第4講二次函數(shù) 1 通過對實際問題情境的分析 體會二次函數(shù)的意義 2 會用描點法畫出二次函數(shù)的圖象 能通過圖象了解二次 函數(shù)的性質 3 會用配方法將數(shù)字系數(shù)的二次函數(shù)的表達式化為y a x h 2 k a 0 的形式 并能由此得到二次函數(shù)圖象的頂點坐標 開口方向 畫出圖象的對稱軸 并能解決簡單實際問題 4 會利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解 續(xù)表 增大 減小 小 續(xù)表 續(xù)表 續(xù)表 向左 向上 y ax2的圖象 y a x h 2的圖象 10y a x h 2 k的圖象 續(xù)表 二次函數(shù)的圖象和性質 圖3 4 1 例1 二次函數(shù)y ax2 bx c a 0 的圖象如圖3 4 1 下列結論 b2 4ac 0 4a c 2b a c 2 b2 ax2 bx a b 其中結論正確的是 答案 試題精選 1 2015年貴州黔南州 二次函數(shù)y x2 2x 3的圖象如圖 3 4 2 下列說法中錯誤的是 A 函數(shù)圖象與y軸的交點坐標是 0 3 B 頂點坐標是 1 3 C 函數(shù)圖象與x軸的交點坐標是 3 0 1 0 圖3 4 2 D 當x 0時 y隨x的增大而減小答案 B 2 2013年湖北鄂州 小軒從如圖3 4 3所示的二次函數(shù)y ax2 bx c a 0 的圖象中 觀察得出了下面信息 ab 0 其中正確信息的個數(shù)有 圖3 4 3 A 2個 B 3個 C 4個 D 5個 答案 D 名師點評 本類題考查的是二次函數(shù)的系數(shù)符號 先看a c 的符號 再結合對稱軸推出b的符號 同時含有a b c的代數(shù)式 盡量找到特殊點 此外 還可以把圖中的已知點代入幫助解題 確定二次函數(shù)的關系式例2 2015年黑龍江龍東地區(qū) 如圖3 4 4 拋物線y x2 bx c交x軸于點A 1 0 交y軸于點B 對稱軸是x 2 1 求拋物線的解析式 2 點P是拋物線對稱軸上的一個動點 是否存在點P 使 PAB的周長最小 若存在 求出點P的坐標 若不存在 請說明理由 圖3 4 4 思路分析 1 根據拋物線經過點A 1 0 對稱軸是x 2列出方程組 解方程組求出b c的值即可 2 因為點A與點C關于x 2對稱 根據軸對稱的性質 連接BC與x 2交于點P 則點P即為所求 求出直線BC與x 2的交點即可 解 1 由題意 得 拋物線的解析式為y x2 4x 3 2 點A與點C關于x 2對稱 連接BC與x 2交于點P 則點P即為所求 如圖3 4 5 根據拋物線的對稱性可知 點C的坐標為 3 0 y x2 4x 3與y軸的交點為 0 3 圖3 4 5 設直線BC的解析式為y kx b 由此可得 直線BC的解析式為y x 3 則直線BC與x 2的交點坐標為 2 1 點P的交點坐標為 2 1 試題精選 3 2015年廣東茂名模擬 已知二次函數(shù)y x2的圖象向右平 移3個單位后 得到的二次函數(shù)解析式是 B y x 3 2D y x2 3 A y x 3 2C y x2 3答案 A 4 已知二次函數(shù)的圖象如圖3 4 6 根據圖中的數(shù)據 1 求二次函數(shù)的解析式 2 設此二次函數(shù)的頂點為P 求 ABP的面積 圖3 4 6 名師點評 求二次函數(shù)的解析式 要根據問題中所給的條件 合理地選擇二次函數(shù)的三種表達式 一般式 頂點式 交點式 進行假設 對快速解決問題有很大的幫助 易錯陷阱 注意掌握拋物線的平移規(guī)律 即 上加下減 左加右減 此規(guī)律容易記混 二次函數(shù)的綜合運用 例3 如圖3 4 7 1 拋物線y x2 bx c與x軸交于A B兩點 與y軸交于點C 點O為坐標原點 點D為拋物線的頂點 點E在拋物線上 點F在x軸上 四邊形OCEF為矩形 且OF 2 EF 3 1 求拋物線所對應的函數(shù)解析式 2 求 ABD的面積 3 將 AOC繞點C逆時針旋轉90 點A的對應點為點G 問點G是否在該拋物線上 請說明理由 1 2 圖3 4 7解 1 四邊形OCEF為矩形 OF 2 EF 3 點C的坐標為 0 3 點E的坐標為 2 3 把C 0 3 E 2 3 分別代入y x2 bx c 得 拋物線所對應的函數(shù)解析式為y x2 2x 3 2 y x2 2x 3 x 1 2 4 拋物線的頂點坐標為D 1 4 ABD中AB邊的高為4 令y 0 得 x2 2x 3 0 解得x1 1 x2 3 AB 3 1 4 3 如圖3 4 7 2 AOC繞點C逆時針旋轉90 CO落在 CE所在的直線上 由 1 2 可知 OA 1 OC 3 點A的對應點G的坐標為 3 2 當x 3時 y 32 2 3 3 0 2 點G不在該拋物線上 試題精選 5 2014年廣東廣州節(jié)選 已知平面直角坐標系中兩定點A 1 0 B 4 0 拋物線y ax2 bx 2 a 0 過點A B 頂點為C 點P m n n 0 為拋物線上一點 1 求拋物線的解析式和頂點C的坐標 2 當 APB為鈍角時 求m的取值范圍 2 如圖D10 以AB為直徑作圓M 則拋物線在圓內的部 圖D10 P是拋物線與y軸交點 OP 2 P關于拋物線對稱軸的對稱點為 3 2 當 1 m 0或3 m 4時 APB為鈍角 1 2014年廣東 二次函數(shù)y ax2 bx c a 0 的大致圖象 如圖3 4 8 關于該二次函數(shù) 下列說法錯誤的是 圖3 4 8 A 函數(shù)有最小值 D 當 1 x 2時 y 0答案 D 1 求c的取值范圍 2 試確定直線y cx 1經過的象限 并說明理由 3 2013年廣東 已知二次函數(shù)y x2 2mx m2 1 1 當二次函數(shù)的圖象經過坐標原點O 0 0 時 求二次函數(shù) 的解析式 2 如圖3 4 9 當m 2時 該拋物線與y 軸交于點C 頂點為點D 求C D兩點的坐標 3 在 2 的條件下 x軸上是否存在一點P 使得PC PD最短 若點P存在 求出點P的坐標 若點P不存在 請說明理由 圖3 4 9 解 1 二次函數(shù)的圖象經過坐標原點O 0 0 代入二次函數(shù)y x2 2mx m2 1 得m2 1 0 解得m 1 二次函數(shù)的解析式為y x2 2x或y x2 2x 2 m 2 由二次函數(shù)y x2 2mx m2 1 得y x2 4x 3 x 2 2 1 拋物線的頂點為D 2 1 當x 0時 y 3 C點坐標為 0 3 C 0 3 D 2 1 3 如圖D11 當P C D共線時PC PD最短 圖D11過點D作DE y軸于點E 3 設在 2 的條件下 不考慮點P與點O 點C重合的情況 連接CM BN 當t為何值時 四邊形BCMN為平行四邊形 問對于所求的t值 平行四邊形BCMN是否菱形 請說明理由 圖3 4 10