中檔題保分練(四)1. (2018 唐山模擬)已知 a= (2sin ®x, sin 3x+ cos 3，b= (cos 3x, >/3(sin wx cos 3), 0v wV 1,函數(shù)f(x) = a b,直線x=5已是函數(shù)f(x)圖象的一條對(duì)稱軸.(1) 求函數(shù)f(x)的解析式及單調(diào)遞增區(qū)間；解析：(1) f(x) = a b = sin 2wx 3cos 2w 2sin 2(2) 在厶ABC 中，已知 f(A) = 0, c= 3, a= , 13,求 b.3x 3 .x=函數(shù)f(x)圖象的一條對(duì)稱軸,時(shí)",5 n n n OX© 3 3= kn+ 2, k®. 3=3k 15 + 2,k®.3q0,1),k= 0, 3= 2,f(x) = 2sinn3.令 2kn qWx 3<2kn+ q,/口冗5 nk®, 得 2kn 6<x<22石,k®.f(x) = 2sinfx才)，f(x)的增區(qū)間為 l2kn g, 2kn+ 罰,kZ(2) f(A)= 2sing3 = 0,/A 3= kn,A= kn+ 3 k®.:A q0, n) A= 3.422b + c 一 a 222在ABC 中，由余弦定理：cos A=2bc , + c a 2bccos A= 0,221bb2 3b 4 = 0, (b 4)(b+ 1) = 0.'b> 0,.°b= 4.+ 32 13 2bX 3X 2 = 0,2. （2018哈師大附中模擬）哈師大附中高三學(xué)年統(tǒng)計(jì)甲、乙兩個(gè)班級(jí)一模數(shù)學(xué)分 數(shù)（滿分150分），每個(gè)班級(jí)20名同學(xué)，現(xiàn)有甲、乙兩班本次考試數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)如下 列莖葉圖所示：叩乙2 11 11355121 3015579呂 7321 25 6 8 8 8112 11 12387G 131 01 39曲19（1）根據(jù)莖葉圖求甲、乙兩班同學(xué)數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)的中位數(shù)，并將乙班同學(xué)的分?jǐn)?shù)的頻 率分布直方圖填充完整；頻率 組距（2）根據(jù)莖葉圖比較在一模考試中，甲、乙兩班同學(xué)數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)的平均水平和分?jǐn)?shù)的分散程度（不要求計(jì)算出具體值，給出結(jié)論即可）；（3）若規(guī)定分?jǐn)?shù)在100,120）的成績(jī)?yōu)榱己?，分?jǐn)?shù)在120,150）的成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀，現(xiàn)從甲、 乙兩班成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的同學(xué)中，按照各班成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的同學(xué)人數(shù)占兩班總的優(yōu)秀人 數(shù)的比例分層抽樣，共選出12位同學(xué)參加數(shù)學(xué)提優(yōu)培訓(xùn)，求這12位同學(xué)中恰含 甲、乙兩班所有140分以上的同學(xué)的概率.解析：（1）甲班數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)的中位數(shù):122+ 114=118,128+ 128乙班數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)的中位數(shù):(2)乙班學(xué)生數(shù)學(xué)考試分?jǐn)?shù)的平均水平高于甲班學(xué)生數(shù)學(xué)考試分?jǐn)?shù)的平均水平;甲班學(xué)生數(shù)學(xué)考試分?jǐn)?shù)的分散程度高于乙班學(xué)生數(shù)學(xué)考試分?jǐn)?shù)的分散程度(3)由頻率分布直方圖可知：甲、乙兩班數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)分別為10、14,若從中分層抽樣選出12人，則應(yīng)從甲、乙兩班各選出5人、7人,設(shè)“選出的12人中恰含有甲、乙兩班的所有140分以上的同學(xué)”為事件A,8X 7X 63X 2X 111X 10X 9X 8一4X 3X2X 1則 P(A)= X - =XC10 C1410X 9X 8X 7X 6 14X 13X 12X 11X 10X 9X 85X4X 3X2X17X6X 5X4X 3X 2X 12 559X 52 234.所以選出的12人中恰含有甲、乙兩班的所有140分以上的同學(xué)的概率為5234.3. 如圖，矩形 ABCD和直角梯形BEFC所在平面互相垂直，/ BCF = 90° BE/ CF, CE丄 EF, AD= 3, EF = 2.(1)求異面直線AD與EF所成的角；當(dāng)AB的長(zhǎng)為何值時(shí)，二面角 A-EF-C的大小為45°解析：如圖，以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以CB, CF和CD作為x軸，y軸和z軸建立空間直角坐標(biāo)系 C-xyz設(shè)AB = a, BE=b， CF= c(b<c),則 C(0,0,0), A( 3, 0，a)，B(,3, 0,0), E( 3, b,0), F(0，c,0), D(0,0, a)，DA二( _3, 0,0), CB= ( 3, 0,0), FE二(一 3, b- c,0),2由 |FE| = 2,得 3+ (b-c) = 4,/b-c= 1.所以 FE= ( .3, 1,0).二二 DA FE 33所以 cos DA, FE= - - = 3x 2二|DA|FE|所以異面直線AD與EF所成的角為30° 設(shè)n= (1 , y, z)為平面AEF的法向量,貝U n AE = 0, n EF = 0, 2 2 2 2結(jié)合 |BC| + |BE| =|CF| |EFr,解得 n = (1, . 3,葺3).又因?yàn)锽A丄平面BEFC, BA= (0,0, a),所以|cosn, BA|=|n BA|_揶a_返|n|BA| a 4 a2+ 272得至U a_3 ；32所以當(dāng)AB為穿時(shí)，二面角A-EF-C的大小為45°4 請(qǐng)?jiān)谙旅鎯深}中任選一題作答(選修4 4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程)在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以 x軸的=2cos 0.y= 1 + tsin a(1)若曲線C2參數(shù)方程為：*(a為參數(shù))，iX= tCOS a求曲線Ci的直角坐標(biāo)方程和曲線 C2的普通方程；X= tCOS a若曲線C2參數(shù)方程為'(t為參數(shù)),A(0,1),且曲線Ci與曲線C2$= 1 + tsin a1 1交點(diǎn)分別為P, Q,求眞Pj+ |AQj的取值范圍，解析：(1) Tp= 2cos 0 ： = 2 pcos 0又：= x 2(2s in a 2cos a 4= 8sin + y2, pcos 0= x,曲線C1的直角坐標(biāo)方程為：x2 + y2 2x= 0.曲線C2的普通方程為：x2 + (y 1)2= t2.x= tcos a,22將C2的參數(shù)方程：(t為參數(shù))代入C1的方程：x + y 2x= 0y= 1 + tsin a得:2 .a4> 0,t1 +12= (2sina2cos c) = 2 2sin a 4 , t1 t2=1> 0.t + (2si n a 2cos "t + 1 = 0.'t1 t2= 1 > 0,1 , t2 同號(hào)，二血|+ |t2|= |t1 + t2|.1111MI+ 悝| |tl|+ |t2|由t的幾何意乂可得：兩+ |AQ廠面+氐廠 麗p二下It1+劃|( n廠= 2逞 sin 4 ;.2,2曲，二兩+ |AQ| 2,2 2-(選修4 5:不等式選講)已知函數(shù)f(x)= |2x+ b|+ |2x-b|.(1) 若b= 1,解不等式f(x)>4,(2) 若不等式f(a)> |b+ 1|對(duì)任意的實(shí)數(shù)a恒成立，求b的取值范圍.解析：(1) b= 1 時(shí)，f(x)= |2x+ 1|+ |2x 1|>4,1 1 11x> 2x< 2xv?2? x> 1 或<2? xv 1 或<22 ?x?.4x> 4 4x> 42> 4所以解集為(X, 1)U(1,+x).(2)f(a) = |2a+ b|+ |2a b|= |2a+ b|+ |b 2a|> |(2a+ b) + (b 2a)匸 |2b|.當(dāng)且僅當(dāng)(2a + b) (b 2a)>0 時(shí)(f(a)min= |2b|,所以 |2b|>|b+ 1|,所以(2b)2>(b+ 1)2，所以(3b + 1)(b 1) >0.所以b的取值范圍為i x, 3 L(1, + x).