1 5不等式證明的基本方法 1 5 1比較法 1 理解和掌握比較法證明不等式的依據(jù) 2 掌握利用比較法證明不等式的一般步驟 3 通過(guò)學(xué)習(xí)比較法證明不等式 培養(yǎng)學(xué)生對(duì)轉(zhuǎn)化思想的理解和應(yīng)用 比較法證明不等式可分為作差比較法和作商比較法兩種 做一做1 設(shè)m a 2b n a b2 1 則 A m nB m nC m nD m n解析 n m b2 1 2b b 1 2 0 n m 答案 D 做一做2 下列命題中 是真命題的有 A B C D 答案 A 1 用作差比較法證明不等式的一般步驟是什么 剖析 用作差比較法證明不等式的一般步驟是 1 作差 把不等式的左 右兩邊作差 可以是左邊減右邊 也可以是右邊減左邊 2 變形 把這個(gè)差變化為易于判斷正負(fù)的形式 而不必考慮差的值是多少 變形的方法主要有配方法 通分法 因式分解法等 3 判斷差的符號(hào) 主要依據(jù)差的最后變形的結(jié)果來(lái)判斷 4 下結(jié)論 肯定所證明的不等式成立 2 作商比較法中的符號(hào)問(wèn)題如何解決 斷 否則 結(jié)論將是錯(cuò)誤的 對(duì)于此類問(wèn)題 分為含參數(shù)變量類的和大小固定的兩種 因而也可以通過(guò)特殊值的方法進(jìn)行一定的猜測(cè) 進(jìn)而給出一定的理性推理或證明過(guò)程 題型一 題型二 題型三 題型四 用作差比較法證明不等式 題型一 題型二 題型三 題型四 題型一 題型二 題型三 題型四 反思 1 作差比較法中 變形具有承上啟下的作用 變形的目的在于判斷差的符號(hào) 而不用考慮差能否化簡(jiǎn)或值是多少 2 變形所用的方法要具體情況具體分析 可以配方 可以因式分解 可以運(yùn)用一切有效的恒等變形的方法 3 因式分解是常用的變形手段 為了便于判斷 差式 的符號(hào) 常將 差式 變形為一個(gè)常數(shù) 或幾個(gè)因式積的形式 當(dāng)所得的 差式 是某字母的二次三項(xiàng)式時(shí) 常用判別式法判斷符號(hào) 有時(shí)會(huì)遇到結(jié)果符號(hào)不能確定 這時(shí)候要對(duì)差式進(jìn)行分類討論 題型一 題型二 題型四 題型三 用作商比較法證明不等式 例2 已知a b c 0 求證 a2ab2bc2c ab cbc aca b 分析 證明這類含冪指數(shù)乘積形式的不等式 往往通過(guò)作商與1比較大小來(lái)證明 證明 由a b c 0 得ac bbc aca b 0 所證不等式左邊除以右邊 得 題型一 題型二 題型四 題型三 反思證明此題易出現(xiàn)在不討論ab c bc a ca b 0的前提下 就開(kāi)始作商 或在未得到a b 0 就得出商大于1 這些都是解題不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)谋憩F(xiàn) 解題時(shí)要注意這一點(diǎn) 一般地 要比較的兩個(gè)解析式均為正值時(shí) 可利用作商的方法比較其大小 如果兩個(gè)解析式均為負(fù)值時(shí) 可用同樣的方法比較其絕對(duì)值的大小 題型一 題型二 題型三 題型四 比較法的實(shí)際應(yīng)用 例3 已知買8千克胡蘿卜和10千克白菜的錢小于22元 而買12千克胡蘿卜和6千克白菜的錢大于24元 問(wèn)買2千克胡蘿卜與3千克白菜的錢哪個(gè)更多些 分析 設(shè)每千克胡蘿卜和每千克白菜的錢分別為a元和b元 根據(jù)條件列出a b間的關(guān)系式 比較2a與3b的大小即可 題型一 題型二 題型三 題型四 反思應(yīng)用不等式解決實(shí)際問(wèn)題時(shí) 關(guān)鍵是如何把等量關(guān)系 不等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等式的問(wèn)題來(lái)解決 在實(shí)際應(yīng)用不等關(guān)系問(wèn)題時(shí) 常用比較法來(lái)判斷數(shù)的大小關(guān)系 若是選擇題或填空題 則可用特殊值加以判斷 題型一 題型二 題型三 題型四 易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn) 作差后對(duì)差式變形不恰當(dāng) 使判斷符號(hào)的過(guò)程含糊不清 例4 判斷函數(shù)f x x3在R上的單調(diào)性 錯(cuò)解 設(shè)x1 x2是R上的任意兩個(gè)數(shù) 且x1f x1 f x x3在R上為增函數(shù) 題型一 題型二 題型三 題型四 12345 1下列關(guān)系式中對(duì)任意a b 0的實(shí)數(shù)都成立的是 答案 B 12345 2已知a 0 且a 1 P loga a3 1 Q loga a2 1 則P Q的大小關(guān)系是 A P QB P QC P QD 大小不確定 答案 A 12345 A P QB P QC P QD P Q 答案 D 12345 12345 5 x 1 x2 x 1 x 1 x2 x 1 解析 x 1 x2 x 1 x 1 x2 x 1 x3 1 x3 1 2 0 故 x 1 x2 x 1 x 1 x2 x 1 答案