B 可得 APD C 利用三角形的外角的性質(zhì)可得 APC B BAP APC APD DPC 又 B APD BAP DPC 易證 APD ACP ABP PCD 然后由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得到相應(yīng)比例式 進(jìn)而可求證結(jié)論 證明 在 ABC中 AB AC B C APD B APD C 又 PAD CAP APD ACP 即 APC B BAP APC APD DPC B BAP APD DPC BAP DPC 又 B C ABP PCD AC CD CP BP 2 思路分析 根據(jù)PD AB APD B 得 BAP B 即 BAP C 于是易得 ABP CBA 然后由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例 即可求得BP的長(zhǎng) 解 PD AB BAP APD APD B BAP B 又 B C BAP C 又 B B ABP CBA AB 10 BC 12 1 判定兩個(gè)三角形相似的基本思路 1 條件中若有一對(duì)等角 則可找另一對(duì)等角或找兩夾邊對(duì)應(yīng)成比例 2 條件中有兩邊對(duì)應(yīng)成比例 則找?jiàn)A角相等 或找第三邊對(duì)應(yīng)成比例 3 條件中已知等腰三角形 則可找頂角相等 或找底角相等 或底和腰對(duì)應(yīng)成比例 4 在直角三角形和網(wǎng)格圖中 通常用勾股定理得出 兩個(gè)三角形中對(duì)應(yīng)邊的比相等 通過(guò)三組對(duì)應(yīng)邊的比相等或兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且對(duì)應(yīng)夾角相等判定兩個(gè)三角形相似 2 用相似三角形性質(zhì)求線段長(zhǎng) 角度 1 先看成比例或要求線段所在的三角形 確定可能的相似三角形 2 找出兩三角形相似的條件 結(jié)合相似三角形性質(zhì)求解 如果這兩個(gè)三角形不相似 則可找中間比代換或作輔助線構(gòu)造相似三角形求解