普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書（A版）選修選修4-2 4-2 矩陣與變換矩陣與變換簡簡 介介人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室 李龍才李龍才 課程標(biāo)準(zhǔn)的定位：矩陣是研究圖形（向課程標(biāo)準(zhǔn)的定位：矩陣是研究圖形（向量）變換的基本工具，有著廣泛的應(yīng)用，許量）變換的基本工具，有著廣泛的應(yīng)用，許多數(shù)學(xué)模型都可以用矩陣來表示。本專題通多數(shù)學(xué)模型都可以用矩陣來表示。本專題通過平面圖形的變換引進(jìn)二階矩陣、逆矩陣和過平面圖形的變換引進(jìn)二階矩陣、逆矩陣和矩陣的特征向量等概念、討論二階矩陣的乘矩陣的特征向量等概念、討論二階矩陣的乘法及性質(zhì)，并以變換的觀點(diǎn)理解解線性方程法及性質(zhì)，并以變換的觀點(diǎn)理解解線性方程組的意義，初步展示矩陣應(yīng)用的廣泛性。組的意義，初步展示矩陣應(yīng)用的廣泛性。 無論在理解本專題的內(nèi)容時，還是教學(xué)中，無論在理解本專題的內(nèi)容時，還是教學(xué)中，都要把握好兩個關(guān)鍵詞：線性變換，二階矩都要把握好兩個關(guān)鍵詞：線性變換，二階矩陣。陣。 一、課程標(biāo)準(zhǔn)中的內(nèi)容與要求一、課程標(biāo)準(zhǔn)中的內(nèi)容與要求 1 1理解二階矩陣的概念理解二階矩陣的概念 2 2二階矩陣與平面向量（列向量）二階矩陣與平面向量（列向量）的乘法、平面圖形的變換的乘法、平面圖形的變換（1 1）以變換的觀點(diǎn)認(rèn)識矩陣與向）以變換的觀點(diǎn)認(rèn)識矩陣與向量乘法的意義。量乘法的意義。（2 2）證明矩陣變換把平面上的直）證明矩陣變換把平面上的直線變成直線，即證明線變成直線，即證明矩陣變換是線性矩陣變換是線性變換變換： （3 3）通過大量具體的矩陣對平面上給）通過大量具體的矩陣對平面上給定圖形（如正方形）的變換，認(rèn)識到矩定圖形（如正方形）的變換，認(rèn)識到矩陣可表示如下的線性變換：恒等、反射、陣可表示如下的線性變換：恒等、反射、伸壓、旋轉(zhuǎn)、切變、投影。伸壓、旋轉(zhuǎn)、切變、投影。 3 3變換的復(fù)合變換的復(fù)合二階方陣的乘法二階方陣的乘法 （1 1）通過變換的實(shí)例，了解矩陣與矩）通過變換的實(shí)例，了解矩陣與矩陣的乘法的意義。陣的乘法的意義。（2 2）驗(yàn)證二階方陣乘法滿足結(jié)合律。）驗(yàn)證二階方陣乘法滿足結(jié)合律。（3 3）通過具體的幾何圖形變換，說明）通過具體的幾何圖形變換，說明矩陣乘法不滿足交換律和消去律。矩陣乘法不滿足交換律和消去律。 4 4逆矩陣與二階行列式逆矩陣與二階行列式 （1 1）通過具體圖形變換，理解逆矩陣）通過具體圖形變換，理解逆矩陣的意義；通過具體的投影變換，說明逆的意義；通過具體的投影變換，說明逆矩陣可能不存在。矩陣可能不存在。（2 2）會證明逆矩陣的唯一性和）會證明逆矩陣的唯一性和 等簡單性質(zhì)，并了解其在等簡單性質(zhì)，并了解其在變換中的意義。變換中的意義。（3 3）了解二階行列式的定義，會用二）了解二階行列式的定義，會用二階行列式求逆矩陣。階行列式求逆矩陣。 5 5二階矩陣與二元一次方程組二階矩陣與二元一次方程組 （1 1）能用變換的觀點(diǎn)認(rèn)識解二元一）能用變換的觀點(diǎn)認(rèn)識解二元一次方程組的意義。次方程組的意義。（2 2）會用系數(shù)矩陣的逆矩陣解系數(shù)）會用系數(shù)矩陣的逆矩陣解系數(shù)矩陣可逆的二元一次方程組。矩陣可逆的二元一次方程組。（3 3）會通過具體的可逆的系數(shù)矩陣，）會通過具體的可逆的系數(shù)矩陣，從幾何上說明線性方程組解的存在性，從幾何上說明線性方程組解的存在性，唯一性。唯一性。 6 6變換的不變量變換的不變量 （1 1）掌握矩陣特征值與特征向量的定義，）掌握矩陣特征值與特征向量的定義，能從幾何變換的角度說明特征向量的意義。能從幾何變換的角度說明特征向量的意義。 （2 2）會求二階方陣的特征值與特征向量）會求二階方陣的特征值與特征向量（只要求特征值是兩個不同實(shí)數(shù)的情形）。（只要求特征值是兩個不同實(shí)數(shù)的情形）。 7 7矩陣的應(yīng)用矩陣的應(yīng)用 （1 1）利用矩陣）利用矩陣A A的特征值、特征向量給的特征值、特征向量給出出 簡單的表示，并能用它來解決問題。簡單的表示，并能用它來解決問題。 （2 2）了解矩陣的應(yīng)用。）了解矩陣的應(yīng)用。二、教科書中的內(nèi)容安排及說明二、教科書中的內(nèi)容安排及說明 1 1知識結(jié)構(gòu)框圖知識結(jié)構(gòu)框圖 2 2對內(nèi)容安排的說明對內(nèi)容安排的說明 本專題的主干內(nèi)容分為四講：第一本專題的主干內(nèi)容分為四講：第一講線性變換與二階矩陣；第二講變講線性變換與二階矩陣；第二講變換的復(fù)合與二階矩陣的乘法；第三講換的復(fù)合與二階矩陣的乘法；第三講逆變換與逆矩陣；第四講逆變換與逆矩陣；第四講 變換的不變量變換的不變量與矩陣的特征向量。另外還有引言、一與矩陣的特征向量。另外還有引言、一個個“探究與發(fā)現(xiàn)探究與發(fā)現(xiàn)”和一個學(xué)習(xí)總結(jié)報告。和一個學(xué)習(xí)總結(jié)報告。 （1 1）在引言中，首先回顧學(xué)生熟悉的平面圖）在引言中，首先回顧學(xué)生熟悉的平面圖形的軸對稱變換；然后用映射的語言拓展到形的軸對稱變換；然后用映射的語言拓展到整個平面上，并重新敘述之；接著在平面直整個平面上，并重新敘述之；接著在平面直角坐標(biāo)系中進(jìn)一步進(jìn)行研究，得到軸對稱變角坐標(biāo)系中進(jìn)一步進(jìn)行研究，得到軸對稱變換的坐標(biāo)變換公式，它可以由一個二階矩陣換的坐標(biāo)變換公式，它可以由一個二階矩陣完全確定，由此引出本專題的主題詞完全確定，由此引出本專題的主題詞“二階二階矩陣矩陣”；并給出本專題中研究問題的基本思；并給出本專題中研究問題的基本思想想類比解析幾何中對曲線與方程的討論，類比解析幾何中對曲線與方程的討論，對二階矩陣與某些幾何變換進(jìn)行類似的研究；對二階矩陣與某些幾何變換進(jìn)行類似的研究；最后明確本專題的主要內(nèi)容。最后明確本專題的主要內(nèi)容。 （2 2）在第一講中，首先通過兩個特殊的）在第一講中，首先通過兩個特殊的旋轉(zhuǎn)變換引入線性變換的概念，并通過線性旋轉(zhuǎn)變換引入線性變換的概念，并通過線性變換引入二階矩陣；接著介紹一般的旋轉(zhuǎn)變變換引入二階矩陣；接著介紹一般的旋轉(zhuǎn)變換、反射變換、伸縮變換、投影變換和切變換、反射變換、伸縮變換、投影變換和切變變換等幾類重要的線性變換，熟悉它們對應(yīng)變換等幾類重要的線性變換，熟悉它們對應(yīng)的二階矩陣，體驗(yàn)線性變換與二階矩陣之間的二階矩陣，體驗(yàn)線性變換與二階矩陣之間的一一對應(yīng)關(guān)系（這些重要線性變換是本專的一一對應(yīng)關(guān)系（這些重要線性變換是本專題的基礎(chǔ)）；并進(jìn)一步建立線性變換與二階題的基礎(chǔ)）；并進(jìn)一步建立線性變換與二階矩陣的聯(lián)系，用二階矩陣和向量的乘積表示矩陣的聯(lián)系，用二階矩陣和向量的乘積表示線性變換；研究線性變換的基本性質(zhì)；并利線性變換；研究線性變換的基本性質(zhì)；并利用線性變換的基本性質(zhì)研究一些重要線性變用線性變換的基本性質(zhì)研究一些重要線性變換對單位正方形區(qū)域的作用，進(jìn)一步加深對換對單位正方形區(qū)域的作用，進(jìn)一步加深對線性變換線性變換及其基本性質(zhì)理解（并進(jìn)一步熟悉性質(zhì)理解（并進(jìn)一步熟悉這些重要線性變換這些重要線性變換） （3 3）在第二講中，通過實(shí)例考察在直角坐）在第二講中，通過實(shí)例考察在直角坐標(biāo)系內(nèi)連續(xù)施行兩次線性變換的作用效果是標(biāo)系內(nèi)連續(xù)施行兩次線性變換的作用效果是否能用一個線性變換表示，進(jìn)而一般化，引否能用一個線性變換表示，進(jìn)而一般化，引入線性變換的復(fù)合，介紹二階矩陣的一種重入線性變換的復(fù)合，介紹二階矩陣的一種重要運(yùn)算要運(yùn)算矩陣的乘法，并通過應(yīng)用進(jìn)一步矩陣的乘法，并通過應(yīng)用進(jìn)一步理解矩陣的乘法；類比實(shí)數(shù)乘法的運(yùn)算律，理解矩陣的乘法；類比實(shí)數(shù)乘法的運(yùn)算律，研究二階矩陣乘法的運(yùn)算律，證明矩陣的乘研究二階矩陣乘法的運(yùn)算律，證明矩陣的乘法滿足結(jié)合律，通過學(xué)生熟悉的某些二階矩法滿足結(jié)合律，通過學(xué)生熟悉的某些二階矩陣所對應(yīng)的線性變換對單位正方形區(qū)域的作陣所對應(yīng)的線性變換對單位正方形區(qū)域的作用結(jié)果，得到矩陣的乘法不滿足交換律和分用結(jié)果，得到矩陣的乘法不滿足交換律和分配律配律 （4 4）在第三講中，類比實(shí)數(shù)的乘法運(yùn)算中）在第三講中，類比實(shí)數(shù)的乘法運(yùn)算中的 一 條 重 要 性 質(zhì) ：的 一 條 重 要 性 質(zhì) ： “ 如 果如 果 ，則則 ” ”，分別把恒等變換和單位，分別把恒等變換和單位矩陣作為數(shù)類比對象，通過線性變換引進(jìn)逆矩陣作為數(shù)類比對象，通過線性變換引進(jìn)逆矩陣，并通過線性變換和生活中的常識理解逆矩陣，并通過線性變換和生活中的常識理解逆矩陣的性質(zhì)；引進(jìn)二階行列式，利用它研究逆矩陣的性質(zhì)；引進(jìn)二階行列式，利用它研究逆矩陣，解決如何判斷二階矩陣是否可逆以及如矩陣，解決如何判斷二階矩陣是否可逆以及如何求可逆矩陣的逆矩陣的問題；本講還從線性何求可逆矩陣的逆矩陣的問題；本講還從線性變換的角度來認(rèn)識解二元一次方程組的意義，變換的角度來認(rèn)識解二元一次方程組的意義，并利用逆矩陣求解系數(shù)矩陣可逆的二元一次方并利用逆矩陣求解系數(shù)矩陣可逆的二元一次方程組程組 （5 5）在第四講中，通過研究兩個熟知的重）在第四講中，通過研究兩個熟知的重要線性變換的要線性變換的“不變不變”直線和直線和“不變不變”向量，向量，引入線性變換的一種重要的不變量引入線性變換的一種重要的不變量矩陣矩陣的特征向量；并從這兩個線性變換出發(fā)，討的特征向量；并從這兩個線性變換出發(fā)，討論特征向量的性質(zhì)；給出特征值、特征向量論特征向量的性質(zhì)；給出特征值、特征向量的計(jì)算方法；利用特征向量的性質(zhì)（并結(jié)合的計(jì)算方法；利用特征向量的性質(zhì)（并結(jié)合關(guān)于關(guān)于x x軸的反射變換），得到軸的反射變換），得到 的簡單的簡單表示，并應(yīng)用這種簡單表示解決一類實(shí)際問表示，并應(yīng)用這種簡單表示解決一類實(shí)際問題（人口遷移問題）題（人口遷移問題） 3 3本講的重點(diǎn)和難點(diǎn)本講的重點(diǎn)和難點(diǎn)（1 1）本專題的重點(diǎn)是通過平面圖形的變換引）本專題的重點(diǎn)是通過平面圖形的變換引入二階矩陣，認(rèn)識矩陣與向量乘法的意義，入二階矩陣，認(rèn)識矩陣與向量乘法的意義，討論線性變換的基本性質(zhì)、二階矩陣的乘法討論線性變換的基本性質(zhì)、二階矩陣的乘法及性質(zhì)、逆矩陣和矩陣的特征向量的概念與及性質(zhì)、逆矩陣和矩陣的特征向量的概念與性質(zhì)等，并以變換的觀點(diǎn)理解解線性方程組性質(zhì)等，并以變換的觀點(diǎn)理解解線性方程組的意義。的意義。（2 2）矩陣的內(nèi)容比較抽象，本專題的難點(diǎn)是）矩陣的內(nèi)容比較抽象，本專題的難點(diǎn)是線性變換的基本性質(zhì)、矩陣乘法的運(yùn)算律線性變換的基本性質(zhì)、矩陣乘法的運(yùn)算律（這可能是學(xué)生第一次遇到不滿足交換律、（這可能是學(xué)生第一次遇到不滿足交換律、消去律的運(yùn)算）、矩陣的特征值與特征向量消去律的運(yùn)算）、矩陣的特征值與特征向量的概念等。的概念等。（3 3）教材對難點(diǎn)的處理）教材對難點(diǎn)的處理線性變換的基本性質(zhì)線性變換的基本性質(zhì) 先從幾何直觀上感知先從幾何直觀上感知 “探究探究 設(shè)向量設(shè)向量 = = 。如圖。如圖1.3-11.3-1，把向量，把向量先伸長倍再按逆時針旋轉(zhuǎn)；把向量先伸長倍再按逆時針旋轉(zhuǎn)；把向量先按先按逆時針旋轉(zhuǎn)再伸長倍。這兩個過程的結(jié)果相逆時針旋轉(zhuǎn)再伸長倍。這兩個過程的結(jié)果相同嗎？同嗎？” 歸納結(jié)論：對向量歸納結(jié)論：對向量= = ，矩陣矩陣A= = A(2)=2 A; 嚴(yán)格證明留給學(xué)生課后完成。嚴(yán)格證明留給學(xué)生課后完成。 從特殊到一般進(jìn)行猜測從特殊到一般進(jìn)行猜測 對任意二階對任意二階矩陣矩陣A，任意平面向量，任意平面向量，任意實(shí)數(shù)任意實(shí)數(shù)，有有A()= A。 進(jìn)而給出嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明。進(jìn)而給出嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明。 類似地得到類似地得到A(+)=A+A 綜上得到線性變換的基本性質(zhì)綜上得到線性變換的基本性質(zhì)（代數(shù)形式）（代數(shù)形式） A(+ )= A+ A 1 2 1 2對線性變換的幾何解釋的兩種不同形式的說明對線性變換的幾何解釋的兩種不同形式的說明 4. 4.課時分配課時分配 本專題分為四講，共本專題分為四講，共1818課時，具體分配課時，具體分配如下（供參考）：如下（供參考）：第一講第一講 線性變換與二階矩陣線性變換與二階矩陣 約約5 5課時課時第二講第二講 變換的復(fù)合與二階矩陣的乘法變換的復(fù)合與二階矩陣的乘法 約約4 4課時課時第三講第三講 逆變換與逆矩陣逆變換與逆矩陣 約約5 5課時課時第四講第四講 變換的不變量與矩陣的特征向量變換的不變量與矩陣的特征向量 約約4 4課時課時第一講第一講 線性變換與二階矩陣線性變換與二階矩陣 約約5 5課時課時 一、線性變換與二階矩陣一、線性變換與二階矩陣 約約2 2課時課時 二、二階矩陣與平面向量的乘法二、二階矩陣與平面向量的乘法 約約1 1課時課時 三、線性變換的基本性質(zhì)三、線性變換的基本性質(zhì) 約約2 2課時課時第二講第二講 變換的復(fù)合與二階矩陣的乘法變換的復(fù)合與二階矩陣的乘法 約約4 4課時課時 一、復(fù)合變換與二階矩陣的乘法一、復(fù)合變換與二階矩陣的乘法 約約2 2課時課時 二、矩陣乘法的性質(zhì)二、矩陣乘法的性質(zhì) 約約2 2課時課時第三講第三講 逆變換與逆矩陣逆變換與逆矩陣 約約5 5課時課時 一、逆變換與逆矩陣一、逆變換與逆矩陣 約約2 2課時課時 二、二階行列式與逆矩陣二、二階行列式與逆矩陣 約約1 1課時課時 三、逆矩陣與二元一次方程組三、逆矩陣與二元一次方程組 約約2 2課時課時第四講第四講 變換的不變量與矩陣的特征向量變換的不變量與矩陣的特征向量 約約4 4課時課時 一、變換的不變量一、變換的不變量矩陣的特征向量矩陣的特征向量 約約2 2課時課時 二、特征向量的應(yīng)用二、特征向量的應(yīng)用 約約2 2課時課時三、編寫中考慮的幾個問題三、編寫中考慮的幾個問題 1 1展現(xiàn)基本概念、重要結(jié)論的發(fā)生發(fā)展過程展現(xiàn)基本概念、重要結(jié)論的發(fā)生發(fā)展過程 這樣的編寫意圖貫穿本專題內(nèi)容始終。教這樣的編寫意圖貫穿本專題內(nèi)容始終。教科書采取了科書采取了“問題情境問題情境引導(dǎo)探究引導(dǎo)探究抽抽象概括（象概括（證明）證明）”的方式，安排了從具的方式，安排了從具體的線性變換的實(shí)例中抽象概括出基本概念體的線性變換的實(shí)例中抽象概括出基本概念和重要結(jié)論的活動，以引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷基本概和重要結(jié)論的活動，以引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷基本概念、重要結(jié)論的發(fā)生發(fā)展過程。念、重要結(jié)論的發(fā)生發(fā)展過程。 例如，在得出線性變換的基本性質(zhì)的過程中，先通過旋轉(zhuǎn)變換從幾何直觀上感知 通過關(guān)于x軸的反射變換從幾何直觀上感知 ，然后再分別進(jìn)行嚴(yán)格的理論證明，進(jìn)而綜合得到線性變換的基本性質(zhì)，這樣就使原本抽象、難以理解的結(jié)論變得自然、易于理解； 例如，教科書在引入矩陣特征值、特征向量時，首先設(shè)置了一個探究欄目 對于線性變換，是否存在平面上的直線，使得該直線在這個線性變換的作用下保持不變的呢？是否存在向量，使得該向量在這個線性變換的作用下具有某種“不變性”？ 接著從兩個具體的線性變換關(guān)于x軸的反射變換、伸縮變換入手，分別考察在這兩個線性變換作用下“不變”的向量，得到進(jìn)而抽象概括出它們的共同本質(zhì)特征，從而給出矩陣的特征值、特征向量的概念；利用這兩個實(shí)例抽象概括出特征值、特征向量的性質(zhì)。 （概念）二階矩陣的引入，建立二階矩陣與（概念）二階矩陣的引入，建立二階矩陣與線性變換之間的一一對應(yīng)關(guān)系線性變換之間的一一對應(yīng)關(guān)系; ;進(jìn)一步建立線進(jìn)一步建立線性變換與二階矩陣的聯(lián)系，用二階矩陣和向性變換與二階矩陣的聯(lián)系，用二階矩陣和向量的乘積表示線性變換；引入矩陣乘法、逆量的乘積表示線性變換；引入矩陣乘法、逆矩陣等重要概念。矩陣等重要概念。（結(jié)論）討論線性變換的基本性質(zhì)、矩陣乘（結(jié)論）討論線性變換的基本性質(zhì)、矩陣乘法的運(yùn)算律、逆矩陣的性質(zhì)、用變換的觀點(diǎn)法的運(yùn)算律、逆矩陣的性質(zhì)、用變換的觀點(diǎn)來認(rèn)識解二元一次方程組的意義來認(rèn)識解二元一次方程組的意義. . 都充分地展現(xiàn)了它們的發(fā)生發(fā)展過程。都充分地展現(xiàn)了它們的發(fā)生發(fā)展過程。 這樣既使學(xué)生感覺到這些概念和結(jié)論這樣既使學(xué)生感覺到這些概念和結(jié)論是自然的而不是強(qiáng)加于人的，同時也有助是自然的而不是強(qiáng)加于人的，同時也有助于對這些基本概念、重要結(jié)論的理解?？傆趯@些基本概念、重要結(jié)論的理解?？傊?，在基本概念和結(jié)論的內(nèi)容安排中，強(qiáng)之，在基本概念和結(jié)論的內(nèi)容安排中，強(qiáng)調(diào)了調(diào)了“過程性過程性”。 2 2強(qiáng)調(diào)把矩陣看作線性變換的本質(zhì)，強(qiáng)強(qiáng)調(diào)把矩陣看作線性變換的本質(zhì)，強(qiáng)調(diào)幾何直觀調(diào)幾何直觀 矩陣的有關(guān)概念和結(jié)論比較抽象，教科矩陣的有關(guān)概念和結(jié)論比較抽象，教科書充分利用幾何直觀、利用矩陣所對應(yīng)的線書充分利用幾何直觀、利用矩陣所對應(yīng)的線性變換來介紹這些抽象的概念和結(jié)論，從而性變換來介紹這些抽象的概念和結(jié)論，從而有效地化解了矩陣內(nèi)容的抽象性。有效地化解了矩陣內(nèi)容的抽象性。 線性變換與二階矩陣是一一對應(yīng)的，因線性變換與二階矩陣是一一對應(yīng)的，因此，本專題在研究二階矩陣時，常常通過研此，本專題在研究二階矩陣時，常常通過研究矩陣對應(yīng)的幾何變換（線性變換）來進(jìn)究矩陣對應(yīng)的幾何變換（線性變換）來進(jìn)行對于每個概念和結(jié)論，總是先通過具體行對于每個概念和結(jié)論，總是先通過具體的線性變換從幾何直觀上獲得感知，進(jìn)而抽的線性變換從幾何直觀上獲得感知，進(jìn)而抽象出矩陣中一般性的概念或結(jié)論，再從理論象出矩陣中一般性的概念或結(jié)論，再從理論上進(jìn)行嚴(yán)格證明。上進(jìn)行嚴(yán)格證明。 例如，通過旋轉(zhuǎn)角是例如，通過旋轉(zhuǎn)角是 的旋轉(zhuǎn)變換，的旋轉(zhuǎn)變換，引入矩陣與向量的乘積來表示這個旋轉(zhuǎn)變引入矩陣與向量的乘積來表示這個旋轉(zhuǎn)變換，這樣，使學(xué)生認(rèn)識到，某些幾何變換換，這樣，使學(xué)生認(rèn)識到，某些幾何變換可以用矩陣來表示，豐富學(xué)生對矩陣幾何可以用矩陣來表示，豐富學(xué)生對矩陣幾何意義的理解；意義的理解； 二階矩陣的其他概念與結(jié)論二階矩陣的其他概念與結(jié)論; ;用變換的觀點(diǎn)來認(rèn)識解二元一次方程組的用變換的觀點(diǎn)來認(rèn)識解二元一次方程組的意義意義. . 總之，借助幾何變換（線性變換）研總之，借助幾何變換（線性變換）研究二階矩陣是本專題的基本出發(fā)點(diǎn)。究二階矩陣是本專題的基本出發(fā)點(diǎn)。3 3強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想方法的滲透和運(yùn)用強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想方法的滲透和運(yùn)用 本專題中涉及類比、從特殊到一般、從本專題中涉及類比、從特殊到一般、從具體到抽象、具體到抽象、“數(shù)形數(shù)形”結(jié)合等多種數(shù)學(xué)思想結(jié)合等多種數(shù)學(xué)思想方法。在引入概念、得出結(jié)論的過程中，適方法。在引入概念、得出結(jié)論的過程中，適當(dāng)滲透并運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法是教材編寫中考當(dāng)滲透并運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法是教材編寫中考慮的一個重要問題。慮的一個重要問題。 (1) (1) 類比類比 類比解析幾何中研究曲線與方程的方法，類比解析幾何中研究曲線與方程的方法，討論線性變換與二階矩陣。曲線與方程是一討論線性變換與二階矩陣。曲線與方程是一一對應(yīng)的，由曲線的性質(zhì)可以研究對應(yīng)的方一對應(yīng)的，由曲線的性質(zhì)可以研究對應(yīng)的方程，由方程的性質(zhì)也可以研究對應(yīng)的曲程，由方程的性質(zhì)也可以研究對應(yīng)的曲線與此類似，二階矩陣與平面上的線性變線與此類似，二階矩陣與平面上的線性變換也是一一對應(yīng)的，因而，我們既可以通過換也是一一對應(yīng)的，因而，我們既可以通過二階矩陣來研究對應(yīng)的線性變換，也可以通二階矩陣來研究對應(yīng)的線性變換，也可以通過平面上的線性變換來研究對應(yīng)的二階矩過平面上的線性變換來研究對應(yīng)的二階矩陣本專題中，更多地是通過線性變換來研陣本專題中，更多地是通過線性變換來研究對應(yīng)的二階矩陣。究對應(yīng)的二階矩陣。 類比實(shí)數(shù)乘法的運(yùn)算律研究矩陣乘法的類比實(shí)數(shù)乘法的運(yùn)算律研究矩陣乘法的運(yùn)算律。教科書首先回憶實(shí)數(shù)的乘法運(yùn)算滿運(yùn)算律。教科書首先回憶實(shí)數(shù)的乘法運(yùn)算滿足一定的運(yùn)算律，即實(shí)數(shù)的乘法滿足結(jié)合律、足一定的運(yùn)算律，即實(shí)數(shù)的乘法滿足結(jié)合律、交換律和消去律；進(jìn)而設(shè)置一個探究欄目交換律和消去律；進(jìn)而設(shè)置一個探究欄目“類比實(shí)數(shù)乘法的運(yùn)算律，二階矩陣的乘法類比實(shí)數(shù)乘法的運(yùn)算律，二階矩陣的乘法是否也滿足某些運(yùn)算律？是否也滿足某些運(yùn)算律？” ” 由此出發(fā)，研由此出發(fā)，研究矩陣乘法的運(yùn)算律。究矩陣乘法的運(yùn)算律。 (2) (2) 從特殊到一般、從具體到抽象從特殊到一般、從具體到抽象 教科書通過教科書通過“思考思考”“”“探究探究”等欄目，引等欄目，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般、從具體到抽象的過導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般、從具體到抽象的過程，獲得一般性的概念和結(jié)論，使學(xué)生理解概程，獲得一般性的概念和結(jié)論，使學(xué)生理解概念和結(jié)論。念和結(jié)論。 例如，教科書在引入矩陣的乘法時，先首例如，教科書在引入矩陣的乘法時，先首先設(shè)置了一個先設(shè)置了一個“探究探究”欄目：欄目：“在直角坐標(biāo)系在直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，連續(xù)施行兩次線性變內(nèi)，連續(xù)施行兩次線性變換，其作用效果是否能用一個變換表示？是否換，其作用效果是否能用一個變換表示？是否存在一個二階矩陣與這個新變換對應(yīng)？如果存存在一個二階矩陣與這個新變換對應(yīng)？如果存在，這個二階矩陣與原來的兩個線性變換的二在，這個二階矩陣與原來的兩個線性變換的二階矩陣有什么關(guān)系？階矩陣有什么關(guān)系？” 然后由簡單到復(fù)雜，先考察依次施行兩個旋轉(zhuǎn)變換的作用效果 再考察依次施行旋轉(zhuǎn)變換、切變變換的作用效果 進(jìn)而研究依次施行兩個一般的矩陣所對應(yīng)的線性變換的作用效果，最終引入矩陣的乘法。 在研究判別矩陣何時可逆、可逆時如在研究判別矩陣何時可逆、可逆時如何求逆矩陣時，也是采用了何求逆矩陣時，也是采用了從特殊到一般、從特殊到一般、從具體到抽象的思想方法。從具體到抽象的思想方法。 這是本專題中被廣泛采用的思想這是本專題中被廣泛采用的思想方法！方法！四、對教學(xué)的幾個建議四、對教學(xué)的幾個建議 1 1準(zhǔn)確把握教學(xué)要求準(zhǔn)確把握教學(xué)要求 “ “矩陣與變換矩陣與變換”是課程標(biāo)準(zhǔn)中的新增內(nèi)容，是課程標(biāo)準(zhǔn)中的新增內(nèi)容，教學(xué)中應(yīng)準(zhǔn)確把握內(nèi)容的要求。教學(xué)中應(yīng)準(zhǔn)確把握內(nèi)容的要求。 本專題只對具體的二階矩陣加以討論，而本專題只對具體的二階矩陣加以討論，而不討論一般不討論一般mn階矩陣以及階矩陣以及(aij)形式的表示。形式的表示。 二階矩陣的內(nèi)容比較抽象，應(yīng)通過具體的二階矩陣的內(nèi)容比較抽象，應(yīng)通過具體的線性變換的實(shí)例來組織教學(xué)，切忌從理論到理線性變換的實(shí)例來組織教學(xué)，切忌從理論到理論只進(jìn)行抽象的推導(dǎo)。論只進(jìn)行抽象的推導(dǎo)。 2 2緊密結(jié)合幾何變換（線性變換），引緊密結(jié)合幾何變換（線性變換），引入矩陣的有關(guān)概念、得出矩陣的性質(zhì)入矩陣的有關(guān)概念、得出矩陣的性質(zhì) 在本專題的教學(xué)中，矩陣中的每個概念在本專題的教學(xué)中，矩陣中的每個概念和結(jié)論，都應(yīng)緊緊抓住二階矩陣與平面上的和結(jié)論，都應(yīng)緊緊抓住二階矩陣與平面上的線性變換一一對應(yīng)的關(guān)系，緊密結(jié)合幾何變線性變換一一對應(yīng)的關(guān)系，緊密結(jié)合幾何變換（線性變換），先通過具體的幾何變換使換（線性變換），先通過具體的幾何變換使學(xué)生獲得感知，借助幾何直觀使學(xué)生理解抽學(xué)生獲得感知，借助幾何直觀使學(xué)生理解抽象的代數(shù)內(nèi)容，在教學(xué)中，只要有可能就要象的代數(shù)內(nèi)容，在教學(xué)中，只要有可能就要與具體的幾何變換相結(jié)合。與具體的幾何變換相結(jié)合。 3 3加強(qiáng)相關(guān)知識的聯(lián)系性，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想加強(qiáng)相關(guān)知識的聯(lián)系性，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想方法方法 實(shí)數(shù)乘法運(yùn)算的性質(zhì)與矩陣乘法運(yùn)算的性質(zhì)的聯(lián)系。 “數(shù)形”結(jié)合、類比、從特殊到一般、從具體到抽象數(shù)學(xué)思想方法。 例如，類比實(shí)數(shù)的乘法運(yùn)算中的一條重要例如，類比實(shí)數(shù)的乘法運(yùn)算中的一條重要性質(zhì)：性質(zhì)：“如果如果 ,則則 ” 在研究變換和矩陣時，在研究變換和矩陣時，分別把恒等變換分別把恒等變換 I 和單位矩陣和單位矩陣 作為數(shù)作為數(shù)類比對象，通過線性變換引進(jìn)逆矩陣。類比對象，通過線性變換引進(jìn)逆矩陣。 4 4不過分追求數(shù)學(xué)體系的完整性，不過分追求數(shù)學(xué)體系的完整性，控制運(yùn)算的難度控制運(yùn)算的難度 著重通過平面圖形的變換，介紹矩陣中具有明顯幾何變換背景的基本知識和基本思想，對幾何變換背景不太明顯的內(nèi)容不作介紹，如不介紹矩陣的加法、數(shù)與矩陣的乘法等基本運(yùn)算。不追求數(shù)學(xué)系統(tǒng)本身的完整性，也不追求數(shù)學(xué)上的一些細(xì)致的技巧和方法，而且僅限于討論二階矩陣，應(yīng)控制矩陣形式上的復(fù)雜程度和運(yùn)算上的難度，不做難題、怪題。 對二階行列式，只是利用它來求逆矩陣和求解矩陣的特征值，不作為重點(diǎn)，也不應(yīng)展開討論。5如何處理課時偏緊的問題案例：線性變換與二階矩陣（引入）線性變換的基本性質(zhì)線性變換的基本性質(zhì) 約約2課時課時 謝謝大家謝謝大家! ! 聯(lián)系方式：人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室聯(lián)系方式：人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室 地址：北京市海淀區(qū)中關(guān)村南大街地址：北京市海淀區(qū)中關(guān)村南大街 1717號院號院1 1號樓號樓 郵編：郵編：100081100081 電話電話：(010)58758330(010)58758330(辦辦) ) Email: 網(wǎng)址網(wǎng)址: