壓軸題提分練（二）2 2x y1 設(shè)橢圓a2+ b= 1(a> b> 0)的左焦點(diǎn)為F，離心率為過點(diǎn)F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為433.（i）求橢圓的方程；設(shè)A、B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn) F且斜率為k的直線與橢圓交于C,2bD兩點(diǎn)若AC DB + AD CB = 8, O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求 OCD的面積.解析：（1）因?yàn)檫^焦點(diǎn)且垂直于長軸的直線被橢圓截得的線段長為4“33 .因?yàn)闄E圓的離心率為中，所以a=h， 又 a2= b2 + c2，可解得 b= 2， c= 1， a=32 2所以橢圓的方程為氣+2=1.由可知F（- 1,0），則直線CD的方程為y= k（x+ 1）.+ kx+ 1，聯(lián)立x2 y2+3 + 21,2 2 2 2消去 y 得(2 + 3k )x + 6k x+ 3k 6= 0.設(shè) C(X1, y1), D(x2, y2),6k23k2 6所以 X1 + x2=2, X1X2=2.2+ 3k2+ 3k又 A( 3, 0), B( 3, 0),所以 AC DB + AD CB=(X1+ 3, y1)(-3 x?, y2)+ (x2 + 3, y2)(.3 X1, y”2222 2k +12=6 (2 + 2k )x1x2 2k (X1 + x2) 2k = 6+2 = 8,2 + 3k2解得k= 土, 2.6X233X 2-6從而 Xl + X2=廳，X1X2= 0.2+ 3X 222+ 3X 2所以 |xi X2、= p (X1 + X2 f - 4X1X2 =寸(一3 4X 0 = 2, |CD|= U + k2|xi -X2|= 1 + 2X3= 323.而原點(diǎn)O到直線CD的距離為d=；1 + k2- 1 + 2所以O(shè)CD 的面積為 S= |CD|X d= X 2.已知函數(shù)f(X)= eX-ax1(a為常數(shù)),曲線y=f(x)在與y軸的交點(diǎn)A處的切線 斜率為1.(1)求a的值及函數(shù)y= f(x)的單調(diào)區(qū)間；若 X1<In 2 , X2>ln 2,且 f(x1)= f(x2)，試證明：X1 + X2<2ln 2.解析：(1)由 f(x)= ex ax 1 得 f' (x) = ex a.又 f' (0)= 1 a= 1,所以 a= 2,所以 f(x) = ex 2x 1, f' (x)= ex2.由 f' (x) = e 2>0 得 x>ln 2.所以函數(shù)y= f(x)在(一x, ln 2)上單調(diào)遞減，在(ln 2,+ x)上單調(diào)遞增.(2)證明：設(shè) x>ln 2,所以 2ln 2 x<ln 2,x由(1)知 f(x) = e 2x 1,所以 f(2ln 2 x) = e2ln 2x 2(2ln 2 x) 1=馬 + 2x 4ln 2 1,ex 4令 g(x) = f(x) f(2ln 2 x)= e ex4x+ 4ln 2(x>ln 2),D則 g' (x)= eT+ 4e-x 4>2 ;ex 4e x 4 = 0,當(dāng)且僅當(dāng) x= ln 2 時(shí)，等號(hào)成立, 所以 g(x)= f(x) f(2In 2 x)在(In 2,+*)上單調(diào)遞增.又g(ln 2)= 0,所以當(dāng)x>ln 2時(shí)，g(x) = f(x) f(2I n 2 x)>g(ln 2) = 0,即 f(x)>f(2ln 2 x)，所以 f(X2)>f(2In 2 X2),又因?yàn)?f(xi) = f(X2)，所以 f(xi)>f(2ln 2 X2).由于 x2>ln 2,所以 2ln 2 x2<ln 2.x1<2ln 2 x2，因?yàn)閤i< ln 2，由知函數(shù)y= f(x )在(一, ln 2)上單調(diào)遞減，所以即 x1+ x2<2ln 2.