第25講圓的基本性質 1 主要概念 1 圓 平面上到 的距離等于 的所有點組成的圖形叫做圓 叫圓心 叫半徑 以O為圓心的圓記作 O 2 弧和弦 圓上任意兩點間的部分叫 連接圓上任意兩點的線段叫 經過圓心的弦叫直徑 是最長的弦 3 圓心角 頂點在 角的兩邊與圓相交的角叫圓心角 4 圓周角 頂點在 角的兩邊與圓相交的角叫圓周角 5 等弧 在同圓或等圓中 能夠完全 的弧 定點 定長 定點 定長 弧 弦 直徑 圓心 圓上 重合 2 圓的有關性質 1 圓的對稱性 圓是圖形 其對稱軸是 圓是圖形 對稱中心是 旋轉不變性 即圓繞著它的圓心旋轉任意一個角度 都能與原來的圖形重合 2 垂徑定理及推論 垂徑定理 垂直于弦的直徑 并且 垂徑定理的推論 平分弦 不是直徑 的直徑 并且 弦的垂直平分線 并且平分弦所對的兩條弧 平分弦所對的一條弧的直徑 垂直平分弦 并且平分弦所對的另一條弧 軸對稱 過圓心的任意一條直線 中心對稱 圓心 平分弦 平分弦所對的兩條弧 垂直于弦 平分弦所對的兩條弧 經過圓心 3 弦 弧 圓心角的關系定理及推論 弦 弧 圓心角的關系 在同圓或等圓中 相等的圓心角所對的弧 所對的弦 推論 在同圓或等圓中 如果兩個 中有一組量相等 那么它們所對應的其余各組量都分別相等 4 圓周角定理及推論 圓周角定理 一條弧所對的圓周角等于它所對圓心角的 圓周角定理的推論 同弧或等弧所對的圓周角相等 同圓或等圓中相等的圓周角所對的弧 半圓 或直徑 所對的圓周角是 90 的圓周角所對的弦是 相等 相等 圓心角 兩條弧 兩條弦 兩條弦心距 一半 相等 直角 直徑 5 點和圓的位置關系 設d為點P到圓心的距離 r為圓的半徑 點P在圓上 點P在圓內 點P在圓外 6 過三點的圓 經過不在同一直線上的三點 有且只有一個圓 經過三角形各頂點的圓叫做三角形的外接圓 外接圓的圓心叫做三角形的外心 三角形的外心是三邊的交點 這個三角形叫做這個圓的內接三角形 銳角三角形的外心在三角形內部 直角三角形的外心在斜邊中點處 鈍角三角形的外心在三角形的外部 7 圓的內接四邊形 圓內接四邊形的對角 d r d r d r 垂直平分線 互補 1 有關弦的問題 常作其弦心距 構造直角三角形 2 有關直徑的問題 常作直徑所對的圓周角 D C C B 5 2015 甘肅省 ABC為 O的內接三角形 若 AOC 160 則 ABC的度數(shù)是 A 80 B 160 C 100 D 80 或100 6 2015 甘南州 如圖 AB為 O的弦 O的半徑為5 OC AB于點D 交 O于點C 且CD 1 則弦AB的長是 D 6 36 30 或150 C 點評 本題考查的是垂徑定理及勾股定理 根據(jù)題意作出輔助線 構造出直角三角形是解答此題的關鍵 對應訓練 1 2014 哈爾濱 如圖 O是 ABC的外接圓 弦BD交AC于點E 連接CD 且AE DE BC CE 1 求 ACB的度數(shù) 2 過點O作OF AC于點F 延長FO交BE于點G DE 3 EG 2 求AB的長 例2 2014 龍東 直徑為10cm的 O中 弦AB 5cm 則弦AB所對的圓周角是 點評 在很多沒有給定圖形的問題中 常常不能根據(jù)題目的條件把圖形確定下來 因此會導致解的不唯一性 這種題一題多解 必須分類討論 本題中 弦所對的圓周角不是唯一的 圓周角的頂點可能在優(yōu)弧上 也可能在劣弧上 依據(jù) 圓內接四邊形的對角互補 可知這兩個角互補 30 或150 對應訓練 2 2015 臺州 如圖 四邊形ABCD內接于 O 點E在對角線AC上 EC BC DC 1 若 CBD 39 求 BAD的度數(shù) 2 求證 1 2 解 1 BC DC CBD CDB 39 BAC CDB 39 CAD CBD 39 BAD BAC CAD 39 39 78 2 證明 EC BC CEB CBE 而 CEB 2 BAE CBE 1 CBD 2 BAE 1 CBD BAE CBD 1 2 例3 2015 眉山 如圖 O是 ABC的外接圓 ACO 45 則 B的度數(shù)為 A 30 B 35 C 40 D 45 點評 當圖中出現(xiàn)同弧或等弧時 常?？紤]到弧所對的圓周角或圓心角 一條弧所對的圓周角等于該弧所對的圓心角的一半 通過相等的弧把角聯(lián)系起來 D 對應訓練 3 2015 海南 如圖 將 O沿弦AB折疊 圓弧恰好經過圓心O 點P是優(yōu)弧AMB上一點 則 APB的度數(shù)為 A 45 B 30 C 75 D 60 D 例4 矩形ABCD中 AB 8 BC 35 P點在邊AB上 且BP 3AP 如果圓P是以點P為圓心 PD為半徑的圓 那么下列判斷正確的是 A 點B C均在圓P外B 點B在圓P外 點C在圓P內C 點B在圓P內 點C在圓P外D 點B C均在圓P內 點評 本題考查了點與圓的位置關系的判定 根據(jù)點與圓心之間的距離和圓的半徑的大小關系作出判斷 對應訓練 4 在數(shù)軸上 點A所表示的實數(shù)為3 點B所表示的實數(shù)為a A的半徑為2 下列說法中不正確的是 A 當a 5時 點B在 A內B 當1 a 5時 點B在 A內C 當a 1時 點B在 A外D 當a 5時 點B在 A外 C A