專題八圓 圓是平面幾何的重要圖形 也是中考的熱點(diǎn)與必考內(nèi)容 它綜合直線 多邊形于一體 知識(shí)點(diǎn)多 覆蓋面廣 具有極強(qiáng)的綜合性 對學(xué)生思維能力要求較高 這類試題通常借助圓的對稱性和旋轉(zhuǎn)不變性 考查與圓有關(guān)的概念 性質(zhì) 位置關(guān)系 尤其是切線的性質(zhì)與判定 進(jìn)行相關(guān)問題 正多邊形 弧 扇形 圓錐等 的計(jì)算 作圖 證明與探究 解決問題的關(guān)鍵是在具體情境中 綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí) 三角形 四邊形 圓等 借助圓的性質(zhì) 與圓有關(guān)的位置關(guān)系等 添加適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)建相等的角 相等的邊 或轉(zhuǎn)化為直角三角形 或?qū)⒘Ⅲw圖形 圓錐 轉(zhuǎn)化為平面圖形 扇形 進(jìn)行分析與解決 與圓有關(guān)的計(jì)算題 例1 2015年江蘇無錫 已知 如圖Z8 1 AB為 O的直徑 點(diǎn)C D在 O上 且BC 6cm AC 8cm ABD 45 1 求BD的長 2 求圖中陰影部分的面積 圖Z8 1 思路分析 1 由AB為 O的直徑 得到 ACB 90 由勾股定理求得OB 5cm 連接OD 得到等腰直角三角形 根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論 2 根據(jù)S陰影 S扇形 S OBD即可得到結(jié)論 解 1 AB為 O的直徑 ACB 90 BC 6cm AC 8cm AB 10cm OB 5cm 連接OD OD OB ODB ABD 45 BOD 90 解題技巧 計(jì)算不規(guī)則圖形面積時(shí) 注意運(yùn)用已知規(guī)則圖形進(jìn)行拼湊計(jì)算 圓的性質(zhì)與證明題例2 2015年湖北黃岡 已知 如圖Z8 2 在 ABC中 AB AC 以AC為直徑的 O交AB于點(diǎn)M 交BC于點(diǎn)N 連接AN 過點(diǎn)C的切線交AB的延長線于點(diǎn)P 1 求證 BCP BAN 圖Z8 2 思路分析 1 由AC為 O直徑 得到 NAC ACN 90 由AB AC 得到 BAN CAN 根據(jù)PC是 O的切線 得到 ACN PCB 90 于是得到結(jié)論 2 由等腰三角形的性質(zhì)得到 ABC ACB 根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到 PBC AMN 證出 BPC MNA 即可得到結(jié)論 1 證明 AC為 O直徑 ANC 90 NAC ACN 90 AB AC BAN CAN PC是 O的切線 ACP 90 ACN PCB 90 BCP CAN BCP BAN 2 AB AC ABC ACB PBC ABC AMN ACN 180 PBC AMN 由 1 知 BCP BAN BPC MNA 名師點(diǎn)評 本題考查了切線的性質(zhì) 等腰三角形的性質(zhì) 圓周角定理 相似三角形的判定和性質(zhì) 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì) 綜合的知識(shí)點(diǎn)較多 解此題的關(guān)鍵是熟練掌握定理 圓的綜合題 例3 2015年廣西桂林 四邊形ABCD是 O的內(nèi)接正方形 AB 4 PC PD是 O的兩條切線 C D為切點(diǎn) 1 如圖Z8 3 求 O的半徑 2 如圖Z8 3 若點(diǎn)E是BC的中點(diǎn) 連接PE 求PE的長 度 圖Z8 3 3 如圖Z8 4 若點(diǎn)M是BC邊上任意一點(diǎn) 不含B C 以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn) 在BC的上方作 AMN 90 交直線CP于點(diǎn)N 求證 AM MN 圖Z8 4 思路分析 1 利用切線的性質(zhì)以及正方形的判定與性質(zhì)得 出 O的半徑即可 2 利用垂徑定理得出OE BC OCE 45 進(jìn)而利用勾 股定理得出即可 3 在AB上截取BF BM 利用 1 中所求 得出 ECP 135 再利用全等三角形的判定與性質(zhì)得出即可 解 1 如圖Z8 5 連接OD OC PC PD是 O的兩條切線 C D為切點(diǎn) ODP OCP 90 四邊形ABCD是 O的內(nèi)接正方形 DOC 90 OD OC 四邊形DOCP是正方形 AB 4 ODC OCD 45 2 如圖Z8 5 連接EO OP 點(diǎn)E是BC的中點(diǎn) OE BC OCE 45 則 EOP 90 圖Z8 5 3 證明 如圖Z8 6 在AB上截取BF BM 圖Z8 6 AB BC BF BM AF MC BFM BMF 45 AMN 90 AMF NMC 45 FAM AMF 45 FAM NMC 由 1 得PD PC DPC 90 DCP 45 MCN 135 AFM 180 BFM 135 AFM MCN 在 AFM和 MCN中 AFM CMN ASA AM MN 名師點(diǎn)評 本題主要考查了圓的綜合知識(shí) 全等三角形的判定與性質(zhì)以及正方形的判定與性質(zhì)等知識(shí) 正確作出輔助線得出 MCN 135 是解題關(guān)鍵