第31課時(shí)弧長及扇形的面積 圓錐的側(cè)面積和全面積 1 正六邊形的邊心距與邊長之比為 2 2014 云南 已知扇形的圓心角為45 半徑長為12 則該扇形的弧長為 小題熱身 B C 3 2015 常德 一個(gè)圓錐的底面半徑為1cm 母線長為2cm 則該圓錐的側(cè)面積是 cm2 結(jié)果保留 4 2015 濰坊模擬 如圖31 1 Rt ABC中 BAC 90 AB AC 2 以AB為直徑的圓交BC于點(diǎn)D 則陰影部分的面積為 2 圖31 1 一 必知4知識點(diǎn)1 正多邊形和圓正多邊形 各邊相等 各內(nèi)角也相等的多邊形叫做正多邊形 正多邊形的外接圓 經(jīng)過一個(gè)正多邊形的各個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做這個(gè)正多邊形的 圓內(nèi)接正多邊形 這個(gè)正多邊形叫做圓內(nèi)接正多邊形 正多邊形的對稱性 正多邊形是軸對稱圖形 對稱軸有無數(shù)多條 考點(diǎn)管理 外接圓 智慧錦囊 正多邊形的有關(guān)計(jì)算 2 圓的周長與弧長公式圓的周長 若圓的半徑是R 則圓的周長c 弧長公式 若一條弧所對的圓心角是n 半徑是R 則弧長是l 3 扇形的面積公式 1 對于半徑是R 圓心角是n 的扇形的面積是S 2 對于弧長是l 半徑是R的扇形的面積是S 說明 當(dāng)已知半徑R和圓心角的度數(shù)求扇形的面積時(shí) 選用公式 當(dāng)已知半徑R和弧長求扇形的面積時(shí) 應(yīng)選用公式 2 R 4 圓錐的側(cè)面積和全面積圓錐側(cè)面展開圖 沿著圓錐的母線 把圓錐的側(cè)面展開 得到一個(gè)扇形 這個(gè)扇形的弧長等于圓錐底面的周長 而扇形的半徑等于圓錐的 長 圓錐側(cè)面積與全面積 如圖31 2 若圓錐的底面半徑為r 母線長為l 則它的側(cè)面積S側(cè) 全面積S全 圖31 2 母線 rl r2 rl 智慧錦囊 圓錐的基本特征 1 圓錐的母線長都相等 2 圓錐的側(cè)面展開圖是半徑等于母線長 弧長等于圓錐底面周長的扇形 二 必會2方法1 三招教你求陰影部分的面積思路 1 將所求陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為已學(xué)過的易求圖形的面積和差 2 適當(dāng)作輔助線 將所求陰影部分面積割補(bǔ)為學(xué)過易求圖形的面積 方法 1 作差法 2 割補(bǔ)法 3 等積變形法 2 解圓錐 柱 題的 四字訣 展 圍 轉(zhuǎn) 剖展 把一個(gè)圓錐 柱 的側(cè)面沿著它的一條母線剪開后展在一個(gè)平面上的一種活動 圍 將扇形圍成圓錐側(cè)面或矩形卷成圓柱側(cè)面的一種活動 轉(zhuǎn) 圓錐 柱 可以看成是由一個(gè)直角三角形 矩形 旋轉(zhuǎn)得到的 剖 對圓錐 柱 沿著它的軸將其一分為二 所得到的截面一般是等腰三角形 矩形 這個(gè)等腰三角形的腰長等于圓錐的母線長 底邊長等于圓錐的底面直徑 矩形的一邊長等于圓柱的母線長 另一邊長等于圓柱的底面直徑 三 必明2易錯(cuò)點(diǎn)1 在應(yīng)用公式弧長l 與扇形的面積公式S 計(jì)算時(shí) n 和 180 不再寫單位 2 1 圓錐有無數(shù)條母線 圓錐的母線長不等于圓錐的高 2 圓錐的母線長為側(cè)面展開后所得扇形的半徑 注意與圓錐底面半徑的區(qū)分 類型之一正多邊形的性質(zhì) C 解析 如答圖所示 連結(jié)OA OB 過O作OD AB 多邊形ABCDEF是正六邊形 OAD 60 2 第1題答圖 A 3B 4C 5D 6 C 圖31 3 解析 如答圖 三角形的斜邊長為a 變式跟進(jìn)2答圖 3 2014 萊蕪 如圖31 4 正五邊形ABCDE中 連結(jié)AC AD CE CE交AD于點(diǎn)F 連結(jié)BF 下列說法不正確的是 A CDF的周長等于AD CDB FC平分 BFDC AC2 BF2 4CD2D DE2 EF CE 解析 五邊形ABCDE是正五邊形 AB BC CD DE AE BA CE AD BC AC DE AC AD CE 四邊形ABCF是菱形 B 圖31 4 CF AF CDF的周長等于CF DF CD 即 CDF的周長等于AD CD 故A說法正確 四邊形ABCF是菱形 AC BF 設(shè)AC與BF交于點(diǎn)O 由勾股定理得OB2 OC2 BC2 AC2 BF2 2OC 2 2OB 2 4OC2 4OB2 4BC2 AC2 BF2 4CD2 故C說法正確 由正五邊形的性質(zhì)得 ADE ECD DCE EDF CDE DFE 類型之二弧長計(jì)算 圖31 5 4 1 2015 巴中 圓心角為60 半徑為4cm的扇形的弧長為 cm 2 2015 溫州 已知扇形的圓心角為120 弧長為2 則它的半徑為 3 類型之三扇形的面積計(jì)算 2015 麗水 如圖31 6 在 ABC中 AB AC 以AB為直徑的 O分別與BC AC交于點(diǎn)D E 過點(diǎn)D作 O的切線DF 交AC于點(diǎn)F 1 求證 DF AC 2 若 O的半徑為4 CDF 22 5 求陰影部分的面積 圖31 6 解 1 證明 連結(jié)OD OB OD ABC ODB AB AC ABC ACB ODB ACB OD AC DF是 O的切線 DF OD DF AC 例3答圖 2 連結(jié)OE DF AC CDF 22 5 ABC ACB 67 5 BAC 45 OA OE AOE 90 O的半徑為4 S扇形AOE 4 S AOE 8 S陰影 S扇形AOE S AOE 4 8 1 2014 資陽 如圖31 7 扇形AOB中 半徑OA 2 AOB 120 C是弧AB的中點(diǎn) 連結(jié)AC BC 則圖中陰影部分的面積是 A 圖31 7 解析 連結(jié)OC AOB 120 C為弧AB中點(diǎn) AOC BOC 60 OA OC OB 2 AOC BOC是等邊三角形 AC BC OA 2 變式跟進(jìn)1答圖 陰影部分的面積是 2 2015 達(dá)州 如圖31 8 直徑AB為12的半圓 繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60 此時(shí)點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)B 則圖中陰影部分的面積是 A 12 B 24 C 6 D 36 圖31 8 B 解析 AB AB 12 BAB 60 圖中陰影部分的面積是 S S扇形B AB S半圓O S半圓O 變式跟進(jìn)2答圖 3 2015 日照 如圖31 9 等腰直角 ABC中 AB AC 8 以AB為直徑的半圓O交斜邊BC于D 則陰影部分面積為 結(jié)果保留 A 圖31 9 解析 如答圖連結(jié)AD OD ABC是等腰直角三角形 AB AC 8 點(diǎn)悟 求不規(guī)則圖形的面積 常轉(zhuǎn)化為易解決問題的基本圖形 然后求出各圖形的面積 通過面積的和差求出結(jié)果 變式跟進(jìn)3答圖 類型之四圓錐 柱 側(cè)面展開圖和全面積的計(jì)算 2015 湖州 若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為18cm 圓心角為240 的扇形 則這個(gè)圓錐的底面半徑長是 A 6cmB 9cmC 12cmD 18cm C 1 2015 寧波 如圖31 10 用一個(gè)半徑為30cm 面積為300 cm2的扇形鐵皮 制作一個(gè)無底的圓錐 不計(jì)損耗 則圓錐的底面半徑r為 A 5cmB 10cmC 20cmD 5 cm B 圖31 10 2 一個(gè)幾何體由圓錐和圓柱組成 其尺寸如圖31 11所示 則該幾何體的全面積 即表面積 為 結(jié)果保留 圓錐的側(cè)面積是4 5 20 圓柱的側(cè)面積是8 4 32 該幾何體的下底面面積是 42 16 該幾何體的全面積 即表面積 為20 32 16 68 圖31 11 68 類型之五平面圖形的滾動問題如圖31 12 矩形ABCD中 AB 4 BC 3 邊CD在直線l上 將矩形ABCD沿直線l作無滑動翻滾 當(dāng)點(diǎn)A第一次翻滾到點(diǎn)A1位置時(shí) 則點(diǎn)A經(jīng)過的路線長為 圖31 12 6 解析 如答圖 根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知 點(diǎn)A經(jīng)過的路線長是三段 以90 為圓心角 AD長為半徑的扇形的弧長 以90 為圓心角 AB長為半徑的扇形的弧長 以90 為圓心角 矩形ABCD的對角線長為半徑的扇形的弧長 例5答圖 四邊形ABCD是矩形 AB 4 BC 3 BC AD 3 ADC 90 對角線AC BD 5 根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知 ADA 90 AD A D BC 3 1 2014 南充 如圖31 13 矩形ABCD中 AB 5 AD 12 將矩形ABCD按如圖所示的方式在直線l上進(jìn)行兩次旋轉(zhuǎn) 則點(diǎn)B在兩次旋轉(zhuǎn)過程中經(jīng)過的路徑的長是 A 圖31 13 解析 如答圖連結(jié)BD B D AB 5 AD 12 變式跟進(jìn)1答圖 圖31 14 A 30 BC 1 AB 2BC 2 ABC 60 3 2015 恩施 如圖31 15 半徑為5的半圓的初始狀態(tài)是直徑平行于桌面上的直線b 然后把半圓沿直線b進(jìn)行無滑動滾動 使半圓的直徑與直線b重合為止 則圓心O運(yùn)動路徑的長度等于 5 圖31 15 第3題答圖 圓錐底面圓半徑 不同于 展開圖扇形的半徑 已知圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角是180 底面積為15cm2 則圓錐的側(cè)面積為 錯(cuò)解 由題意得 r2 15 錯(cuò)因 把圓錐底面圓的半徑當(dāng)成展開圖的扇形半徑 混淆了對應(yīng)關(guān)系 點(diǎn)悟 圓錐的側(cè)面積等于展開后扇形的面積 扇形的半徑為圓錐的母線長 弧長為圓錐的底面圓的周長